直線的方向向量、平面的法向量

直線的方向向量與平面的法向量齊河一中數學組YXZABCDEF練習：在正方體ABCD—A1B1C1D1中E、F分別是BB1、CD的中點，求證：D1F平面ADE為了用向量來研究空間的線面位置關系，首先我們要用向量來表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內，則有由兩個三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取z=1較合理。其實平面的法向量不是惟一的。平面的法向量不惟一，合理取值即可。

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關系.那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關系以及它們二面角的大小呢？l1l2l1三、平行關系：例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡證：因為矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標系，設AB,AD,AF長分別為3a，3b，3c，則可得各點坐標，從而有又平面CDE的一個法向量是因為MN不在平面CDE內所以MN//平面CDEl1l2l四、垂直關系：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，則可得：所以1．如圖，正方體中，

E為的中點，證明：//平面AEC練習:用空間向量來解決下列題目2、在正方體AC中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中點，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP1、設平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓練3

由線線垂直可以得到線面垂直，再由線面垂直又可以得到線線垂直。平面的斜線、斜線在平面內的射影 PAB圖1α圖2如圖2，ＰＡ∩α＝Ａ，ＰＡ不垂直α,思考：平面的斜線在平面內的射影是什么圖形？答案：仍是一條直線BA直線PA--------叫做平面α的斜線；點A叫做斜足.線段PA叫做斜線段.三垂線定理PmBAα證明：PA平面PAB∪m⊥PAPB⊥αmα∪PB⊥mBA⊥mm⊥平面PAB性質定理判定定理性質定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直一面——平面α（基礎平面）；四線——PB（α的垂線），PA（斜線），BA（射影），m（α內的直線））三垂直——PB⊥

m,,BA⊥m,PA⊥m故稱“三垂線定理”一面四線三垂直三垂線定理中的元素（1）PmBAα直線a一定要在平面內，如果a不在平面內，定理就不一定成立。PAOaα例如：當b⊥α時，則b⊥OA注意：定理中“在平面內”的條件不能去掉。b但

b不垂直于OP三垂線定理三垂線定理中的元素（2）線射垂直線斜垂直αPAOaPAOaα平面內的一條直線和平面的一條斜線在平面內的射影垂直平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆命題？三垂線定理思考題：想一想？如圖，PA

垂直于以AB為直徑的圓Ｏ平面，Ｃ為圓Ｏ上任一點（異于Ａ，Ｂ），試判斷圖中共有幾個直角三角形，并說明理由。三垂線定理1、已知點O是△ABC的BC邊的高上的任意一點，且OP⊥平面ABC，求證PA⊥BC.2、如圖，PD⊥平面ABC，AC=BC，