關于控制多邊gerbs曲線拐點的研究

關于控制多邊gerbs曲線拐點的研究

nurbs作為cal形式的基本工具，自出版以來，它引起了人們的廣泛關注和研究，尤其是對轉折點的分析和計算。1992年,Manocha與Canny提出了利用曲率公式計算真參數化(ProperParametrization)參數曲線及有理參數曲線拐點的數值方法;1995年,Goodman等人研究了NURBS曲線變差縮減性質,得到曲線拐點個數與其控制多邊形拐點個數之間的一般關系;1997年,Li與Robert利用代數曲線的切線與曲線交點的重數關系,研究了判定齊次坐標空間曲線拐點的方法,得到了計算有理參數曲線拐點的代數方程法;1999年,Sakai又借助于Mathematica,得到了利用端點斜率判定三次有理曲線段上拐點的方法;2001年,LiuChaoyang又對NURBS保凸性問題進行了研究,得到了NURBS曲線的凸性定理。然而不難發現,為滿足CAD工程實踐的具體需求,尚需要對NURBS拐點的分析判斷作更加深入的研究。CAD工程師主要通過交互調節曲線的控制頂點或者權因子來控制曲線的形狀,經常需要判斷所設計曲線的凸凹性。根據LiuChaoyang的凸性定理,凸的控制多邊形將產生凸的NURBS曲線。但是實踐表明,非凸的控制多邊形也可以產生凸的NURBS曲線。將控制多邊形(權因子)調節到什么程度曲線會出現拐點是交互設計中非常關心的問題。單憑設計者的經驗來控制顯然是不科學的。因此,需要研究拐點出現的條件以設計適合計算機處理的自動判斷算法,這對于CAD工程十分重要。作者在文獻通過引入轉向矢量,給出了平面曲線拐點的一個數學定義,并演繹推導出曲線在拐點處的若干性質。本文在該文獻基礎上,首先從變形的觀點出發,研究了一般平面參數曲線變形中的幾何特征變化規律,得到了曲線形狀變化過程中產生拐點的充分必要條件以及確定拐點的一個泛函方程;同時,結合NURBS的特殊要求,研究了非凸多邊形NURBS曲線出現拐點的條件和判據。本文的結果可應用于調節與控制曲線形狀的算法設計,也可指導CAD造型工程師的交互設計。1曲線變形及其幾何特征的變化1.1平面正則曲線的深度定義1設有向平面π的單位法矢量為B,a、b是π上兩個矢量。a在π上繞其起點按照π的定向法則正向轉動到與b的方向相同時掃過的有向角為<a,b>,則a,b的矢量積(叉積)為:a×b=B|a||b|sin<a,b>容易驗證,定義1是經典矢量積在平面上的歸一化表示,它將經典平面矢量叉積的方向與數量關系統一在一個完整的數學式中。定義2平面曲線的拐點、轉向矢量。見文獻。下面的引理1～3亦可由文獻的相關理論直接推出。引理1設平面連續曲線r(t)具有分段C1連續的單位切矢量,K(t)是與r(t)對應的轉向矢量;那么r(t)在某區間的拐點個數等于K(t)在該區間的方向改變次數。引理2如果兩條同源平面正則曲線r1(t)、r2(t)的切矢、主法矢分別為T1(t)、T2(t)、N1(t)、N2(t)。若在t*點滿足0≤(<T1(t*),T2(t*)>)<π,N2(t*)在N1(t*)上的投影與N1(t*)的方向相反,則r1(t)、r2(t)在t*點的回轉方向是相反的。引理3假設平面正則曲線r(t)在起點與終點的K矢量有相同的方向,那么r(t)的拐點個數為偶數;若r(t)在起點與終點的K矢量有不同的方向,則r(t)的拐點個數為奇數。注意:引理1中r(t)具有分段C1連續的單位切矢量是一個非常重要的條件,故在后文中如無特殊說明,都假定所討論的曲線滿足該條件。1.2曲線變形與法矢、轉向矢的變化參數曲線r1=r1(t)在變形位移(偏移量)r2=r2(t)的作用下,變形為r(t),其數學表示為:r(t)=r1(t)+r2(t)t∈[a,b](1)變形往往導致曲線的凸凹性、連續性等發生變化。依據上節分析,不難得到以下結論:定理1設平面凸曲線r的兩個端點位置固定不變,r上一點P變形前后的切矢與主法矢分別為T1、T2與N1、N2;如果T1、T2滿足0≤(<T1,T2>)<π,而N2在N1上的投影與N1的方向相反,則變形后r失去原有凸性(出現拐點或者沒有拐點但改變原有回轉方向)。證明r的兩個端點固定意味著曲線不能有整體轉動,這就避免了變形過程中r繞一個端點剛性旋轉而導致<N1,N2>大于π的情形。將變形前與變形后r的兩種狀態看成是兩條同源曲線,根據引理2知,在P點附近變形前后的轉向矢量方向是相反的。此時若r上另外一點Q變形前后的轉向矢量方向不變,則根據引理1知r變形后出現拐點;若r上所有點變形后的轉向矢量方向都不同于變形前,則曲線整體轉向發生改變。故定理成立。[證畢]上述基于法矢方向變化的方法,只能定性地分析曲線變形前后凸凹性的變化,無法與位移量之間建立數學上解析的關系。下面進一步研究變形與位移之間的直接聯系。這里只考慮工程中常見的一種情形:平面光滑凸曲線r在固定方向位移u作用下的壓變形(u指向r彎曲一側)。記?r為r變形后的曲線,為方便,采用r的弧長為參數來研究問題。設S為r的弧長,那么?r(s)、r(s)、u(s)的關系可用下式表達:?r(s)=r(s)+u(s)?u(s)=V?(s)0≤s≤S(2)這里,?(s)≥0,?(s)是[0,S]上的有界連續函數,表示r(s)在s點的變形數量;V是u的單位矢量。若k(s)是r(s)的(絕對)曲率,α(s)=<r′,V>,?(s)處處至少二階連續;那么,可由(2)知?r具有分段C1連續的單位切矢量,故其轉向矢量?r′×?r″=r′×r″+r′×V?″+V×r″?′+V×V?′?″由于r是平面曲線,s是r的弧長參數,上式可改為:?r′×?r″=˙rרr+˙r×V?″+Vרr?′(3)r是凸曲線,故r上所有點的副法矢量都具有相同方向;記該方向的單位為B并約定B為r所在平面的正方向,則由V的定義知:˙r×V=Bsinα由˙r,¨r,V的位置關系知<¨r?V>=α(s)-π/2。據此及Frenet公式可將(3)式寫為:?r′×?r″=kB+?′kcosαB+?″sinαB令g(s)=k(s)+?′(s)k(s)cosα(s)+?″(s)sinα(s)(4)得?r′×?r″=gB(5)定理2設r(s)是(絕對)曲率為k(s)的平面凸曲線且具有分段C1連續的單位切矢量,r(s)、?r(s)、?(s)滿足(3)式且?(s)處處至少二階連續,α(s)=<r′,V>,g(s)由(4)式定義;那么,?r(s)出現拐點的充分必要條件是g(s)存在零點s*,并且在s*的左右去心鄰域g(s)具有不同的(正負)符號。不難發現,對于方向固定的位移u,g(s)實際上是?(s)的泛函:g[?(s)]=k(s)+?′(s)k(s)cosα(s)+?″(s)sinα(s)0≤s≤S這樣,變形失穩的問題可以轉化為對泛函g[?(s)]零點曲線的問題。這是一個比較復雜的問題,本文不作深入研究。這里只根據后文需要作簡單討論。為此先給出以下引理。引理4設f(x)是定義在區間I上的Cn(n>1)類實函數,當k>1時f(k)(x)在I上有界,在f(x)的極值點x0處f?″(x0)≠0;那么,若f(x0)極大,則f?″(x0)<0,若f(x0)極小,則f?″(x0)>0。定理3設?(s),g(s),α(s)分別由(2)、(4)式定義,?∈Cn(n>1);如果:(1)?(k)(k>1)在定義區間[0,S]有界且在?(s)的極大值處?″≠0;(2)在?(s)的極大值附近0≤α(s)≤π;(3)存在惟一區間(s1,s2)?[0,S]使得s∈(s1,s2)時g(s)<0,s?(s1,s2)時g(s)>0。那么,?(s)的極大值(峰值)必在區間[s1,s2]出現。證明:任取充分小的η>0,考慮g(s)在?(s)極大點s*附近的小區間[s*-η,s*+η]上的定積分∫s*+ηs*-ηg(s)ds。由α(s)的定義及微分幾何理論,易知α(s)是單調不增的,故dα(s)/ds=-k(s),從而有:∫s*+ηs*-ηg(s)ds=∫s*+ηs*-ηk(s)ds+∫s*+ηs*-ηk(s)?′(s)cos(α(s))ds+∫s*+ηs*-η?″sin(α(s))ds=∫s*+ηs*-ηk(s)ds+2∫s*+ηs*-η?″sin(α(s))ds-∫s*+ηs*-ηd(?′(s)sin(α(s)))=α(s)|s*+ηs*-η+2∫s*+ηs*-η?″(s)sin(α(s))ds-(?′(s)sin(α(s)))|s*+ηs*-η依據Taylor公式?′(s)=?′(s*)+?″(s*)(s-s*)+o((s-s*)2)及?′(s*)=0,可將上式寫成∫s*-ηs*+ηg(s)ds=α(s)|s*+ηs*-η-{[?″(s*)(s-s*)+o((s-s*)2)]sin(α(s))}|s*+ηs*-η+2∫s*-ηs*+η?″(s)sin(α(s))ds依據條件(1),當η充分小時,{[?″(s*)(s-s*)+o((s-s*)2)]sin(α(s))}|s*+ηs*-η是一個無窮小量。依α(s)的單調不增性得α(s)|s*+ηs*-η≤0;再依據條件1、2、引理4及定積分基本性質知,∫s*-ηs*+η?″(s)sin(α(s))ds<0,從而∫s*-ηs*+ηg(s)ds<0。故[s*-η,s*+η]與g(s)的惟一負值區間(s1,s2)之交集[s*-η,s*+η]∩(s1,s2)非空。此時有三種情形:(1)s1<s*-η,s*+η<s2;(2)s*-η<s1<s*+η;(3)s*-η<s2<s*+η。在情形(1)下,定理顯然成立。情形(2)、(3)可用反證法證明,以下證明情形(2)。假設定理不成立,即s*?[s1,s2],依情形(2)不妨假設s*<s1。根據實數的稠密性質,總有ρ>0使s*+ρ<s1?？紤]到η的任意性,取η=ρ即得到矛盾,故定理成立。同理可證明情形(3)。[證畢]2g的形狀分析對于給定控制點列Pi(i=0,1,…,n),權因子序列ωi(i=0,1,…,n)與節點矢量U=[u0,u1,…,un+p+1]的p次NURBS曲線可以表示為:Γ:R(u)=∑i=0nΡiRi,p(u)up≤u≤un+1如果控制多邊形不是凸的,怎樣分析G的形狀?本小節給出一種基于變形理論的分析方法:假定多邊形P0P1P2…Pn是由某個凸多邊形P*0P*1P*2…P*n調節而來,那么G的形狀就是調節的終止狀態。例如,將控制頂點P*k調節為Pk其他點不變,在數學上表現為:Γ1:∑i=0nΡi*Ri,p(u)?Γ2:∑i=0?i≠knΡi*Ri,p(u)+ΡkRk,p(u)?∑i=0nΡi*Ri,p(u)+(Ρk-Ρk*)Rk,p(u)上式在形式和內容上都與(2)一致。故可以利用上節結論來研究曲線形狀的變化規律?？紤]到CAD應用的實際情況,這里假定所討論的曲線在端點具有p+1重節點,并且控制多邊形是正則的。此時不難推導出R′(up)×R″(up)=ω1ω2ω02×pup+1-u1×pup+1-u2×p-1up+2-u2×(Ρ1-Ρ0)×(Ρ2-Ρ0)(6)2.1形態變形有一個控制點簡單單拐多邊形是只有一個拐點且邊向量不自交的多邊形。定理4在端點具有p+1重節點的p次NURBS曲線的控制多邊形P0P1P2…Pn只有一個拐點P1(P1與P3,…,Pn在矢量Ρ0Ρ2→的同側,叉積Ρ1Ρ2→×Ρ2Ρ3→,Ρ2Ρ3→×Ρ3Ρ4→,?,Ρn-2Ρn-1→×Ρn-1Ρn→具有相同的方向),則該NURBS曲線一定有且只有一個拐點。證明任取P*1使P0P*1P2…Pn構成凸多邊形,則依據凸性定理,r1(t)=∑i=0?i≠1nΡiRi,p(t)+Ρ1*R1,p(t)t∈[up,un+1]是凸的。取r2(t)=(P1-P*1)R1,p(t)t∈[up,un+1]則r(t)=r1(t)+r2(t)t∈[up,un+1]即r(t)是r1(t)發生位移r2(t)變形后的形狀。由于在端點具有p+1重節點,故依據局部支集性質知,曲線在端點不發生變形,此類變形屬于端點固定的情形。依據NURBS曲線的凸包性質及端點切矢性質,曲線變形前后端點切矢之間的夾角小于π。在定理假定的條件下,依據(6)知變形后在左端點的轉向矢量的方向與變形前相反,而在右端點保持不變。根據引理3及定理1知變形后的曲線有拐點。另外根據Goodman定理,單拐多邊形NURBS曲線的拐點數不超過1,故定理成立。[證畢]圖1是定理4的直觀描述。應用引理3及Goodman定理,還可以證明更一般的情況。定理4*在端點具有p+1重節點的p次NURBS曲線的控制多邊形是正則的且只有一個拐點Pk(0<k<n),則該NURBS曲線一定有且只有一個拐點。2.2m結果的計算平面上五個點Pi(i=0,1,2,3,4),其四個頂點P0,P1,P3,P4構成凸三邊形,另一個頂點P2在射線P1P0、P3P4所張的區域里(不包括P1P0、P3P4及其延長線),形狀像英文字母M。M多邊形是最簡單的雙拐多邊形,其NURBS曲線可以表示為:r(t)=∑i=04ΡiRi,4(t)=Ρ0R0,4(t)+Ρ1R1,4(t)+Ρ2*R2,4(t)+Ρ3R3,4(t)+Ρ4R4,4(t)+ΔΡ2R2,4(t)ΔΡ2=Ρ2-Ρ2*,Ρ2*=(Ρ1+Ρ3