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第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分直接積分法;換元積分法;分部積分法一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例本節(jié)內(nèi)容:一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式有理函數(shù)除法多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法(2)用賦值法故-5,6原式=四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分因?yàn)榉帜傅膶?dǎo)數(shù)為2x＋p例2.

求解:已知例3.

求解:原式例4.

求解:說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例5.

求解:原式例6.

求解:原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則例7.

求解:令則例8.

求解:

說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換解:令原式例9.

求2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令例10.

求解:令則原式例11.

求解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)則有原式令2,3的最小公倍數(shù)6,例12.

求解:令則原式內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類(lèi)型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定簡(jiǎn)便,要注意綜合使用基本

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