切線的證明-判定的運用課件

年級：九年級學科名稱：數學直線與圓的位置關系——切線的判定

授課學校：

授課教師：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

條件：(1)經過半徑的外端；圓的切線判定定理：(2)垂直于過該點半徑；●O┐Al∵l⊥OA，OA為半徑∴直線l是⊙O的切線數學語言表達1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的直線是圓的切線（)3.過半徑的端點與半徑垂直的直線是圓的切線（）4.圓心與直線上一點的距離等于半徑長,則此直線為圓的切線()5.過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．()×××OrlAOrlAOrlA判斷正誤●O┐Al×如何判定一條直線是已知圓的切線？切線的判定方法有三種：(1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；(定義法)(2)到圓心的距離等于半徑的直線

是圓的切線；(3)過半徑外端點且和半徑垂直

的直線是圓的切線；(判定定理)(d=r數量關系法)1、矩形的兩邊長分別為2.5和5，若以較長一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相切的線段最多有（）A、0條B、1條C、2條D、3條D基礎練習2、已知如圖△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF，AB為直徑,還需添加的條件是＿＿＿＿＿.使得EF是⊙O的切線。FECOBAOBAC分析：由于AB過⊙O上的點C，所以連接OC，只要證明＿＿＿即可。證明：連結OC(如圖)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC。又∵OC為半徑

∴AB是⊙O的切線。例1.已知：直線AB經過⊙O上的點C，且OA=OB,CA=CB求證：直線AB是⊙O的切線。例題講解（1）AB⊥OC例2.已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于D,以O為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過O作OE⊥AC，垂足為E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴OE是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。

例題講解（2）例題1與例題2的證法有何不同?(1)如果已知直線經過圓上一點,則連結這點和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點,則過圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長等于半徑長。簡記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線二.例題講解AOBDC分析：欲證DC是⊙O的切線，由于直線CD與⊙O有公共點C，所以連接OC，易知△OCB為等邊三角形，由CB=OB=BD可得△OCD是直角三角形。證明OC⊥CD即可，因為AB是直徑，所以連接BC，例題講解（3）證明：連結OC、BC例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線AOBDC∵AB為⊙O的直徑∴∠ACB=90°∵∠CAB=30°∴∠ABC=60°∵OB=OC，∴△BOC為等邊三角形∴BC=OB=BD，即△BCD為等腰三角形又∵∠CBD=180°-∠ABC=120°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°又∵點C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線∴∠BCD=∠D=30°例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線AOBDC點評：如果直線與圓有公共點，則連接該點和圓心，證明直線垂直于經過這點的半徑。即

“連半徑，證垂直”例4.如圖，已知：PA是∠BAC的平分線，AB是⊙O的切線，切點為E，求證：AC是⊙O的切線證明：連結OE，過O作OF⊥AC垂足為F點∵AB是⊙O的切線∴OE⊥AB(?)（圓的切線垂直于經過切點的半徑）又∵AP是∠BAC的角平分線，OF⊥AC∴OF=OE（？）∴AC是⊙O的切線（？）點評：如果直線與圓未知公共點，則過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑。即

“作垂直，證半徑”F小結

相切是直線與圓的位置關系中最重要一種關系，切線的判定與性質是中考命題中一個曲線型證明必涉及的內容，一般7~10分.在解決有關圓的切線問題時，常常需要添加輔助線:1、已知直線是圓的切線，通常連過切點的半徑，得這條半徑垂直于切線；2、要證明一條直線是圓的切線：①如果直線經過圓上某一點，則需要連接這點和圓心得到輔助線半徑，再證明所作半徑垂直于這條直線，總結為：“已知公共點，連半徑，證垂直”；②如果已知條件中直線與圓的公共點沒有確定，那么應過圓心作直線的垂線，得垂線段，再證明這條垂線段的長等于半徑。總結為：“未知公共點，作垂直，證半徑”。即：知切線，連半徑，得垂直。當堂訓練已知：如圖，AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，PA⊥AB，BC∥OP，求證：PC是⊙O的切線

分析：要證明PC是⊙O的切線，由于點C在⊙O上，只需連結OC，證明OC⊥PC即可，而PA⊥AB，故需證△PAO≌△PCO，得∠PCO=∠PAO=90°證明：連結OC∵BC∥OP∴∠1=∠2∠3=∠B又∵OC=OA，OP=OP∴△PAO≌△PCO（SAS）∵OB=OC∴∠1=∠B∴∠2=∠3∴∠PCO=∠PAO而PA⊥AB∴∠PCO=90°∴PC是⊙O的切線123●O●P┓1、已知：P為⊙O外一點，以OP為直徑作圓交⊙O于A、B兩點，連接PA、PB那么PA、PB是⊙O的切線嗎？AB練習2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP證明：連結OP。∵OB=OA，BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE為⊙0的切線。2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP3.已知：如圖，同心圓O，大圓的弦

AB=CD，且AB是小圓的切線，切點為E．

求證：CD是小圓的切線．小結1.判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點與圓心的距離等于圓的半徑經過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線2.證明圓的切線常用輔助線作法：⑴連半徑，證垂直⑵作垂直，證半徑l是圓的切線l是圓的切線判定定理(半徑+垂直)1.如圖,線段AB經過圓心O,交⊙O于點A,C,∠BAD＝∠B＝30°,邊BD交圓于點D。求證：BD是⊙O的切線O●ABCD2.如圖，在△ABC中∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，E是BC的中點，連接ED

求證：DE是⊙O的切線·OACBED3.如圖，已知，AB是⊙O直徑，

BC⊥AB于B，⊙O的弦AD∥OC，求證：DC是⊙O的切線．DOBCA4.如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的

⊙O交AB于D，過點D作DE⊥AC于點E，

交BC的延長線于點F．．CBODFEA∟求證：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切線5.已知:如圖,