2020屆高考數學壓軸題-導數找點常見模型及方法歸納

導數問題的常用找點常見模型及方法歸納例題年國新課標·理·21）已知f

2

x

.（）論f

的單調性；（）

有兩個零點，求a的值范圍解析）

x

e

若a則'

恒成立，所以

在上遞減；若0

，令

，得

1,xlna

.當xln

1a

時，f

x

，所以f

x

在

1a

上遞減；當x

1a

時，f

，所以f

在

1lna

上遞增綜上，當a

時，f

在R上減；當a

時，f

在

1a

上遞減，在ln

上遞增（2）

f

有兩個零點，必須滿足

mi

，即a0

，且fmin

11lnaa

1la

.

0構造函數

x易g

1x

，所以

單調遞減又因為

11lnaa

g

1a

.下面只要證明當

時，f

有兩個零點即可此們先證當

時

.事實，構函數

，易h'

1x

，∴

mi

，所

x

，

.

x，x，lnx22x2x當

時，

afe2e2

2

，flnaln

，其中

11，lnlna

，所以f

在

1,ln

13和ln,lnaa

上各有一個零點故的值范圍是注意：點過程用到了常用放縮技巧。一

方

面：xaexx；

3a

ln另一方面：x

時，ae

2x

x

x

（目測的）第一組：對數放縮（放縮成一次函數）xx

，x

，ln（放縮成雙撇函數）

lnx

111

，lnx

1，ln0x，x（放縮成二次函數）lnx2

，

12

x

2

，1x2（放縮成類反比例函數x

x

lnx0x

，

，ln1

11第二組：指數放縮（放縮成一次函數）x

，ex

，x

，（放縮成類反比例函數）ex

1x，x01x

，（放縮成二次函數）

11xx，exx22

3

，第三組：指對放縮elnx第四組：三角函數放縮xx

x

x

111x2，12cosxsin22

2

x

.第五組：以直線yx

為切線的函數x

，

yx

，

y

，y

1x

，yxlnx

.經模型一

x或.x【例】論函數f

的零點個數（）

1

時，無零點f

x

1x

ff

ln

.（）

1

時，1個點1f'xe

，ff

.（）a

1

時，個點f

（目測

f

1aa111

，其中1

11

.（縮）

221feaaeaa22a221feaaeaa22af

.f

111a

1，其中a

.（用到了lnx

（）0時1個點f

1x

，單調遞增

f

，a1

a

1a

11aea

.【變式過元和等價變形之后均可以轉化到例1：f

討f

的零點個數（令x

，

m

討fx

的零點個數（令

m

討f

xxmx

的零點個數（考慮g

x

討f

ln

的點個數考慮gf

，令tx

，ma討f

2

的零點個數令t

，m

討

x

的零點個數（令e

）經模型二y

exx或x【例】論函數f

的零點個數（）0

時，1個點f'

x

x

，

x

x

單調遞增且

，所以在

上有一個零點；（）0

時，無零點f

恒成立；

aa（）a

時，無零點fmin

f

；（）ae時2個.f

，

，

a

.【變式過元和等價變形之后均可以轉化到例題2

討f

x

2x

的零點個數令2x

，

m

討

的點個數去分母后與等e討f

x

的零點個數移平方后與1等討f

x

x

2

的零點個數移項開方后換元與1等價討

x

的零點個數乘系數e，令ema討f

x

的點個數令

t

，轉化成2）討

的零點個數令

，

m2

a經模型三ln或

yxe

【例】討論函數f（）0時，1個點

ax

的零點個數f'

xx

0

，

ax

單調遞增f

，

a1111

.（）0

時，1個點

0

）

minmin（）

1

時，無零點f'1（）時，1個點

xx

，ffminx0

1

.

1fxe（）

1

a0

時，2個點f

ln

2

11a

，

f

，f

，【變式過元和等價變形之后均可以轉化到例題3f

ax

討

ln的零點個數；討f

xx

的零點個數考慮

g

f

，令討f

x

的零點個數令x

討f

的零點個數；練題已函數

f