新課標-回歸教材函 數

新課標一一回歸教材

函數函數f:A一b的概念.理解注意(1)：A、B都是非空數集；(2)任意性:集合A中的任意一個元素x;(3)唯一性:在集合B中有唯一確定的數f(x)和它對應;(3)定不定:集合A一定是函數的定義域，集合B不一定是函數的值域，函數值域一定是集合B的子集.TOC\o"1-5"\h\z典例：(1)函數圖像與直線x=m(meR)至多有一個公共點，但與直線y=n(neR)的公共點可能沒有，也可能有任意個. _已知a=((x,y)Iy=f(x),xeF),B=((x,y)Ix=1)，則集合AAB中元素有 _個；若函數y=1x2-2x+4的定義域、值域都是閉區間［22b］,則b=_2.2 ，同一函數.函數三要素是:定義域，值域和對應法則.而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數.典例:若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“攣生函數”，那么解析式為y=x2,值域為{4,1)的“孿生函數”共有9個.映射f:A-B的概念.理解注意：映射是函數概念的推廣,表現在集合A、B可以為任意非空集合，不一定是表示數,可以是其它人或事物本身.典例:(1)設集合M={-10M= {123映射f:MeN滿足條件“對任意的xeM,x+f(x)是奇數”，這樣的映射f有12個;(2)設f:x—x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2)，則AAB一定是0或{1} .4.求函數定義域的常用方法(一切函數問題:定義域優先)(1)使函數的解析式有意義.解析式求定義域解析式求定義域解析式求定義域y=Ju(x)(n為偶數)u(x)>01y=u(x)u(x),0y=[u(x)]0u(x),0y=logx(aeR，a,1)x>0y=tanx匹x,—+k兀(keZ)2典例:(1)函數y= _g的定義域是[0,2)U(2,3)U(3,4)；lg(x-3)2(2)若函數y=kx+7 的定義域為R,則ke ［0,/)；kx2+4kx+3 4⑶函數f(x)定義域是［a,b］，且b>-a>0，則函數F(x)=f(x)+f(-x)定義域是［a,-a］；⑷設函數f(x)=lg(ax2+2x+1)，①若f(x)的定義域是R,求實數a的取值范圍;②若f(x)的值域是R,求實數a的取值范圍(答:①a>1；②0<a<1)(2)使實際問題有意義.實際問題有意義實際問題有意義實際問題有意義三角形中0<A〈兀，最大角>/,最小角</距離或弧長或面積或體積等為正數年月日等為正整數(3)復合函數的定義域.簡單函數定義域復合函數定義域求法備注

若已知f(x)的定義域為［a,b］則fE(x)］的定義域由不等式a<妃x)<b解出解不等式復合函數定義域簡單函數定義域求法備注若f［g(x)］的定義域為［a,b］則f(x)的定義域為g(x)在［a,b］上的值域求值域法典例:⑴若函數y=f(x)的定義域為［〈,2］頂」f(logx)的定義域為(Xr^2<x<4)；(2)若函數f(x2+1)的定義域為［-2,1),則函數f(x)的定義域為xg［1,5］-求函數值域(最值)的方法：(1)配方法一一二次函數(二次函數在給出區間上的最值有兩類:一是求閉區間［m,n］上的最值;二是求區間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題.求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系).典例：(1)函數y=x2-2x+5,xg［-1,2］的值域是［4,8］；(2)已知f(x)=ax2+4(a+1)x-3(xg(0,2］)在x=2時有最大值，則ag［-1,+?)；2(2)換元法——通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數，其函數特征是函數解析式含有根式.典例：(1)y=2sin2x-3cosx-1的值域為［-4,17；］_；(2)y=2x+1+、3的值域為［3,+8)；(令、m7=t>0,注意:換元要等價)；(3)y=(3)y=sinx+cosx+sinx-cosx的值域為［-1,/+5］；(t=sinx+cosxv2sin(x+4⑷y=x+4+%二的值域為［1,3如2+4］；(令x=3cos0(。g［0,兀］)…)(3)函數有界性法——利用已學過函數的有界性,如三角函數的有界性.典例:函數y=業土！，y=4,y=淄二！值域分別是:(-8,1］,(0,1),(-8,3］；1+sin0 1+3x1+cos0 2 2單調性法——利用函數的單調性.典例:(1)求y=x--(1<x<9),y=sin2x+/. ,y=2x-5+log3u的值域為(0,80‘)、［1/',9］、R； 9 2數形結合法——函數解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率等.典例：⑴若點pg{(x,y)|x2+y2=1),則〈及y-2x的取值范圍［-Z"］、［-3］；(2)函數y=y'(x-2)2+'?.?'(x+8)2的值域［10,+8)；⑶函數y=3-6x+13+、宇+4x+5的值域［，:打,+8)注意:異側和最小,同側差最大.判別式法——分式函數(分子或分母中有一個是二次),其定義域通常為R典例:⑴函數y=2./ 的值域［-1,1］(x21) (2)若y=log3m2+8x+n的定義域為R,值域為［0,2］,求常數m,n的值(答:m=n=5)(7)不等式法一利用基本不等式a+b>2婚(a,bgR)求函數的最值或值域.其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和平方等技巧.典例:⑴y=^型，可直接用不等式性質,如函數y=^的值域(0,/］.k+x2 2+x2 2(2)y='Im*+十'型，，如函數y=出山1的值域(f,-3]U[1,+8)mx+n x+1⑶y=一座—型,如①函數y=工的值域[一/,/]；②函數y= 的值域^,x2+mx+n 1+x2 22 x+3 2⑷設x,a,a,y成等差數列,x,b,b,y成等比數列，則食1土空的取值范圍是(e,0]U[4,+8).1 2 1 2 bb 12(8)導數法——一般適用于高次多項式函數.典例：函數f(x)=2x3+4x2-40x,xe[-3,3]的最小值是一48_.提醒：(1)寫函數的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎？(2)函數的最值與值域之間有何關系？典例：函數y=3x(-1<x<3,且xeZ)的值域是{—3,0,3,6,9},不要錯覺為[-3,9]分段函數的概念.分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數，它是一類較特殊的函數.在求分段函數的值f(x)時，一定首先要判斷x屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集.典例:⑴設函數f(x)」(x+X」(x<1),則不等式f(x)>1的解集為(-8,-2]U[0,10]；、4-dx-1.(x>1) (2)已知f(x)=「 (x>0),則不等式x+(x+ 2)f(x+ 2) <5的解集是(-8，/].-1 (x<0) 、 1' —__^-2^求函數解析式的常用方法：(1)待定系數法一一已知所求函數的類型(二次函數的表達形式有三種:一般式:f(x)=ax2+bx+c；頂點式：f(x)=a(x-m)2+n；零點式:f(x)=a(x-x)(x-x)，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函數的表達形式. 1 2典例:若f(x)為二次函數，且f(x-2)=f(-x-2)，且f(0)=1,圖象在X軸上截得的線段長為2'、?,2,求f(x)的解析式.(答：f(x)=1x2+2x+12(2)代換(配湊)法——已知形如f(g(x))的表達式，求f(x)的表達式.典例:⑴已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x2)的解析式(答:f(x2)=-x4+2x2,xe[-、2/2])；這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即f(x)的定義域應是g(x)的值域.(2)若f(x-1)=x2+—，則函數f(x-1)=x2-2x+3:x x2 ⑶若y=f(x)(xeR)是奇函數，且f(x)=x(1+孑x)(x>0)，那么xe(-8,0)時,f(x)=x(1-?x)⑶方程的思想一一已知條件是含有f(x)及另外一個函數的等式,可抓住等式的特征對等式的進行賦值,從而得到關于f(x)及另外一個函數的方程組.典例：(1)已知f(x)+2f(-x)=3x-2，求f(x)的解析式(答：f(x)=-3x--)；(2)已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(x)+g(x)=^^,則f(x)二^^x—1 x2—18.函數的奇偶性.(1)具有奇偶性的函數的定義域的特征：定義域必須關于原點對稱！為此確定函數的奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱.典例:若f(x)=2sin(3x+0),xe[2a-5兀,3a]為奇函數，其中0e(0,2兀)，則a-0值是_0_；(2)確定函數奇偶性的常用方法(若函數解析式較為復雜，應先化簡,再判斷其奇偶性)：定義法：典例：(1)判斷函數y=比蘭4的奇偶性奇函數.V9-X2判斷函數f(X)=血r+cos2x-cos4X的奇偶性既是奇函數又是偶函數：利用函數奇偶性定義的等價形式:f(x)土f(-x)=0或4!=±］(f(x),o).f(X)典例:判斷f(X)=X(―+1)的奇偶性偶函數.2x—1 2圖像法:奇函數的圖象關于原點對稱;偶函數的圖象關于y軸對稱.典例:判斷f(x)=「+1，(X>°)的奇偶性奇函數.x—1.(x<0)函數奇偶性的性質：奇(偶)函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同(反).若f(X)為偶函數，則f(—X)=f(X)=f(IXI).典例:若偶函數f(X)(XeR)在(—80)上單調遞減，且f(1)=2,則不等式f(logX)>2的解， 3 1集為(0,i：)(2,+8)若奇函數f(X)定義域中含有0,則必有f(0)=0.故f(0)=0是f(X)為奇函數的既不充分也不必要條件.典例:若f(x)=a^2X+a一2為奇函數,則實數a=-^.2x+1定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和(或差)”.典例：設f(x)是定義域為R的任一函數，F(x)=(X)+(一X),G(x)=(X)T(一X).22判斷F(x)與G(X)的奇偶性；答案：F(x)為偶函數,G(X)為奇函數；若將函數f(X)=lg(10x+1),表示成一個奇函數旋x)和一個偶函數h(x)之和，則g(x)=X復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”. —既奇又偶函數有無窮多個(f(x)=0，定義域是關于原點對稱的任意一個數集).9.函數的單調性.(1)確定函數的單調性或單調區間的常用方法：①在解答題中常用：定義法(取值一作差一變形一定號)、導數法(在區間(a,b)內，若總有f，(x)>0，則f(x)為增函數;反之，若f(x)在區間(a,b)內為增函數，則f，(x)>0，請注意兩者的區別所在.典例：已知函數f(X)=X3—ax在區間［1,+8)上是增函數，則a的取值范圍是(—8,3］；②在小題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意雙勾函數y=ax+b(a,beR「圖象和單調性在解題中的運用：增區間為(—8,—y?2,+8),減區間為［—*',0)和(0,tb'］a a a a^^例：⑴若函數f(x)=x2+2(a—1)x+2在(—8,4］上是減函數，則a取值范圍是aV-3；(2)已知函數f(x)=竺土1在區間(—2,+8)上為增函數,則實數a的取值范圍(「+8)；x+2 2⑶若函數f(x)=log〃(X+〈-4)(a>0,且a，1)的值域為R,則a的取值范圍是0<aV4且a引；復合函數法:復合函數單調性的特點是同增異減.典例：函數,=log疽f2+2X)的單調遞增區間是旦幻.特別提醒:求單調區間時，第一，勿忘定義域；典例：若f(x)=墮(x2F+3)在區間g,；］上為減函數，則a的取值范圍(1,2&)；第二，在多個單調區間之間不一定能添加符號“”和“或”；第三，單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示；第四，你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?①比較大小;②解不等式;③求參數范圍.典例：已知奇函數f(x)是定義在(一2,2)上的減函數，若f(m-1)+f(2m-1)>0，求實數m的取值范圍.(答：/<m</)常見的圖象變換3y=f(x+a)(a>0)的圖象是把函數y=f(x)圖象沿x軸向左平移a個單位得到的.典例：設f(x)=2-x,g(x)的圖像與f(x)的圖像關于直線y=x對稱,h(x)的圖像由g(x)的圖像向右平移1個單位得到，則h(x)為h(x)=-log2(X-1)y=f(X+a)((a<0)的圖象是把函數y=f(x)圖象沿x軸向右平移la個單位得到的.典例：(1)若f(x+199)=4x2+4x+3,則函數f(X)的最小值為一；(2)要得到y=ig(3-x)的圖像，需作y=lgx關于工軸對稱圖像，再向右平移3個單位而得到;⑶函數f(x)=x.lg(x+2)-1的圖象與x軸的交點個數有個.函數y=f(X)+a(a>0)圖象是把函數y=f(x)的圖象沿y軸向上平移a個單位得到的；函數y=f(x)+a(a<0)圖象是把函數y=f(x)的圖象沿y軸向下平移la個單位得到的;典例:將函數y=4+a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位，所得圖象如果與原圖象關于直線二:對稱，那么(C)Aa=-1,b。0Ba=-1,bgRCa=1,b0Da=0,bgR函數y=f(ax)(a>0)的圖象是把函數y=f(x)的圖象沿x軸伸縮為原來的」得到的.a典例：(1)將函數y=f(x)的圖像上所有點的橫坐標變為原來的1(縱坐標不變)，再將此圖像3沿X軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數為y=f(3X+6)；(2)如若函數y=f(2X-1)是偶函數,則函數y=f(2X)的對稱軸方程是X=< .函數y=af(x)(a>0)圖象是把函數y=f(x)圖象上各點縱坐標變為原來I的a^倍得到的.函數的對稱性.①滿足條件f(x+a)=f(b-x)的函數的圖象關于直線x=電對稱.2典例:若y=ax2+bx(aA0)滿足f(5-x)=f(x-3)且方程f(X)=X有等根，則f(X)=-1X2+X-點(X,y)關于y軸對稱點為(-X,y)涵數y=f(x)關于y軸的對稱曲線方程為y=f(-x)；點(X,y)關于X軸對稱點為(X,-y)；函數y=f(X)關于x軸的對稱曲線方程為y=-f(x)；點(X,y)關于原點對稱點為(-X,-y)涵數y=f(x)關于原點對稱曲線方程為y=-f(-x)；:⑤點(X,y)關于直線y=±x+a的對稱點為(土(y-a),±x+a)；曲線f(x,y)=0關于直線y=±X+a的對稱曲線的方程為f(±(y-a),±x+a)=0.特別地，點(x,y)關于直線"x的對稱點為(y,x)；曲線f(xy)=0關于直線y=X的對稱曲線的方程為f(yx)=0；點(x,y)關于直線y=-x的對稱點為(-y,-x)；曲線f(x,y)=0關于直線y=-x的對稱曲線的方程為f(-y,-x)=0.典例：己知函數f(x)=空二土,(x，3),若y=f(x+1)的圖像是c，它關于直線y=x對稱2x-3 2 1圖像是c,c關于原點對稱的圖像為c，則c對應的函數解析式是y=-絲土￡；2 2 3 3 2x+1曲線f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y)=0-典例:若函數y=x2+x與y=g(x)的圖象關于點(-2,3)對稱，則g(x)=-x2-7x-6形如y=*^(c，0,ad，bc)的圖像是雙曲線,其兩漸近線分別直線x=--(由分母cx+d c為零確定)和直線y=冬(由分子、分母中x的系數確定)，對稱中心是點(--,氣.c cc典例：已知函數圖象c，與c:y(x+a+1)=ax+a2+1關于直線y=x對稱,且圖象c，關于點(2,-3)對稱，則a的值為^.If(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關于x軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到;f(|xI)的圖象先保留f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關于y軸的對稱圖形得到.典例:(1)作出函數y=Ilog(x+1)I及y=logIx+1I的圖象；(2)若函數f(x)是定義在R上的奇函數,則函數F(x)=If(x)1+f(IxI)的圖象關于y軸對稱.提醒:(1)從結論②③④⑤⑥可看出,求對稱曲線方程的問題,實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；(2)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上；⑶證明圖像c與c的對稱性,需證兩方面:①證明c上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在c上;②證明c上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在c上. 2 2典例：⑴已知函數f(x)=旦J(aeR).求證:函數f(x)的圖像關于點M(a,-1)成中心a-x對稱圖形；(2)設曲線C的方程是y=x3-x，將C沿x輒y軸正方向分別平行移動t,s單位長度后得曲線c.寫出曲線c1的方程(答：y=(x-t)3-(x-t)+s)；證明曲線C與c1關于點A(匚,S)對稱.12.函數的周期性.(1)類比“三角函數圖像”得若y=f(x)圖像有兩條對稱軸x=a,x=b(a，b)，則y=f(x)必是周期函數，且一周期為T=2Ia-bI；若y=f(x)圖像有兩個對稱中心A(a,0),B(b,0)(a。b)，則y=f(x)是周期函數,且一周期為T=2Ia-bI；如果函數y=f(x)的圖像有一個對稱中心A(a,0)和一條對稱軸x=b(a，b),則函數y=f(x)必是周期函數，且一周期為T=4Ia-知；典例:⑴已知定義在R上的函數f(x)是以2為周期的奇函數,則方程f(x)=0在［一2,2］上至少有—個實數根.(2)由周期函數的定義“函數f(x)滿足f(x)=f(a+x)(a>0)，則f(x)是周期為a的周期函數”得：函數f(x)滿足-f(x)=f(a+x)，則f(x)是周期為2a的周期函數；若f(x+a)=1 (a豐0)恒成立，則T=2a；③若f(x+a)=-1(a豐0)恒成立，則T=2a-f(x) f(x)若f(x+a)= (a,0)恒成立，則T=4a.類比tan(x+匹)=土唉記憶.1一f(x) 4 1一tanx典例:⑴設f(x)是R上的奇函數，f(x+2)=—f(x)，當0<x<1時,f(x)=x，則f(47.5)=一0.5.；⑵定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且在［-3,一2］上是減函數，若a，p是銳角三角形的兩個內角，則f(sina),f(cosP)的大小關系為f(sina)>f(cosP)；⑶已知f(x)是偶函數，且g(1)=993,g(x)=f(x—1)是奇函數，求f(2012)的值(答：993)；TOC\o"1-5"\h\z⑷設f(x+2)［1—f(x)］=1+f(x)(xeR)，又f(2)=2+&,則f(2012)=-1-2^2 .指數式、對數式：m \ m /an=nam，an=/-，a0=1(a,0)，log1=0，loga=1，1g2+1g5=1，logx=Inx，anab=NologN=b(a>0,a，1,N>0)，a1oga=N，logb='。，logbn=—logb.a aloga af^m ma典例:(1)log25Dlog4Dlog9的值為8；(2)(1)log：8的值為上2 3 5 2 64⑶已知函數f(n)=log(n+2)(neN*),定義使f⑴-f⑵..?.?f(k)為整數的數k(keN*)叫做企盼數，則在區間［1,20；2］內這樣的企盼數共有個.指數、對數值的大小比較:⑴化同底后利用函數的單調性；(2)作差或作商法；⑶利用中間量(0或1)；(4)化同指數(或同真數)后利用圖象比較.函數的應用.(1)求解數學應用題的一般步驟:①審題一認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景,尋找各量之間的內存聯系;②建模一通過抽象概括,將實際問題轉化為相應的數學問題,別忘了注上符合實際意義的定義域;③解模一求解所得的數學問題;④回歸一將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去.(2)常見的函數模型有:①建立一次函數或二次函數模型;②建立分段函數模型;③建立指數函數模型;④建立雙勾函數y=ax+b(a,beR「型.典例:某旅店有客床100張,各床每天收費10元時可全部額滿.若每床每天收費每提高2元則減少10張客床租出，這樣，占了減少投入多獲利，每床每天收費應提高(B)A2元B4元C6元D8元16.抽象函數抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件(如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等)的函數問題.求解抽象函數問題的常用方法是:(1)借鑒模特函數進行類比探究.幾類常見的抽象函數：①正比例函數型:f(x)=kx(k，0) f(x±y)=f(x)±f(y)；

②幕函數型:f(x)=x2③指數函數型:②幕函數型:f(x)=x2③指數函數型:f(x)=ax④對數函數型:f(x)=logx⑤三角函數型:f(