數學教師的素質要求及提高途徑

數學教師的素質要求及提高途徑一、背景1．后課標時代

《數學課程標準》(以下簡稱“課標”)現在處于新的修訂與審查之中，對現狀分析，特別是過去8年課改實踐的總結與反思，應當成為這一工作的直接基礎；我們又應特別重視問題的發現，這也就是指，“發現問題、正視問題、解決問題、不斷前進”應當成為這方面工作的基本立場……就“課標”的修訂與審查而言，我們應特別強調對于已有工作的認真總結與深入反思，因為，對于過去8年課改實踐的總結與反思達到了怎樣的程度，我們是否能夠以此為基礎做出新的思考與研究，這在很大程度上決定了“課標”的修訂以及新的實踐工作能夠達到怎樣的水準。

——南京大學鄭毓信2．一個對照：新數運動失敗的原因分析“新數運動”來勢兇猛，但是由于實驗不夠，教師培訓跟不上，過于急速推廣等原因使這場運動帶來了盲目性和理想化。到了六十年代末和七十年代初，就逐漸暴露出改革中的問題，表現在中學基礎教學質量的大幅度下降，如學生計算能力的削弱、數學應用能力缺乏。因此，“新數運動”遭到了教師、家長及一些數學教育工作者的猛烈的批評，于是1973年在美國又出現了一個“回到基礎”（BacktoBasics）的教學口號

——

北京師范大學王申懷

在20世紀50年代末60年代初，從美國掀起的世界性的“新數”運動之所以失敗，其主要原因是教師不能適應新課程的教學。因為再好的課程標準，總得有人去實施，

——摘自：《廣東基礎教育發展網》

近十年來，數學課程改革已成為世界性的浪潮，各國教育改革聚焦于教師，新數運動的失敗也在一定程度上緣于教師的知識結構。以史為鑒，面臨課程改革，我們有必要審視教師的知識結構，以期發現教師是否適應課程改革，尋求教師在知識方面與新課程的要求尚存在的差距，從而為在職教師的繼續教育提出建設性的建議，讓教師成為課程改革中的動力.

——李瓊數學課程改革與數學教師知識結構湖南師范大學碩士論文2004年3、我國新一輪數學課程改革的困境①教師是直接推動課程改革的主力軍，教師的專業發展水平是新一輪課改成敗的關鍵。切實抓好參與新課程實驗的小學數學教師的培訓工作，決定著課改實驗的發展質量和水平。

——人教版義務教育課程標準小學數學實驗教材實驗工作總結，課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心②推行數學課程改革之前沒有做好教師的培訓工作。改革的突破口是教師培訓，要先有一套好的師資培訓教材，再有一套實驗教材，再有統一標準，現在改革的路子走歪了。

——《數學通報》2005年第4期③新一輪的課程改革自2001年秋季正式啟動以來，人們對課程改革與教師的專業發展、教師的角色定位、教師的素養等進行了深入的探討。由此，在實踐中教師培訓工作也擺在重要的位置，但經過培訓的教師進入到課程改革的現場，人們看到的又是一番景象，“教師的課程適應能力不強，不能有效的適應教學。最突出的問題是新教材舊教法。④教師不是孤立于課程之外，而是課程的有機構成部分、是課程的創造者、是課程的主體。課程改革所提出的目標和內容，只是一種設想，只有課程的實施者認識改革的必要性、有效性，對改革產生真正的需求，參與課程改革，其態度、行為和思維方式、教學方法等才能發生相應的變化，課程改革才能順利進行。。。。教師的改變是課程改革必經之路，沒有這一步，后來的學校整體改變就會流于空談。⑤作為課程改革的主體——教師,歷來都是課程改革的動力,推行一項課程改革，對教師持久的培訓是不可缺少的，僅僅一兩次培訓很難取得好的效果。因為，短期的培訓還很難消除大多數教師的抵制情緒，只有培訓讓這些教師消除了抵觸情緒，推行新的課程才有成功的可能。

——彭虹斌新課程改革的突破口：改變教師二、數學教師

應具備什么樣的素質結構1．基本概念的界定①素質：人在后天通過影響和教育訓練所獲得的穩定的、長期發揮作用的基本品質結構，包括人的思想的知識、身體、心理品質等②數學教師的素質：數學教師在職前職后訓練中所獲得的關于數學教育的穩定的、持久發揮作用的基本品質③研究數學教師的素質應考慮哪些因素具備一般教師的基本素質（一般性）具備數學教師特有的基本素質（特殊性）④研究數學教師的素質應考慮時代要求（附1）近代文明的變遷：蒸汽時代（第一次工業革命）→電氣時代（第二次工業革命）→信息技術時代（科技革命）信息技術時代（科技革命）對教師的素質提出新的要求計算機、互聯網技術的發明打破了書本是知識主要傳播載體的狀況，使教育邁入了全新的信息時代。互聯網將全世界的學校、研究所、圖書館和其它各種信息資源聯結起來，成為一個取之不盡、用之不竭的海量信息資源庫，全球范圍的優秀教師或專家可以從不同的角度和側面提供同一知識領域的學習素材和教學指導，任何有知識需求的人可以在任何地方、任何時間通過網絡學習，形成一對多或多對多的教學交互。一種全新的教育形式即將形成。信息時代的教育不同于以課堂講授為主的常規教育，教學和學習都呈現出新的規律和特征。信息時代的教育不僅對學習環境和學習者提出了新的要求，而且對傳統教師的能力結構也提出了挑戰。有人把信息時代的教育稱為新教育，它的“新”不僅在于目標的新、手段的新，更在于它需要新的觀念、新的方法和新的能力。新教育需要具有新素質的教師來保證新教育目標的實現。因此，信息時代對教師提出新的要求是教育發展的必然需要，也是推動教育信息化的重要戰略手段。

數學課程改革對數學教師提出新的挑戰

A．課程改革的深入發展對教師原有的教學觀念的挑戰

如何看待雙基教學？技術在數學教學中究竟起什么作用？建構主義是耶,非耶？

B．數學課程中新內容的增設，要求教師的教學方法進行新的審視

強調了對原有的數學課程的批判后，是否還要去繼承?

在強調了動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式后，是否要充分發揮認真聽講、課堂練習、課后作業的作用?\_教學月刊.2006(5)）

C．新課程的多樣性、選擇性對數學教師的素質的挑戰

D．終身教育的提出，對數學教師的個性、人格的挑戰2．新時期數學教師應具備怎樣的素質結構知識系統：數學學科知識（數學史、數學哲學）、數學教學理論、教育、心理學理論、人文社科知識未來國際數學教育發展的方向數學史滲透在數學課堂教學中;認知科學理論指導數學教學:Internet技術在數學教育中的應用

“數學史與數學教育”研究的歷史脈絡

1742年，德國數學家海爾布羅納（J.C.Heilbronner,1706～1747）出版《世界數學史》、1758年法國數學家蒙蒂克拉（J.E.Montucla,1725～1799）出版《數學史》，標志著數學史作為一個獨立研究領域的出現早期的兩種為數學教育服務的數學雜志——法國數學家泰爾凱（O.Terquem,1782～1862）創辦于1842年的《新數學年刊》、德國數學家格魯納（J.A.Grunert,1797～?）創辦于1841年的《數學物理檔案》都以大量篇幅刊登數學史、數學文獻的文章855年。泰爾凱又在《新數學年刊》后增加附錄《數學歷史、傳記與文獻通報》，極大地激發了法國人對數學史的研究興趣。這個附錄成了歷史上第一種數學史專業刊物.泰爾凱深知，數學家的傳記、軼聞、故事可以啟發學生的人格成長。因此，他在雜志上發表了大量的數學家傳記。激勵了多少數學學習者！泰爾凱特別關注與數學教學密切相關的數學史專題：

A圓錐曲線的歷史

B三角函數（正弦、正矢、正割、正切、余切）的簡史,負數的歷史

C指數的歷史

D笛卡兒（R.Descartes,1596～1690）符號法則的歷史

E牛頓二項式定理的發現過程

F線性方程組消元法的歷史G變分法的歷史

H費馬（P.Fermat,1608～1665）大定理的歷史文獻

I對數的發明

J球面三角形求積的歷史

K倍立方問題的歷史

L三次方程求解的歷史

M行列式的起源

N莫若里可（F.Maurolico,1494～1575）的圓面積實驗求法

O丟番圖（Diophantus,3世紀）的墓志銘

Pπ的歷史等等，以及大量古代東西方數學文獻的題解等

Q數學符號或術語的起源，如＋、—、＝、＞、、等符號以及“正弦”、“瞬”、“零”等詞的起源18世紀，法國實證主義哲學家、社會學創始人孔德（A.Comte,1798～1857）、瑞士著名教育家佩斯達羅奇（J.H.Pestalozzi,1746～1827）、德國教育家弗羅貝爾（F.Froebel，1782～1852）提出：對孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育，即個體知識的發生與歷史上人類知識的發生必然是一致的。19世紀英國著名數學家德摩根（A.DeMorgan,1806～1871）不僅強調數學史對數學研究的重要性，而且也強調數學教學中的歷史次序，如，德摩根認為教師在教代數時，不應該一下子把新符號都解釋給學生，而應該讓學生像最初發明這些符號的人那樣從完全的書寫方法到簡寫的順序學習符號。如，學生應先使用aa、aaa，而不是a2、a3，直到他們不再混淆2a與a2、3a與a3。德摩根的這種觀點與我們今天所說的發生教學法思想是一致的。

在美國19世紀90年代即有人提倡將數學史作為教學工具引入數學教學之中。美國學者Heppel在1893年改進幾何教學協會會議上宣讀的一篇論文中，引用下面的詩句來說明當時內容枯燥的數學課本：

如果又一場洪水爆發請飛到這里來避一下即使整個世界被淹沒這本書依然會干巴巴

Heppel認為，要讓學生不再覺得數學枯燥乏味，教師就必須告訴他：他正在學習的算術、幾何、代數和三角是如何為滿足人們的需求和愿望而發生進步的。美國著名數學史家、歷史上第一個數學史教授卡約黎（F.Cajori,1859～1930）在出版于1893年的《數學史》前言中強調數學史對數學教師的重要價值：“需要歷史研究的另一個原因是歷史知識對于數學教師的價值。如果用歷史回顧和歷史軼事點綴枯燥的問題求解和幾何證明，學生的學習興趣就會大大增加。算術課上的學生樂于聽巴比倫人和印度人的工作以及印度人‘阿拉伯數碼’的發明；他們會驚嘆：經過了數千年，人們才想到把哥倫布雞蛋——零引入數字記號；令他們驚奇的是，發明一個他們今天一個月就能學會的記號要花費如此漫長的時間。在學生學習了如何二等分角后，告訴他們用初等幾何方法解決表面上看起來十分簡單的三等分角問題的許許多多徒勞的嘗試，讓他們驚訝。當他們知道了如何作一個正方形，使其面積等于給定正方形的兩倍后，告訴他們倍立方問題及其神話中的起源——只有作一個立方祭壇兩倍于給定祭壇，太陽神阿波羅才會息怒，以及數學家是如何長期冥思苦想、孜孜以求的。在學生學習勾股定理殫精竭慮之后，告訴他們有關其發現的傳說——畢達哥拉斯對他的發現如此高興，以致為繆斯女神獻上百牲大祭。當數學訓練的價值受到懷疑時，引用哲學家柏拉圖的學園門口所刻的那句話話：‘不懂幾何者免進’。學習解析幾何的學生應了解點笛卡兒，學習微積分的學生又應熟悉牛頓、萊布尼茨、拉格朗日在創造這門學科過程中所起的作用。在歷史的解說中，教師可以讓學生明白：數學并不是一門枯燥呆板的學科，而是一門不斷進步的生動有趣的學科。”到了20世紀，數學史的教育價值受到歐美數學家進一步的大力提倡。美國數學史家史密斯（D.E.Smith,1860～1944）于1928年當選為國際數學教育委員會第二任主席。他的兩卷本《數學史》（1923-25）和一卷本《數學原始文獻》（1929）都是為中學數學教師而寫。史密斯告訴我們，“數學史已被公認為師范教育及大中學校學生自由教育中的重要學科”，長期在大學教數學的經歷使他深信：“為了將數學發展與人類發展聯系起來，為了揭示數學是一條大河而不是一潭死水，為了強調數學的人文因素，一般的歷史介紹是十分必要的。”19世紀，德國生物學家海克爾（E.Haeckel,1843～1919）提出一個生物發生學的定律：“個體發育史重蹈種族發展史”（OntogenyRecapitulatesPhylogeny）。德國大數學家和數學教育家F·克萊因（F.Klein,1849～1925）指出：“生物發生學的一項基本定律指出，個體的成長要經歷種族成長的所有階段，順序相同，只是所經歷的時間縮短。……我想教授數學和其他任何事情一樣，至少在原則上要遵照這項定律。為顧念少年人的天賦才能，要慢慢的指引去學習較高一級的觀念，最后才教抽象的陳述。這樣做法，可說是遵循人類從簡樸原始的情況，奮力達到高級知識水準所經的路徑。還需不時將這一原則加以說明，因為常有人效法中世紀的學者，將最普遍的觀念放在開始的時候教授，并且辯稱這是唯一的科學方法。不論支持這種說法的依據是什么，不過絕不是真理。科學的教學方法只是誘導人去作科學的思考，并不是一開頭就教人去碰冷漠的、經過科學洗練的系統。推廣這種自然的真正科學教學的主要障礙是缺乏歷史知識。為了克服上述障礙，……這種做法能使諸位看清一切數學觀念的產生是如何遲緩；所有觀念最初出現時，幾乎常是草創的形式，只是經過長期改進，才結晶為確定方法，成為大家熟習的有系統的形式。”法國著名數學家龐加萊（H.Poincaré,1854～1912）在出版于1908年的《科學與方法》（Scienceet

Méthode）中的名言“預見數學之未來的正確方法是研究它的歷史和現狀”常常為后人所引用。在《科學與方法》中，龐加萊認為，數學課程的內容應完全按照數學史上同樣內容的發展順序展現給讀者，他說：

“動物學家堅持認為，在一個短時期內，動物胚胎的發育重蹈所有地質年代其祖先們的發展歷史。人的思維發展似乎也是如此。教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒于此，科學史應該是我們的指南。”1919年，英國一數學會報告提出：“每一個孩子都應該知道他所學習的這門學科的更為人文或個性的一面”，并建議“數學教室中應懸掛大數學家的肖像，數學教師在課堂上應經常提到這些大數學家的生平與數學研究，并對數學發現對人類文明進步的影響作出解釋。”英國數學史學會在1971年創建之初即將“促進數學史在教育中的運用”作為學會目標之一。美國學者米勒（G.A.Miller,1863～1951）認為，對于那些“只尋求完全掌握數學本身的人”來說，數學史的作用在于原始文獻。他引用美國數學家洛維特（E.O.Lovett,1871～1957）的話說：“數學的學習者不應相信中間人的話，而應自己去尋找原始文獻，尋找大師們自己的東西。二手的思想就像二手的書本和二手的衣服一樣充滿細菌。”

米勒指出，最早發展一門學科的大師往往留下比他們的解釋者所傳遞的更為深刻的思想，而為了查閱原始文獻，學習者常常需要了解他所學習的這門學科發展史上的重要步驟。

米勒還認為，數學史最大的作用乃是它在該學科的學習中注入更多的活力，它把數學概念從靜態轉向動態；通過記錄數學家們在形成數學思想主流過程中所產生的影響，數學史使得數學人性化了。把科學人性化，這也正是著名科學史家薩頓（G.Sarton）所追求的理想。按照薩頓的觀點，如果要將數學人性化，最佳方法是講授數學的歷史。20世紀，波利亞（G.Pólya,1887～1985）、龐加萊、弗賴登塔爾（H.Freudenthal,1905-1990）

波利亞

弗賴登塔爾

F·克萊因提倡“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變”。他們批評那種過于注重邏輯嚴密性、沒有絲毫歷史感的教材乃是“把火熱的發明變成了冷冰冰的美麗”，并認為數學史應該是數學教師用于數學教學的必備知識。到20世紀70年代，數學史對數學教育的意義已經是許多西方數學教育家的共識：激發學生的學習興趣培養學生的數學精神啟發學生的人格成長預見學生的認知發展指導并豐富教師的課堂教學促進學生對數學的理解和對數學價值的認識構筑數學與人文之間的橋梁1972年，在第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics,簡稱HPM），標志著數學史與數學教育關系作為一個學術研究領域的出現。通常我們也把這一研究領域本身也稱作HPM。1995年，美國數學協會在國家科學基金資助下成立了數學史及其在教學中的應用研究所（InstituteontheHistoryofMathematicsandItsUseinTeaching）專門致力于研究如何將數學的歷史運用于課堂教學。案例1：運用數學史改進數學教學《對數的概念》教學片斷

師：假設一張紙厚度為0.01公分，請問對折20次后有多厚?如果不用計算器，你能馬上告訴我結果嗎?有珠穆朗瑪峰高嗎?

眾生(對老師的說法覺得難以置信)：沒有那么高吧?……1米?20米?……(眾生開始爭執，有些偷偷地拿出了計算器開始計算)

師：看來大家的意見分歧較大，我們只能用事實說話了!誰能告訴我怎么計算?

生1：應該是0.01×220，但具體數值要用……用計算器!

師：呵呵，我說過不用計算器的，把20個2相乘可以嗎?

眾生(笑)：……

師：我相信沒有一個同學愿意這樣做，可是在古代，有好多的科學家就被這種繁復的計算困擾著，一直到了17世紀初，有一位叫JohnNapier的蘇格蘭數學家才將大家從計算的苦海里解救出來，其實，老師也不知道該不該稱呼Napier為數學家，畢竟他是個對宗教狂熱、具有機械天份、喜歡用鬼點子解決問題的有趣貴族。更讓人意外的，是他居然扎實地做了廿年的苦工，發明了一種可以將乘法轉化為加法的名為“對數”的計算方法。眾生：對數?……(開始竊竊私語，充滿好奇)

師：(打開投影)請看屏幕，有人用“西北雨”來形容對數的發明：

“埋首計算那煩悶如夏日午后的龐大乘法，毫無預兆地幾滴名為“對數”的斗大雨滴落下，轉眼整個數學界的天空變了顏色，狂泄的雨水淋濕了厚重的計算紙，雨過天晴，計算紙上繁復的乘法變成加法，簡單如雨后的清爽空氣。雨后，天文學家，減少了計算時間，延長了學術生涯。師：真可謂是：“對數運算無所假，天文學家延生涯”啊!現在就讓我們一起來看，聰明的Napier是怎樣發明他的對數的，請大家將課本翻到30頁，閱讀《對數發明的歷史》。

臺體體積公式的教學分析

案例2：運用認知心理學指導數學教學

《銳角三角函數》教學片斷（西蒙數學教學法）

6.1.1正弦和余弦(一)1.角的對邊:(1)如圖6-1,(2)如圖6-2,

BCACAB在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A的對邊是BC,∠B的對邊是AC,∠C的對邊是AB.在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A的對邊是＿,∠B的對邊是＿,∠C的對邊是＿.ACB圖6-1BA圖6-2C

(3)如圖6-3

小結:不論直角三角形三個頂點位置如何,∠A的對邊是BC,∠B的對邊是AC,∠C的對邊是AB.即兩銳角的對邊分別是兩條直角邊,直角的對邊是斜邊.BCACABACAB在直角三角形ABC中,∠C=90°,

∠A的對邊是＿,∠B的對邊是＿,

∠C的對邊是＿.以上三個圖中,∠A的對邊是BC,∠B的對邊是＿,

∠C的對邊是＿.

ABC圖6-3角的正弦(1)如圖6-4

1.590m

在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.

若AB=3cm,則BC=＿cm.(3)沿著傾斜角為30°的斜坡從A到B前進180米,這時B處離水平面的高度是＿,∠A的對邊斜邊=＿=＿=＿(2)沿著傾斜角為30°的斜坡從A到B前進100米,這時B處離水平面的高度是50m,

∠A的對邊斜邊=BCAB=50100=21(4)沿著傾斜角為30°的斜坡從A到B前進a米,這時B處離水平面的高度是＿,∠A的對邊斜邊=＿圖6-4ACB(5)如圖6-545°BC2+AC22在等腰直角三角形ABC中,

∠C=90°,∠A=∠B=＿.=＿.∠A的對邊斜邊當∠A=30°時,不管直角三角形大小如何,∠A的對邊與斜邊的比值不變,都等于21..ABC圖6-5當∠A=45°時,不管直角三角形的大小如何,∠A的對邊與斜邊的比值都不變,都等于(6)在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°.由勾股定理可得AB2=＿＿＿,又BC=AC.所以AB2=＿BC2.AB=＿＿BC.

=＿=＿∠A的對邊斜邊=BCAB(7)如圖6-6小結：只要銳角A的大小確定，那么用它作為一個角畫出的直角三角形中，在這些直角三角形中，∠A的對邊與斜邊的比值是一個固定的值。∠A的對邊斜邊是一個＿值.我們把銳角A的對固定

Rt△AB1C1、Rt△AB2C2

以及Rt△AB3C3中有一個銳角A相等,B1C1∥B2C2∥B3C3，則△AB1C1

～△AB2C2～△AB3C3，

所以有=＿=＿AB1B2B3C1C2C3圖6-6∠A的對邊斜邊邊與斜邊的比叫做角A的正弦.記作sinA,即sinA=小學數學問題解決案例問題圖中有多少個角?探索:圖中有2條射線,形成1個角.圖中有3條射線,形成1+2=3個角.總結:從一點發出n個射線,形成＿個角.圖中有＿條射線,形成＿個角.圖中有＿條射線,形成＿個角.圖中有＿條射線,形成＿個角.4；1+2+3=65；1+2+3+4=101+2+3+4+5=156；1+2+···+(n-1)練習1.圖中有多少個三角形?3.育才中學68屆高三6班共有50名同學,畢業20年后回母校舉行聯誼會.若每兩個同學握手一次,一共應安排多少次握手?4.凸n邊形有多少條對角線?5.m條直線兩兩相交有多少個交點?2.圖中有多少條線段?

技能系統：導入技能語言技能講解技能提問技能強化技能變化技能演示技能板書技能電化教學技能結束技能案例3：三垂線定理的證明及應用附教案◎復習

師：我們已經學習過直線與平面的垂直關系，請大家回答幾個問題：

(1)直線與平面垂直的定義．

(2)直線與平面垂直的判定定理．

(3)何謂平面的斜線、斜線在平面上的射影．生：略．師：(板書)設斜線l∩α=O，作出l在平面α上的射影．

(師生共同完成圖1．學生敘述畫法，教師畫圖，再次深化概念．)[平面的垂線、斜線及斜線在平面上的射影是三垂線定理的基礎，引導學生溫故而知新是十分必要的．]◎導入

師：根據直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內的任意一條直線都和平面的垂線垂直．現在我們想一想，平面內的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？（高層次提問）

(演示教具：用兩根鐵絲在桌面上演示，學生容易看出平面內的任意一條直線，并不一定和平面的一條斜線垂直．)[演示教具：如圖2，設直線l(鐵絲)和平面α(桌面)斜交，使直線m(鐵絲)和l垂直，把直線m沿直線l平行移動到平面α內的n的位置，此時學生發現平面α內有直線與平面的斜線垂直．]

師：如果我們把鐵絲m在平面內平行移動，使其到不同的位置(直線)，那么，這些直線與鐵絲l垂直嗎？

[學生根據“兩條異面直線所成的角”的原理也很快判定這些直線與l(鐵絲)垂直．]

師：平面內一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直呢？即怎樣判定平面內的直線與平面的一條斜線垂直呢？（高層次提問）

[指導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型(如圖3)，使鉛筆與三角板的斜邊垂直，引導學生觀察猜想發現規律．經過實驗，發現鉛筆和三角板在平面α內的直角邊垂直時便與斜邊垂直．]

師：(啟發)如何歸結為數學問題呢？(學生們恍然大悟，終于發現了，平面內的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直．)

師：實驗得出的結果是否正確還得進行證明．

[引入新課是課堂教學的重要環節．新課引入得好，這節課就成功了一半，教師根據教與學的實際，提出問題，創設情境，引導學生觀察、猜想，發現新知識，從而調動了學生的積極性，培養了學生的探索能力，體現了教師為主導、學生為主體的教學思想．]◎分析講解

師：現在我們把由實驗發現的結論表達成命題的形式．

(學生敘述，教師板書．)

已知：如圖4，PA、PO分別是平面α的垂線和斜線，AO是PO在平面α上的射影，a

αa⊥AO.

求證：a⊥PO．師：這是證明兩條直線互相垂直的問題．在立體幾何中怎樣證明兩條直線互相垂直呢？

(學生思考、議論，教師歸納．)

師：常用的方法是證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面．現在要證明a⊥平面PAO呢？只要證明a⊥平面PAO內的兩條相交直線即可．證明(師生共同完成．)

師：這個命題的證明，體現了“由線面垂直證線線垂直”的方法．這個方法很重要，大家要給以足夠的重視．上述命題反映了平面內的一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內的射影這三者之間的垂直關系．這就是有名的三垂線定理．下面請大家根據已知條件和結論，把三垂線定理完整地表達出來．(學生敘述，教師板書．)

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．

[這樣由具體到抽象地研究問題，能夠培養學生的概括能力．從“猜想”到“證明”是質的升華！是學習數學必須具備的重要素質，引導學生證明猜想結果，總結定理，比直接給出定理記得牢，理解得深刻，又能培養學生的能力．]◎深入剖析

師：(逐字逐句地閱讀定理，同時圈點重要字眼，并提出下面幾個問題讓學生討論．)(1)本定理的證明過程是對水平位置的平面α而進行的．那么定理對其他位置的平面是否成立？并說明理由．

(2)直線a是平面α內垂直于AO的任意一條直線，a和斜線PO的位置關系有幾種？反映三垂線定理的圖形有幾種可能的情況？并畫出圖形．

(學生分組討論，教師巡回指導，適時點撥，解答疑難，啟發誘導，掌握討論情況，然后教師總結．)

師：(1)三垂線定理對任意位置的平面都成立．因為定理中并沒有水平平面的限制．定理的實質是研究平面內的一條直線與這個平面的斜線及斜線在這個平面內的射影三者的垂直關系，與平面的位置無關．

(2)因為a是平面α內的任意一條直線，所以a與斜線PO的位置關系有兩種情況：一是不過斜足O的異面垂直；一是過斜足O的相交垂直．反映三垂線定理的圖形有四種情況(如圖5)．

以上四種情況的圖形在證題時都是經常遇到的，應該靈活運用三垂線定理．a不過斜足O時的情況容易被忽略，這是證題時確定三垂直關系的一個難點，應當給以足夠的重視．

[剖析定理是幾何教學中的一個重要環節．通過剖析，可以加深對定理的理解，為應用定理奠定基礎，這是提高教學質量的重要措施．]◎定理的應用

[定理的應用是學習定理的重要環節．它既能鞏固所學知識又能培養能力．]

師：請同學們證明下題：已知：如圖6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，連結PA．求證：BC⊥PA．

(學生思考后，教師分析．)

師：根據題意，PO是平面的垂線，顯然PA是平面ABC的斜線.而BC

平面ABC，所以，要證明BC⊥PA，只要證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎樣確定PA的射影呢？請大家把證明過程寫在練習本上．

(同時指定一學生上黑板板演．)

生：(板演)因為PO、PA是平面的垂線和斜線，連結AO且延長交BC于D(圖7)，則AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂線定理可得BC⊥PA．師：請談談證明的思路．生：先找出平面的垂線、斜線以及這條斜線在平面上的射影，……．師：他回答完整嗎，生：應先確定一個平面及平面內的一條直線．師：這點補充得好！三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法．應用三垂線定理的思維過程是：

“一定”——定平面及平面內的一條直線；

“二找”——找這個平面的垂線、斜線及斜線在這個平面上的射影；

“三證”——證明平面內的一條直線與射影垂直．

[在復雜圖形中應用三垂線定理時，需要先確定反映三垂線定理的基本圖形，然后才能著手證明，因而掌握三垂線的證題步驟是十分必要的．]

師：我們來研究第二道題．(板書．)

已知：正方體ABCD－A1B1C1D1．求證：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．先考慮A1C⊥BC1如何證明？

(在此指導下，學生們通過認真觀察，獨立思考，確定平面BCC1B1及平面內的一條直線BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂線，A1C是斜線，從而找到了反映三垂線定理的基本圖形．連結B1C，用三垂線定理證明A1C⊥BC1．)

證明略．

師：把第(1)小題作為條件證明第(2)小題，只需再證A1C⊥BD就可以了．

[學生連結AC，順利地證明了A1C⊥BD，第(2)小題的證明就水到渠成了．證明過程是：師：在數學證明中，相同的證明方法可用“同理可證”代替推理過程．但必須注意推理的嚴密性．例如，上面的證明過程中，要防止漏掉BC1∩DB=B．(證明時，有些同學漏掉了這一點，經教師指導才改正，“同理”的運用也是如此．)[講定理的應用時，關鍵是選好例題．這兩道題的安排是由易到難，第一道題是直接應用定理，第二道題難度增大，要求學生在復雜的圖形中通過觀察和分析確定反映三垂線定理的基本圖形，再應用定理，以培養學生靈活應用定理的能力．]◎

小結

(師生共同進行．)(1)本節課的教學可概括為四個字：猜、證、剖、用，即猜想平面內的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理；剖析定理的內容；應用定理證題．

(2)敘述三垂線定理的內容，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本方法，稱為線面垂直法．

(3)此定理是空間兩條直線垂直的判定定理，與平面的位置無關．運用定理的步驟是：“一定、二找、三證明”．◎課外作業課本習題：略．案例4：一道證明題的分析講解。問題

:兩個角在不同的平面上，其中一個角的兩邊分別平行于另一個角的相應兩邊，且方向相同。證明這兩個角相等。

師“題設是什么？”生“兩個角位于不同的平面上，其中任一個角的兩邊分別和另一個角的相應兩邊平行，且方向一致。”師“結論是什么?。”生“這兩個角相等。”師“畫一張圖。引入適當的符號。”生學生畫出如圖所示的一些線條，并在教師或多或少的幫助下選擇圖中所示的字母來標記這些結條。師“題設是什么？請用你引入的符號來表述。”生“A、B、C和A’、B’、C’不在同一平面上，且AB∥A’B’，AC∥A’C’，AB和A’C’方向相同，AC和A’C’方向相同。”師“結論是什么?”生“∠BAC=∠B′A′C＇。”師“觀察這個結論！并盡量想出一條你所熟悉的具有相同或相似結論的定理。”生“如果兩個三角形全等，則對應角相等。”師“很好！現在有一條定理和你要證明的定理有關，而且以前曾經證明過，你能應用它嗎？”生“我想可以，但我還不很清楚怎么做。”師“為了有可能應用它，你是否應該引入某個輔助元素？”

……生“沒有，但是我可以引入幾個三角形，我把B和C聯結起來，把B′和C′聯結起來，那么圖中就有兩個三角形了，即△ABC和△A′B′C′。”B＇BACA＇C＇A′師“干得好！但是這些三角形有什么用呢？”生“用來證明結論，即∠BAC=∠B′A′C＇。”師“很好！要證明它，你需要什么樣的三角形？”生全等三角形.當然,我可以選擇B、C、B′、C′，使得AB=A′B′，AC=A′C′。”師“非常好！現在你希望證明什么？”生“我希望證明這兩個三角形全等△ABC≌△A′B′C′。”如果能證明這一點，我馬上就可以得到所要的結論∠BAC=∠B′A′C′。師“好！你有了一個新目標，這個目標指出一個新的結論。觀察這個結論！并盡量想出一條你所熟悉的具有相同或相似結論的定理。”B＇A＇C＇BAC生“如果，如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形對應的三條邊都相等，那么這兩個三角形全等。”師“干得好！你本來有可能會選出一條比較差的定理。現在這兒有一條定理和你目前要證的定理有關，而且以前曾經證明過，你能利用它嗎？”生“如果我知道BC=B′C′的話，我就能利用它。”師“很正確！那么現在你的目的是什么？”生“證明BC=B′C′。”師“盡量想出一條你所熟悉的具有相同或相似結論的定理。”生“是的，我記得有一條定理，它的結尾是：‘……那么兩線段相等。’但是這條定理在這里不適用。”師“為了有可能應用它，你是否應該引入某個輔助元素？”

……師“你看，如果圖中BC和B′C′之間沒有什么聯系的話，你怎么能證BC=B′C′呢？”

……師“你有沒有用到題設？題設是什么？”生“我們假設AB∥A＇B＇，AC∥A＇C＇，是的，我當然必須使用這些。”師“你用到全部的題設了嗎？你說AB∥A‘B’，關于這些線段，你所知道的就只有這些嗎？”

生“不止這些，根據作圖，AB還和A＇B＇相等，它們相互平行且相等。AC和A＇C＇也是這樣。”師“兩條等長的平行線——這是一種很有趣的構形。你以前見過它嗎？”生“當然看到過！是的，平行四邊形！讓我聯結A和A＇,B和B＇,C和C＇。”師“這個主意不錯。現在你的圖形中有幾個平行四邊形？”生“兩個，不，三個。不，兩個。我的意思是其中有兩個，你可以立即證明它們是平行四邊形，還有一個看上去像是平行四邊形。我希望能夠證明它也是平行四邊形，那么整個證明就完成了！”A＇C＇B＇ACB附:波利亞的“怎樣解題表”

第一步：弄清問題。

1．未知數是什么?已知數據是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?2．畫張圖,并引入適當的符號。3．把條件的各部分分開,并把它們寫下來.第二步：擬訂計劃1．考慮以前是否見過它?是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道一個可能用得上的定理?2．考慮具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題.3．能否利用它的結果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?4．能否用不同的方法重新敘述它?5．回到定義去.6．如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關的問題.7．是否利用了所有的已知數據?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?

第三步：實現計劃1．實現你的求解計劃,檢驗每一步驟.2．你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?你能否說出你所寫的每一步的理由？.

第四步：回顧能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導出結果?能不能一下子看出它來?4．能不能把這結果或方法用于其他問題

能力系統：解題能力、教學能力（教學設計、駕馭課堂、教學評價）、科研能力觀念系統：數學觀、教學觀、學習觀數學是什么？

數學是一個封閉的科學體系還是一個開放的研究領域？數學是發現還是發明？數學是絕對真理還是建構的、可謬的？數學是價值承載（Value-laden）還是價值無涉的（Value-free）?

不同的數學觀對數學的教與學的過程有什么不同的影響？作為一門科學的數學如何轉化為作為教學科目的數學？數學家使用的研究方法、審美觀、價值觀是什么？數學會因信息技術的出現而發生變化嗎？數學史與數學哲學有何關聯？什么是數學學習？什么樣的假設支撐著數學學習觀？這些假設是否有效？這些假設又基于怎樣的認識論和一般的學習理論？社會環境怎樣影響一個人的數學學習?什么是數學學習中的建構主義、社會建構主義？還有其它的數學學習理論嗎？它們對數學課堂產生何種影響？什么樣的數學學習是有價值的？這樣的學習能夠被評價嗎？在教學過程，不同的評價方式對數學教與學的過程有不同的影響嗎？學習者充當什么樣的角色？數學學習對學習者起到什么樣的作用？學習者怎樣借由數學學習而發生身份變化？數學學習在人的整體發展過程中起到什么樣的作用？學習者怎樣通過數學學習成為科學家、工程師或成為未來的公民？態度、信念、價值觀在數學學習中起什么作用？數學能力究竟指什么？怎樣才能讓所有的人都能夠學好數學？如何進行數學教學？什么樣的理論或認識論支撐數學課堂教學？數學教學方法建立在何種假設的基礎之上？這種假設有效嗎？為達到數學教學目的可以采用什么手段，結果和手段是否一致？數學教學中已經應用和可能應用的方法、資源和技術有哪些？什么理論支撐著這些方法、資源和技術的應用？信息資訊技術給數學教學帶來什么樣的觀念，包括預料之中和預料之外的？作為一門教學科目的數學究竟指什么？能夠對教學進行評價嗎？怎樣進行教學評價？教師行為的倫理學、社會學、認識論界限是什么？教師需要怎樣的數學知識？教師的信念、態度和個人的哲學觀對教學實踐產生何種影響？數學教師應當接受何種教育？三、怎樣提升數學教師的素質1．讀書

推薦書目：

波利亞的著作

波利亞(GeorgePolya，1887—1985)，著名美國數學家和數學教育家。生于匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業大學任數學助理教授、副教授和教授，1928年后任數學系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國家科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組合數學等眾多領域。1937年提出的波利亞計數定理是組合數學的重要工具。長期從事數學教學，對數學思維的一般規律有深入的研究，這方面的名著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》科學出版社

弗賴登塔爾的著作

弗賴登塔爾(Ｈａｎｓ.Ｆｒｅｕｄｔｈａｌ,1905-1990)是荷蘭籍數學家和數學教育家.早在20世紀三、四十年代,他就以拓撲學和李代數方面的卓越成就而為世人所知.從20世紀50年代初起,他把主要精力放在數學教育方面,發表了大量著作,也開展了廣泛的社會活動.在1967-1970年間任國際數學教育委員會(ＩＣＭＣ)的主席.召開了第一屆國際數學教育大會(ＩＣＭＥ),創辦了《數學教育研究》(ＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ)雜志,在國際范圍內為數學教育事業做出了巨大的貢獻.由于這些業績,有人把他和偉大的幾何學家克萊因(Ｆ.Ｋｌｅｉｎ)相提并論———對于數學教育,在上半世紀是克萊因作出了不朽的功績,在下半世紀是弗賴登塔爾作出了卓越的成就.數學教育代表性著作《作為教育任務的數學》1973年版,《除草與播種———數學教育學的序言》1978年版,《數學結構的教學法現象》1983年版.鄭毓信的著作《數學教育哲學》四川教育出版社2001年；《數學教育的現代發展》江蘇教育出版社1999年；《數學方法論入門》；《數學哲學新論》江蘇教育出版社1990年；《數學方法論》廣西教育出版社1996《現代邏輯的發展》遼寧教育出版社1989年；《關系映射與反演方法》江蘇教育出版社1989年；《數學模式論》廣西教育出版社1993年《數學思維與數學方法論》（合著）四川教育出版社2001年《數學文化學》（合著）四川教育出版社2001年11.《數學哲學中的革命》（合著）九章出版社1999年《認知科學建構主義與數學教育——數學學習心理學的現代研究》（合著）上海教育出版社1998年《數學-邏輯與哲學》（合著）湖北人民出版社1987年《數學抽象方法與抽象度分析》（合著）江蘇教育出版社1990年；《西方數學哲學》（合著）人民出版社1986年《數學方法論教程》（合著）江蘇教育出版社1992年《問題解決與數學教育》編著江蘇教育出版社1994年

張奠宙的著作《現代數學與中學數學》《數學教育研究導引》《數學教育學導論》（合著）《中學代數研究》（合著）《中學幾何研究》（合著）《數學教育概論》（合著）《中國數學雙基教學》推薦雜志：國外：1）《數學教育研究》（EducationalStudiesinMathematics）（荷蘭）ISSN00130013—1954，季刊，1968年創刊，D.雷伊代爾出版公司出版，克呂韋爾學術出版集團銷售中心發行。刊載中小學及師范學校的教學理論、方法、實踐等方面的論文、述評報告、書評以及IMO消息、試題。是國際性的刊物，主要用英文發表。2）《數學教育》（L′EnseignementMathematique）（瑞士），510LG004。ISSN0013—8584，季刊，1899年創刊，國際數學教育委員會機關刊物，日內瓦大學數學研究所出版、發行。刊載數學教學研究文章，供大學數學系師生閱讀的文章以及新書介紹等。用英、法或德文發表。3）《數學雜志》（MathematicalGazette）（英國），ISSN0025—5572，季刊，1894年創刊，英國數學協會出版、發行。主要刊載初等、中等數學知識及教學法方面的文章與簡訊。4）《數學雜志》（MathematicsMagazine）（美國），512B6001.ISSN0025—570X，年出5期，1926年創刊，美國數學會編輯出版。刊載有關大學、中學數學教學方面的文章，兼登簡訊和書評。5）《國際科技中的數學教育雜志》（InternationalJournalofMathematicalEducationinScienceandTechnology）（英國），510C0058.ISSN0020—739X，雙月刊，1970年創刊，泰勒和費朗西斯（TaylorandFrancis）出版公司出版、發行。刊載數學教育理論文章、書評、經驗介紹與有關會議報道等。6）《結構研究雜志》（JournalofStructuralLearning）（英國），ISSN0022—4774，季刊，1970年創刊，戈登和布里奇（GordonandBreach）科學出版公司出版、發行。刊載研究數學概念與學習過程方面的理論、模型、語言、邏輯等復雜結構研究的文章。7）《學校數學》（MathematicsinSchool）（英國），512C0052.ISSN0306—7259，年出5期，1971年創刊，朗曼集團（LongmanGroup）出版公司出版、發行。主要介紹數學教科書、教學法、趣味數學和數學詞匯等，是中小學數學教師的教學參考刊物。8）《數學教學》（MathematicsTeaching）（英國），512C0053.ISSN0025—5785，季刊，1956年創刊，英國數學教師協會出版、發行。主要刊載討論中小學數學教學問題的文章，介紹數學教具、教學設備等。9）《數學教學及其應用》（TeachingMathematicsandItsApplications）（英國），ISSN0268—3679，季刊，1982年創刊，牛津大學出版社出版、發行。刊載中等和高等學校數學教學方面的文章。10）《美國數學月刊》（TheAmericanMathematicalMonthly）（美國），510B0007.ISSN0002—9890，年出10期，1894年創刊，美國數學會（AMS）編輯出版。除刊載數學研究論文之外，也刊載數學史、數學家傳記、數學教育研究、數學問題等文章。11）《數學教育研究雜志》（JournalforResearchinMathematicsEducation）（美國），510B0066.INNS0021—8251，年出5期，1970年創刊，美國全國數學教師協會（NCTM）編輯出版。刊載從小學、中學到大學各級各類學校數學教育研究文章、文獻評論和簡報等有關內容。12）《數學教師》（MathematicsTeacher）（美國），512B0052.ISSN0025—5769，月刊，1908年創刊，美國全國數學教師協會機關刊物。刊載中學和大學的數學教學問題，以及數學研究進展等方面的文章，包括對若干專題的探討，交流教學、教材編寫的應驗等。13）《數學課程》（DerMathematikunterricht）（德國），ISSN0029—5807，雙月刊，1955年創刊，賽爾滋市（Seelze）克蘭特（Klett）出版社與弗里德列（Friedrich）出版社聯合出版。主要刊載數學教育及其課程等方面的文章。14）《數學實踐》（PraxisderMathematik）（德國），ISSN0032—7042，月刊，1959年創刊，奧利斯（Aulis）出版社與多伊納（Deubner）出版公司出版、發行，刊載理論數學、應用數學以及數學教學方面的文章。15）《數學教育文獻》（ZentralblattfurDidaktikMathematik）（德國），ISSN0044—4103，雙月刊，1969年創刊，卡爾斯魯厄專業信息中心（FachinformationszentrumKarlsruhe）出版、發行。摘錄出版物上發表的有關數學教學法方面的文獻，并刊載數學教育方面的文章。16）《數學教學法雜志》（JournalfurMathematikDidaktik）（德國），ISSN0173—5322，1980年創刊，是國際性科學雜志，發表有關數學教育的研究與發展各個的文章，也接受涉及數學的教與學有關的教育學科與鄰近學科的文章。17）《數學