理論力學-動能定理

第三篇動力學理論力學第12章動能定理

第12章動能定理

動能是物體因為運動而具有的機械能，它是作功的一種能力。動能定理描述質點系動能的變化與力作功之間的關系。求解實際問題時，往往需要綜合應用動量定理、動量矩定理和動能定理。矢量形式標量形式力的功力的功定義變力Fi

的元功

需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函數的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W僅僅是Fi?dri

的一種記號。M2M1常力對直線運動質點所作的功：

力的功力的功定義變力Fi

的元功

M2M1力

Fi

在其作用點的軌跡上從

M1點到

M2點所作的功：

重力的功

對于質點：

對于質點系:

力的功幾種常見力的功

其中：z1、z2分別是質點在初位置和末位置的z

坐標其中：zC1、

zC2分別是質點系質心在初位置和末位置的z

坐標重力的功與路徑無關。彈性力的功

其中，1

、2

是彈簧初始位置和最終位置的變形量。力的功幾種常見力的功

彈性力的功與路徑無關。

定軸轉動剛體上作用力的功剛體以角速度ω繞定軸z轉動，其上A點作用有力F

，則則力F的元功為——力F

對軸z的矩

于是，力在剛體上由1轉到2時所作的功為力的功作用在剛體上力與力偶的功

定軸轉動剛體上外力偶的功

若力偶矩矢量為M

，則力偶所作之功為其中Mz

為力偶矩矢M

在z軸上的投影，即力偶對轉軸z的矩。力的功作用在剛體上力的功、力偶的功

質點系的內力總是成對出現的，且等值、反向、共線。因此，質點系的內力對質點系的動量和動量矩沒有影響。力的功內力作功的情形

事實上，在許多情形下，物體的運動是由內力作功而引起的。當然也有的內力確實不作功。*

人的行走和奔跑是腿的肌肉內力作功。

*所有的發動機從整體考慮，其內力都作功。*

機器中有相對滑動的兩個零件之間的摩擦力是內力，作負功。*有勢力的內力作功，如系統內的彈簧力作功。那么，質點系的內力對質點系作不作功呢？

剛體內任何兩點間的距離始終保持不變，所以剛體的內力所作功之和恒等于零。

*剛體的內力不作功

力的功不作功的力*理想約束約束反力不做功

光滑的固定支承面、軸承、光滑的活動鉸鏈、銷釘和活動支座都是理想約束。理由是它們的約束力不作功或作功之和等于零。

柔性約束也是理想約束。因為它們只有在拉緊時才受力，這時與剛性桿一樣，內力作功之和等于零。*純滾動時，滑動摩擦力(約束力)不作功OC*FFN約束力不做功的約束稱為理想約束

C*

為瞬時速度中心，在這一瞬時C*點的速度為零。作用在C*點的摩擦力F所作元功為vO理想約束的約束反力不做功

力的功不作功的力質點系的動能與剛體的動能質點系的動能

剛體的動能

第12章動能定理

質點系的動能與剛體的動能質點系的動能

物理學中對質點的動能的定義為

質點系的動能為質點系內各質點動能之和。

動能是度量質點系整體運動的另一物理量。動能是正標量，其數值與速度的大小有關，但與速度的方向無關。

設重物A、B的質量為mA=mB=m，三角塊D的質量為m0

，置于光滑地面上。圓輪C和繩的質量忽略不計。系統初始靜止。解：重物A、B的運動可以看成質點的運動，三角塊D做平動，也可以看成質點的運動。

開始運動后，系統的動能為

其中

質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

求：當物塊A以相對速度下落時系統的動能。

或者寫成質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

？質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

注意到,系統水平方向上動量守恒，故有●

平移剛體的動能

剛體平移時，其上各點在同一瞬時具有相同的速度，并且都等于質心速度。因此，平移剛體的動能

上述結果表明，剛體平移時的動能，相當于將剛體的質量集中于質心時的動能。

質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

剛體以角速度繞定軸

z轉動時，其上－點的速度為：

因此，定軸轉動剛體的動能為

質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

●

定軸轉動剛體的動能

其中

為剛體對定軸z的轉動慣量。

平面運動剛體的動能，等于隨質心平動的動能與相對質心轉動動能的和。質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

●

平面運動剛體的動能

設P為平面運動剛體某瞬時的速度瞬心，

則剛體的動能為：質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

思考題：均質圓盤質量為m，在平面上做純滾動，輪心速度為vo，求圓盤的動能？OvO問：若質量m集中在輪緣上，輪在平面上做純滾動，輪心速度為vo，求輪的動能？

坦克或拖拉機履帶單位長度質量為ρ

，輪的半徑為r，輪軸之間的距離為d，履帶前進的速度為v0。求：全部履帶的總動能。dC2C1rv0

質點系的動能與剛體的動能——例題2

解：把履帶看成一質點系在C1C2

上建立平動坐標系C1x′y′，則牽連運動為水平平移，牽連速度為v0。

相對運動為繞在兩個作定軸轉動圓輪上履帶的運動。圓輪的角速度為ω＝v0/r,履帶上各點的相對速度均為

v0。dC2C1rx′y′v0

質點系的動能與剛體的動能——例題2

因此，全部履帶的總動能為：解：質點系的動能等于系統跟隨質心平移的動能與相對于質心平移系運動的動能之和。（柯尼希定理）dC2C1rx′y′v0

質點系的動能與剛體的動能——例題2

動能定理及其應用質點系的動能定理

動能定理應用舉例

第12章動能定理

質點的動能定理的微分形式：質點的動能定理的積分形式：

動能定理及其應用質點系的動能定理

質點系的動能定理的微分形式：動能定理及其應用質點系的動能定理

所有可以作功的力——既包括外力，也包括內力；既包括主動力，也包括約束力。在理想約束系統中，只包括主動力(外力和內力)。質點系的動能定理的積分形式：均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用無質量的繩相聯，繩相對B輪無滑動。系統初始為靜止狀態。試求：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質心的速度以及輪B的角速度。2．系統運動時，物塊C的加速度。

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

解：以整個系統為研究對象。

1．運動分析，確定各部分的速度、角速度，寫出系統的動能

注意到輪A作平面運動；輪B作定軸轉動；物塊C作平移。于是，系統的動能：根據運動學分析，得到動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

解：2.確定所有力的功：

3．應用動能定理的積分形式：

由此解出物塊C的重力作正功，輪A的重力作負功，約束反力不作功。于是，所有力的總功為動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

解：4．確定物塊C的加速度：

將下降高度h視為變量，其對時間的一階導數即為物塊C的速度

因為物塊C作直線平移，故有

于是，物塊C的加速度為

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

動力學普遍定理的綜合應用返回返回總目錄第12章動能定理

矢量形式標量形式動力學普遍定理的綜合應用

動量定理

給出了質點系動量的變化與外力主矢之間的關系，可以用于求解質心運動或某些外力。

動量矩定理

描述了質點系動量矩的變化與外力主矩之間的關系，可以用于具有轉動特性的質點系，求解角加速度等運動量和外力。

動能定理

建立了作功的力與質點系動能變化之間的關系，可用于復雜的質點系、剛體系求運動。

應用動量定理和動量矩定理的優點是不必考慮系統的內力。應用動能定理的好處是理想約束力所作之功為零，因而不必考慮。

在很多情形下，需要綜合應用這三個定理，才能問題的解答。正確分析問題的性質，靈活應用這些定理，往往會達到事半功倍的作用。

另外，這三個定理都存在不同形式的守恒形式，也要給予特別的重視。

動力學普遍定理的綜合應用例題5

均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用無質量繩相聯，繩相對B輪無滑動。系統初始為靜止狀態。試求：

1．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；

2．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。

動力學普遍定理的綜合應用而故有取輪B和物塊C組成的質點系為研究對象，分析受力，對點B應用動量矩定理，有解：

1．確定繩子拉力本例的條件與例題2相同。在例題2中已經求得例題5

動力學普遍定理的綜合應用解得例題5

動力學普遍定理的綜合應用

解：

2．確定B處的約束力對圖示系統應用質心運動定理，有由此解得B處的約束力例題5

動力學普遍定理的綜合應用解：

3．確定A輪與斜面之間的摩擦力

取輪A為研究對象，分析受力，應用相對質心的動量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力例題5

動力學普遍定理的綜合應用本例小結：

本例中幾乎應用了三個定理的所有主要形式。還可以發現，每種問題的解法都并不是唯一的。這說明，對于具體問題，必須進行具體分析，沒有統一的方法可循。

例題5

動力學普遍定理的綜合應用均質細長桿長為l，質量為m，靜止直立于光滑水平面上。桿受微小干擾而倒下。求：桿剛剛到達地面時的角速度和地面的約束力。

例題6

動力學普遍定理的綜合應用解：桿在水平方向不受外力，且由靜止倒下，則在倒下過程中其質心將鉛直下落。由運動學知，P為桿的瞬心。例題6

動力學普遍定理的綜合應用v

CCA桿剛到達地面時，A點成為桿的瞬心，桿的的動能為：

例題6

動力學普遍定理的綜合應用v

CCA桿在滑倒過程中，只有重力作功。由動能定理，有例題6

動力學普遍定理的綜合應用AFNmga

CC桿剛到達地面時，受力及加速度分析如圖。其中

其中

由運動學知

由剛體平面運動微分方程，得例題6

動力學普遍定理的綜合應用AFNmga

CC其中

由運動學知

將加速度矢量式向鉛垂方向投影，得

聯立以上諸式，可以解得

均質桿長為l，質量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質圓盤的質心相連。圓盤的質量為m2

，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時由靜止開始純滾動。試求:

A點在初瞬時的加速度。

例題7

動力學普遍定理的綜合應用解：以桿和圓輪組成的系統為研究對象。用動能定理求解。

系統的動能為例題7

動力學普遍定理的綜合應用設輪心A的速度為vA，則有代入系統的動能表達式，得m2gm1g例題7動力學普遍定理的綜合應用只有桿的重力對系統作功根據動能定理上式對時間求導注意到初瞬時可解得解：以桿和圓輪組成的系統為研究對象。用功率方程求解。

系統的動能為例題7

動力學普遍定理的綜合應用設輪心A的速度為vA，則有代入系統的動能表達式，得m2gm1g例題7

動力學普遍定理的綜合應用只有桿的重力對系統作功，其功率為根據功率方程等式左邊對時間求導注意到初瞬時可解得D動量定理、動量矩定理和動能定理的比較

動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質點系整體運動的變化與質點系所受的作用力之間的關系。

動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

整體運動的變化所受的作用力動量定理動量力(沖量)動量矩定理動量矩力矩動能定理動能力的功

動量定理、動量矩定理一般限于研究物體機械運動范圍內的運動變化問題。

動能定理可以用于研究機械運動與其他運動形式之間的運動轉化問題。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較

動量定理、動量矩定理的表達式中含有時間參數。

動能定理的表達式中含有路程參數。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量