第二章 巖體內的應力波

第二章應力波理論與巖體內的爆炸應力波2.1熱力學的基本概念2.2液體和氣體中的應力波（自習）2.3應力波2.4巖體內的爆炸應力波2.5彈性波的波動方程（自習）2.6平面波、球面波、柱面波的波動方程（自習）2.7縱波在兩種巖石界面的折射和反射2.8應力波的干涉

2.1熱力學的基本概念

2.1.1基本概念

⑴理想液體和氣體理想液體或氣體是其粒子之間既無剪力又無摩擦力作用的一種連續介質。

⑵熱力學基本參量流體的狀態參數常用壓力P，比容V或密度ρ,溫度T,比內能e，比熵s等熱力學狀態參量來描述。其中壓力、密度和溫度是可以直接測量的量，稱為熱力學基本參量。

⑶熱力學零定律流體熱力學體系化學成分不因混合或擴散而改變時，流體的狀態可由任何兩個獨立的熱力學參數來確定，該狀態原理有時又稱熱力學第零定律。

⑷狀態方程熱力學參量P、V、T、e、s中任何兩個都可以選作為獨立變量，其他量都可用它們表示，這些熱力學量之間的關系稱為狀態方程。狀態方程決定三個參數之間的關系，通常具有以下形式：

,,(2－2)

根據氣體和液體的運動學理論：

(2－3)

其中：，都是函數。

⑸熵熵指的是混亂的程度熱力學中表征物質狀態的參量之一，通常用符號S表示。在經典熱力學中，

熵的定義：或(2－1)式中：—比熱；

—絕對溫度；—介質的兩種狀態。

⑹體系的熱力學關系式物質的基本粒子（原子、分子）的運動能量和相互的效應稱為物質的內能。單位質量的內能稱為比內能，用E表示，并由狀態的參數決定：，，(2－4)熱力學第一定律表示為能量守恒：

(2－5)根據方程（2－5）可知，體系內的介質所吸收的熱量dQ分別消耗于完成內能與功的變化量dE和dA。量Q、E和A都是就單位質量而言，功常用dA=PdV表示，于是有：

(2－6)將式：

(2—7)

代入（2－6）式得：

(2－8)

體積恒定時，則（2－8）式為：

(2－9)

壓力恒定時的比熱為：

CV是在體積恒定情況下，當單位質量的物質溫度升高一個單位時的內能增量;CP是在壓力恒定情況下，當單位質量的物質溫度升高一度時的熱量增量，在此等壓過程中，體積是變化的。對于所有物質，CP>CV

，這些定義說明，差（CP-CV）等于單位質量的物質溫度升高一度時膨脹所作的外功。

(2－10)

熱量的總變化可分為內部的變化（粒子之間的摩擦）和外部的變化（加熱和放熱）即：

所以對于絕熱過程（）：因為粒子之間的摩擦的功恒為正（），因此，對于絕熱過程始終有。對于理想物質：絕熱過程稱為理想絕熱或等熵絕熱過程。絕熱系統中熵無變化的過程稱為可逆過程。在不可逆過程中，熵是增大的。使介質的熵增加的不可逆過程發生在沖擊波的波陣面上；波陣面上的壓力和其它量的變化為階躍式的，壓力躍變值越大，沖擊波波陣面上的熱損耗和介質的熵的增加越多。在等熵運動情形中，S=S0=常數，方程（2－2）式有形式：即壓力僅與體積或密度有關，等熵并不意味著溫度不變。

2.1.2理想氣體與正壓介質1、理想介質理想氣體是指在其粒子之間既無摩擦力又無結合力作用的氣體，因此，它的內勢能為零，而整個內能等于運動粒子的動能，所以內能與絕對溫度有關。若在特殊情況下，內能與溫度成正比，這種理想氣體稱為多方氣體。或(2－12)熱力學第一定律（2－5）式為：

(2－13)在可逆絕熱過程中，不與外部介質發生熱交換，于是對多方氣體，我們有，或(2－14)

克拉伯龍－門捷列夫理想氣體的狀態方程為：

(2－15)式中0R是氣體常數，當P=常數時，對式（2－15）進行微分，得到，熱力學第一定律取以下形式：

(2－16)式（2－16）兩邊同除以得邁耶公式：

(2－17)對于多方氣體，由于式（2－1）、（2－15）、（2－16）得到：

(2－18)(2－19)(2－20)多方氣體的熵是兩個變量：溫度和體積或壓力和體積的函數。解（2－20）得：

（2－21）

多方氣體的狀態方程也可以表示為方程（2－21）形式，在等熵過程中，熵是常數。A*(S)=A*=常數，多方氣體狀態方程變為：或（2－22）這里A*是常數，k是等熵指數。聲波的傳播速度為：（2－23）若與分別表示壓力為時介質的聲速與密度，由（2－22）、（2－23）得：

（2－24）利用上述關系，理想氣體的內能表示為：（2－25）2、正壓介質定義：狀態方程中不包含熵的介質稱為正壓介質。因此，這種介質的狀態方程形式是：（2-26）在這種介質中，熵的變化對壓力的影響可以忽略不計，水、飽和土以及諸如油－水－氣、石油－水、石油－氣、水－氣等多相介質都屬于這種介質。平均壓縮率：（2-27）當壓力為P0時，比容為，壓力為P1時，比容為。瞬時壓縮率：

(2－28)式中：

(2－29)ρCz

稱為介質的特征阻抗或波阻抗。對于不可壓縮物體，ξ＝0，A’＝∞故聲速Cz

＝∞壓縮率（2－28）表示P=P（V）曲線上一點的某性質，若利用平壓縮率，這個性質就定義在一個壓力區間。根據熱力學第一定律，并考慮到（2－1）式，對正壓介質的內能便得到關系：

(2－30)內能和壓力可以表示成為取作基本量的兩個參數—體積和熵的函數E=E(V,S)(2－31)比較（30）式與（31）式得：，根據狀態方程，壓力只與體積有關，因此：

(2－32)由此可知正壓介質是內能分成兩個函數的介質，其一只與熵，另一只與體積有關。有些正壓介質的狀態比較復雜，水和其它均質液體的狀態方程一般表示為：

(2－33)系數A*與B*是試驗確定的常數。根據公式（2－23）、（2－24）得：k>1時，Cz隨密度的增加而增大，k＝1時，Cz與密度無關，而Cz<1時，隨密度的增大而減少。

P=P0時,因而

(2－34)式（2－33）可表示為：

(2－35)2.3應力波2.3.1基本概念在介質中傳播的擾動稱為波.由于任何有界或無界介質的質點是相互聯系著的,其中任何一處的質點受到外界作用而產生變形和擾動時,就要向其他部分傳播,這種在應力狀態下介質質點的運動或擾動的傳播,稱為應力波.固體爆炸應力波的定義：裝藥在巖體或其他固體介質中所激起的應力擾動的傳播，稱為爆炸應力波，即介質處于某一應力狀態下的部分和介質其余部分的界面稱為波陣面。⑴按應力波傳播途徑：應力波可分為體積波和表面波體積波：是指在固體介質中傳播的應力波，體積波又可分為縱波（P波）和橫波（S波）縱波是由波源向外傳播的一種壓縮波，其前進方向與質點的振動方向一致[圖2.2(a)]，介質在其作用下被壓縮和膨脹，其特點是周期短、振幅小、波速快，引起地面豎向振動，破壞性較弱；橫波是由波源向外傳播的一種剪切波，其前進方向與質點振動方向垂直[圖2.2(b)]，其特點是周期長、振幅相對縱波大、波速慢引起地面水平振動，破壞性較強。

圖2-7體積波傳播示意圖在地層表面或介質體表面傳播的地震波稱為面波，它通常被認為是體波經地層界面的多次反射后形成的次生波，主要包括瑞利波(R波)和洛夫波(L波)。在瑞利波的傳播過程中，介質質點在地表面內及波的傳播方向上作橢圓運動，但在與該平面垂直的水平方向沒有振動，因而瑞利波質點運動軌跡在地面上呈滾動形態[圖2.3(a)]在勒夫波的傳播過程中，質點僅在與傳播方向相垂直的水平方向運動，在地面上呈蛇形運動形式[圖2.3(b)]。其特點是振幅大、周期長，在地面傳播時衰減慢，但其攜帶的能量比較大，影響范圍較廣，也是造成建筑物發生強烈振動甚至破壞的主要因素。在整個爆破過程中，體波是導致巖石產生破裂的主要因素，而面波則是引起爆破地震效應的主要因素。

圖2-8面波傳播示意圖⑵按波陣面形狀分類球面波、柱面波和平面波⑶按傳播介質變形性質不同分類由于固體介質變形性質不同，在固體中傳播的應力波可以分為以下幾種：①彈性波：在彈性介質傳播的波，服從虎克定律②黏彈性波：在非線性彈性體中傳播的波。這種波除了彈性變形產生的彈性應力外，還產生摩擦應力或黏滯應力③塑性波。應力超過彈性極限的波。在能夠傳播塑性波的介質中，應力在未超過彈性極限前仍然是彈性的。應力超過彈性極限后，出現屈服應力，起傳播速度比彈性應力傳播速度小得多。④沖擊波。如果介質的變形性質能使大擾動的傳播速度遠遠大于小擾動的傳播速度，在介質中就會形成波陣面陡峭的，已超聲波傳播的沖擊波。2.3.2爆炸應力波的傳播和特性1、應力波的傳播和作用爆炸應力波傳播過程和范圍如圖所示圖2-8爆炸應力波的傳播和作用范圍圖3-2爆破的內部作用R0-藥包半徑；R1-粉碎區半徑；R2-破裂區半徑⑴沖擊波的作用：沖擊波具有陡峭，以超音速進行傳播，波陣面上的狀態參數突躍變化，波峰壓力大大超過介質的抗壓強度，此時介質產生塑性變形或粉碎，形成壓碎區，沖擊波的作用范圍一般為3～7倍裝藥半徑。⑵應力波的作用沖擊波衰減后變成壓縮波，波陣面上介質參數變化也明顯平穩，傳播速度等于音速，在此范圍內，應力波峰壓力小于介質的抗壓強度，只能造成介質的變性，裂隙或拉斷，該區域因而也成為裂隙區。作用范圍為7～120／150R。是爆破的主要作用區。⑶地震波的作用壓縮波對介質連續做功，能量進一步損耗，直至衰減到不對介質起任何破壞作用，只能引起質點的彈性振動，形成地震波。地震波衰減慢，作用范圍大，對介質沒有直接的破壞作用，該區域也稱彈性振動區。2、爆炸應力波的特性

應力波特性，亦即它們在介質中的性狀和變化，首先取決于介質本身的性質。為了透徹了解應力波的機制，必須知道介質的一般基本特性，介質的基本特性可用應力----應變關系表示。

設理想情況下，波的傳播方向與質點運動方向一致，在固體取一微元體，擾動前處于靜止狀態，初始應力為σ，質點運動速度為零u＝0，擾動后密度和應力變化分別為，質點獲得運動速度du，擾動傳播速度為D，設t時刻為與截面AA’的波頭，在t+dt時刻傳播至截面CC’，傳播的距離為Ddt，在同一時刻dt時間內，截面AA’的質點移至截面BB’，產生位移為du、dt。由動量守恒得：化簡得：(2-91)質量守恒：忽略方程中高階微量得：（2-92）根據比容V，密度ρ和體積變形θ的關系有：

（2－93）

由（2-91）和（2－92）式得：

（2-95）

（2－95）式表明，固體中微幅應力波的傳播速度決定于應力隨應變的變化率即變形模量。（2－94）

圖2-10介質中應力擾動的傳播εABσAσBεCεBεACσc0σ圖2-9固體在沖擊荷載作用下的變形曲線因有限幅應力波可看作是一系列微幅應力波的疊加，要了解固體中爆炸應力波的特性，須知道固體材料在沖擊載荷下的應力和應變關系。圖2-9為固體在沖擊和在作用下的典型變形曲線。圖中0~A為彈性區，A為屈服點，A~B為彈塑性區，B點以后材料進入類似流體狀態。若應力值不超過彈性極限或屈服點。在固體中傳播的是彈性應力波，應力和應變為線性關系，變形模量為常數，與擾動強度無關。彈性應力波的傳播速度等于未擾動固體中的聲速，按下式計算，有上式只適用于無側限應力的一維平面波。當應力超過屈服點而處于彈塑性變形區內時，緊跟彈性應力波后面傳播的是彈塑性波。該區內變形模量不是常數，而是隨應力值增大而減小，因此，高應力處的微幅應力擾動要比低應力處的微幅應力擾動傳播慢，波頭在傳播過程中逐漸變緩。通常彈塑性變形區可近似用直線表示，并以該直線的變形模量計算彈塑性的平均波速，其值小于未擾動固體中的聲速。

應力值超過B點，固體的變形特性類似于流體，其變形模量隨應力增大或壓縮率減小而增加。與彈塑性波相反，高應力處的微幅應力擾動要比低應力處的微幅應力擾動傳播快，其結果將形成陡峭波頭（見2.4.3沖擊波的形成過程）。但在B~C變形段內，變形模量仍小于彈性區變形模量，故在該區內，雖能形成陡峭波頭，但波頭傳播速度不是超聲速的（與固體介質中的聲速比較），不能把它看作是沖擊波。為與沖擊波區別起見，把此波稱為不穩定沖擊波（非穩態沖擊波）。應力值超過C點后，不僅能形成陡峭波頭，而且波頭傳播速度是超聲速的，這時將可以形成沖擊波。裝藥在巖體中爆炸時，若作用在巖體上的沖擊載荷超過C點應力（臨界應力），首先形成的是沖擊波，爾后衰減為非穩態沖擊波、彈塑性波、彈性應力波、地震波（圖2-11）。圖2-11不同應力條件下介質中傳播的各種爆炸應力波2.4巖體內的爆炸應力波2.4.1爆炸應力波的初始壓力炸藥爆炸后作用于周圍介質中的爆炸應力波初始壓力，因裝藥的耦合條件不同，直接或間接地作用于周圍介質，激起不同強度的沖擊應力波，按聲學近似的方法或按爆轟產物等熵膨脹后碰撞炮孔壁方法，在耦合裝藥情況下，初始徑向應力峰值為：

(2－97)

式中：－沖擊應力波初始峰值壓力，Pa

－被作用介質密度，kg/m3－炸藥裝藥密度，kg/m3

－介質中縱波傳播速度，m/s

－炸藥的爆速，m/s

－炸藥的爆轟壓，Pa不耦合裝藥：孔壁壓力式中：-碰撞次數=8-10；

-裝藥半徑

-炮孔半徑

-待定系數，與藥包形狀有關。2.4.2巖體內的沖擊波沖擊波通過時，巖石類似于流體，波頭上狀態參數將發生突躍變化。設巖石初始參數為，，，=0，沖擊波波速為D，波頭上巖石狀態參數突變為P、V、E、u，（P、V、E、u分別為壓力、比容、內能、質點速度）這些參數滿足下列沖擊波基本方程：（2－98）

（2-99）（2-100）（2－98）式至（2－100）式三個基本方程，四個未知數，解上述方程必須知道狀態函數E=(P,V)，這很困難，因此一般通過實驗給出巖石的雨果尼奧曲線，即，最常采用的RH方程為：

(2－101)式中：B—試驗確定的系數，或按下列公式計算：（2－102）n—試驗指數，大多數巖石n≈4或：a,b—試驗確定的常數，某些巖石值見表2-1。

2.4.3應力波衰減規律隨著應力波的傳播，由于幾何衰減和能量損失造成的衰減，隨應力波傳播距離增大，應力峰值將不斷減少，徑向應力峰值與距離的關系可表示為：

(2－103)式中：—距離裝藥中心距離與炮孔半徑的比值。稱為對比距離

—應力波衰減指數對沖擊波取正，對應力波取負。

—泊松比切向拉應力峰值（絕對值）可通過徑向壓應力峰值來表示：

（2－104）系數B與巖石的泊松比μ有關，可用下式計算：因此（2-105）2.7縱波在兩種巖石界面的反射和折射

2.7.1入射波、發射波、折射波的性質

入射波：從波源向外發射，有一種介質向另一種介質傳播的波稱為入射波，炸藥爆炸產生的沖擊波、應力波、地震波，均以壓縮波的形式從爆源向外發射傳播。向自由邊界垂直和斜射入射的波，稱為垂直入射波和傾斜入射波。

反射波：入射波遇到兩種不同介質界面則被反射，這部分被反射回來的波稱為反射波。

折射波：入射波遇到兩種不同介質的界面時，除了一部分反射為反射波外，另一部分波透過界面進入另一種介質的波，稱為折射波（透射波）。

2.7.2折射定律在△OAO’中，有：在△OBO’中，有：

圖2-17入射波在不同介質中的折射

兩邊相除，即得的波的折射定律：上式稱為斯涅耳定律2.7.3縱波在兩種巖石界面的反射和折射因裝藥在巖石中爆炸后直接激起的應力波主要是縱波，我們主要討論縱波在兩種巖石界面上的反射和折射。

圖2-18縱波在兩種巖石界面上的反射和折射

設兩種巖石界面為YX平面，波源在第一種巖內，其波阻抗，第二種巖石的波阻抗為，若界面上兩變巖石的粘結力不能使巖石沿界面產生相對滑移，則應力波入射到界面時所應滿足的條件是界面兩邊法向位移、切向位移、法向應力、切向應力均連續相等。為滿足邊界條件，在界面上將同時產生四種不同的新波：反射縱波和反射橫波、折射縱波和折射橫波。⑴入射角、反射角、折射角與波速關系遵循斯涅耳定律式中：—第一種巖石縱波和橫波的波速

—第二種巖石縱波和橫波的波速⑵各波位移中幅值滿足下列方程（規定在波傳播方向產生的位移為正）法向位移：（2－148）切向位移：（2－149）

法向應力：（2－150）切向應力

（2－151）

由以上四個方程可求得入射波位移幅值表示的反射波和折射波位移。正入射時，入射波和所有其它角度均等于零，在這種情況下，即沒有橫波產生，只產生反射縱波和折射縱波。解方程得：

（2－152）

（2－153）反射應力σR，折射應力σT與入射應力σI的比值為：

(2-154)(2-155)

如果將炸藥看作是第Ⅰ種介質，巖石看作是第Ⅱ種介質，炸藥內傳播的爆轟波為彈性波，利用(2-155)求得的折射壓力：

（2－156）式中：P1為炸藥的爆轟壓力：為炸藥沖擊阻抗，為巖石的波阻抗。或：應力波垂直入射時，情形簡單。滿足連續和平衡條件：在邊界的兩側，其應力必須相等；垂直于邊界面方向的質點速度必須相等。在單位面積下有：討論：⑴、、說明反射波為拉伸波，質點運動與入射波質點運動相同，而與反射波傳播方向相反，透射波的應力幅值小于入射波。若第二種介質為空氣，或界面為自由面時，空氣的波阻抗可忽略不計（＝0），則有：、、、

即反射波的應力和質點速度值與入射波的相同，但應力極性倒轉；自由面上的應力為零，質點速度為入射波速度的2倍。(2)若，即在阻抗匹配情況下，則有：、、、說明沒有反射波產生，入射波就像不存在有界面一樣直接通過。根據能量守恒定律，反射波與折射波的能量總和應等于入射波的能量。因此，在阻抗匹配的情況下，入射波能量也將全部傳給折射波。(3)若,反射波應力為正,而質點速度為負，說明反射波為壓縮波,質點運動方向與入射波質點運動方向相反,而與反射波傳播方向相同。若第種介質為剛體或界面為剛性界面，與相比可忽略不記，或認為，則有：、、、

即反射波的應力和質點速度值與入射波的相同，但質點速度極性倒轉；界面上的質點速