廣東省揭陽市普寧燎原中學高一數學理期末試題含解析

廣東省揭陽市普寧燎原中學高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D2.設m，n是平面α內的兩條不同直線，l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是()A．m∥β且l1∥α

B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β

D．m∥β且n∥l2參考答案：B3.設，且滿足，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.若樣本數據，，，的標準差為4，則數據，，，的方差為（

）A.11

B．12

C．36

D．144參考答案：D5.當，時，的最小值為（

）A．10

B．12

C．14

D．16參考答案：D考點：基本不等式的應用.6.下列命題為真命題的是()A．對每一個無理數x，x2也是無理數B．存在一個實數x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整數只有兩個正因數D．所有的素數都是奇數參考答案：C解析：若x＝，則x2＝2是有理數，故A錯誤；B，因為x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一個實數x，使x2＋2x＋4＝0是假命題，故B錯誤；因為2＝1×2，所以有些整數只有兩個正因數，故C正確；2是素數，但2不是奇數，故D錯誤．故選C.7.已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是（

）A.5

B.4

C.3

D.2參考答案：C略8.若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6參考答案：C由已知可得，則，所以的最小值，應選答案D。9.在等差數列中，已知，則=

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(

)A.cm3

B.cm3

C.cm3

D.cm3參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.四面體的四個面中，最多可有

個直角三角形．參考答案：4【考點】棱錐的結構特征．【分析】△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂線定理知，PC⊥BC，此時四面體P﹣ABC的四個面都是直角三角形．【解答】解：如圖，△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂線定理知，PC⊥BC，四面體P﹣ABC的四個面都是直角三角形．故答案為：4．12.已知等差數列的通項公式，則它的公差為________．參考答案：

-213.在直角坐標系內，已知A（3，2）是圓C上一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點（異于點A）重合，兩次的折痕方程分別為x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圓C上存在點P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐標分別為（﹣m，0），（m，0），則實數m的取值集合為

．參考答案：[3，7]【考點】直線與圓相交的性質．【分析】求出⊙C的方程，過P，M，N的圓的方程，兩圓外切時，m取得最大值，兩圓內切時，m取得最小值．【解答】解：由題意，∴A（3，2）是⊙C上一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點（異于點A）重合，兩次的折痕方程分別為x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圓上不相同的兩點為B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中點為圓心C（3，4），半徑為1，∴⊙C的方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．過P，M，N的圓的方程為x2+y2=m2，∴兩圓外切時，m的最大值為+2=7，兩圓內切時，m的最小值為﹣2=3，故答案為[3，7]．14.在等比數列中，各項都是正數，則

參考答案：715.已知sin2α=﹣sinα，則tanα=．參考答案：±或0【考點】二倍角的正弦．【分析】sin2α=﹣sinα，可得sinα（2cosα+1）=0，解得：sinα=0，cosα=﹣，進而得出．【解答】解：∵sin2α=﹣sinα，∴sinα（2cosα+1）=0，解得：sinα=0，或cosα=﹣，若sinα=0，則tanα=0，若cosα=﹣，則sinα=，∴tanα=±．故答案為：±或0．16.如圖，在三棱錐中，已知，，一繩子從A點繞三棱錐側面一圈回到點A的距離中，繩子最短距離是

參考答案：略17.（4分）經過點P（3，﹣1），且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是

．參考答案：x+2y﹣1=0或x+3y=0考點： 直線的截距式方程．專題： 直線與圓．分析： 設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，當a=0時，b=0，當a≠0時，a=2b，由此利用題設條件能求出直線l的方程．解答： 設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，當a=0時，b=0，此時直線l過點P（3，﹣1），O（0，0），∴直線l的方程為：，整理，得x+3y=0；當a≠0時，a=2b，此時直線l的斜率k=﹣=﹣，∴直線l的方程為：y+1=﹣（x﹣3），整理，得x+2y﹣1=0故答案為：x+2y﹣1=0或x+3y=0．點評： 本題考查直線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意不要丟解．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數=.(1)求函數的最小正周期和單調遞增區間；(2)求在區間上的最大值和最小值.參考答案：（1）===………………2分所以函數的周期………………3分單調遞增區間是…………

5分（2）

因為，所以，所以………6分所以，

當，即時，

……8分當，即時，

………………10分19.設f（x）是R上的奇函數，且對任意的實數a，b當a+b≠0時，都有＞0（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大小；（2）若存在實數x∈[，]使得不等式f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0成立，試求實數c的取值范圍．參考答案：【考點】函數奇偶性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】（1）根據奇函數的性質和條件得：，由a＞b判斷出f（a）、f（b）的大小；（2）根據（1）和單調性的定義可判斷出函數的單調性，再由奇函數的性質得：f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等價于f（x﹣c）＞f（c2﹣x），根據單調性列出關于x得不等式，求出x的范圍即不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，∴，又∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）﹣f（b）＞0，即f（a）＞f（b）．（2）由（1）知，a＞b時，都有f（a）＞f（b），∴f（x）在R上單調遞增，∵f（x）為奇函數，∴f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等價于f（x﹣c）＞f（c2﹣x）∴不等式等價于x﹣c＞c2﹣x，即c2+c＜2x，∵存在實數使得不等式c2+c＜2x成立，∴c2+c＜3，即c2+c﹣3＜0，解得，，故c的取值范圍為．【點評】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，以及抽象函數的單調性，不等式的解法等，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）設a為實數，函數．（1）若，求a的取值范圍；（2）討論f(x)的單調性；（3）當時，討論在區間(0,+∞)內的零點個數．參考答案：解：（1），因為，所以，當時，，顯然成立；……………1分當，則有，所以.所以.……………………2分綜上所述，的取值范圍是.………………………3分（2）…………………4分對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調遞增；…………5分對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調遞減.…………6分綜上所述，在上單調遞增，在上單調遞減.………7分（3）由（2）得在上單調遞增，在上單調遞減，所以.8分(i)當時，，令，即（）.因為在上單調遞減，所以而在上單調遞增，，所以與在無交點.當時，，即，所以，所以，因為，所以，即當時，有一個零點.………9分(ii)當時，，當時，，，而在上單調遞增，當時，.下面比較與的大小因為所以…………………10分結合圖象不難得當時，與有兩個交點.………11分綜上所述，當時，有一個零點；當時，有兩個零點.………12分

21.要建造一個長方體無蓋貯水池，，其容積為，深為3m，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．

(I)如果水池底面一邊的長度為x米，用x表示另一邊的長度和水池的總造價y（y的單位元）；(II)當x取何值時能使水池總造價y最低？最低總造價是多少元？

參考答案：略22.求函數的最大值和最小值，并求