西北工業(yè)大學(xué)-理論力學(xué)-轉(zhuǎn)動(dòng)慣量課件

西北工業(yè)大學(xué)支希哲朱西平侯美麗動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§5

質(zhì)量對(duì)稱分布剛體的慣性主軸方向的判定

§4剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

§2簡(jiǎn)單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念動(dòng)力學(xué)目錄轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念回轉(zhuǎn)半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般表達(dá)式極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的質(zhì)量與其對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的平方的乘積的總和（如圖1）。可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量永遠(yuǎn)是正值。可以表示為圖1xyzAOrzxyzrz

影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素。●

整個(gè)剛體質(zhì)量的大小。●

剛體各部分的質(zhì)量分布。●

轉(zhuǎn)軸的位置。對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布剛體：§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念所以，當(dāng)談到剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，應(yīng)指出它是對(duì)哪個(gè)軸來說的。在國際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的常用單位是kg·m2。●整個(gè)剛體質(zhì)量的大小。●剛體各部分的質(zhì)量的分布。●轉(zhuǎn)軸的位置。

影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。圖1xyzAOrzxyzrz§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念2.回轉(zhuǎn)半徑剛體對(duì)于某軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其質(zhì)量m之比值的平方根為一個(gè)當(dāng)量長度，稱為剛體對(duì)于該軸的回轉(zhuǎn)半徑。因此，有關(guān)系式

可見，如果假想地把剛體的全部質(zhì)量集中于一點(diǎn)，而不改變這剛體對(duì)于該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則這個(gè)點(diǎn)到該軸的距離應(yīng)等于回轉(zhuǎn)半徑。§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般表達(dá)式同理，可得剛體對(duì)軸x和軸y的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算式，合并寫成

取固連于剛體的坐標(biāo)Oxyz，設(shè)剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x，y，z），用rz表示點(diǎn)A到軸z的距離，則（如圖2）。故得剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算式圖2xyzAOrzxyzrz§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念4.極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于平面薄板，使平板表面重合于坐標(biāo)平面Oxy（如圖3），此時(shí)有

薄板對(duì)與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，稱為薄板的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。上式指出，薄平板的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于薄板對(duì)板面內(nèi)與極軸z共點(diǎn)并相互正交的任意兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。

如果薄板內(nèi)各點(diǎn)的坐標(biāo)z可以忽略，則式簡(jiǎn)寫成

圖3xzyOyAxr§1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念§2

簡(jiǎn)單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在桿沿軸線x上任一小段dx，其質(zhì)量，對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素是

例題1下面舉例說明一些簡(jiǎn)單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的積分計(jì)算方法。

例題1已知?jiǎng)蛸|(zhì)細(xì)長直桿的質(zhì)量是m，長度是l（如圖4），求它對(duì)于過質(zhì)心C且與桿相垂直的軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：勻質(zhì)細(xì)長直桿對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

圖4lxzxdxl/2C§2

簡(jiǎn)單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

由圖可見，矩形板在y方向的尺寸a不影響Jy，故可利用上例的結(jié)果。例題2

例題2

已知?jiǎng)蛸|(zhì)矩形薄平板的質(zhì)量是m，邊長為a和b（如圖5），求這薄板對(duì)垂直板面中心C的軸z轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：類似地可得

利用bCxyadxzlxxdxl/2C§2

簡(jiǎn)單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圖5薄板的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例題3例題3

已知?jiǎng)蛸|(zhì)薄圓盤的半徑是r，質(zhì)量是m（如圖6）

，求它對(duì)垂直于盤面質(zhì)心軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。取任一半徑為ζ，寬為dζ的圓環(huán)，其質(zhì)量是

解：對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素是

于是，求得圓盤對(duì)軸z轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

考慮到Jx=Jy，即可求得

圖6xyOrζdζ§2

簡(jiǎn)單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

§3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)剛體的質(zhì)量為m，對(duì)軸z′的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是。軸z與軸z′相平行且相距d。求此剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。取坐標(biāo)系如圖所示，令，軸y重合于軸y′。

設(shè)剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì)量是mi，則剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

上式右端第一項(xiàng)就是Jz′，第三項(xiàng)是(∑mi)d2，至于第二項(xiàng)，根據(jù)質(zhì)心C坐標(biāo)公式圖7得知xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

在實(shí)際應(yīng)用中，常令軸z′通過質(zhì)心C，因而yC′=0。于是得關(guān)系式

即，剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于它對(duì)該軸相平行且通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩個(gè)軸之間距離平方的乘積。這就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。

xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

圖7例題4例題4解：lzl/2CAz11.已知桿長l，質(zhì)量是m。求通過桿端A并與軸z平行的軸z1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2.已知半徑r，質(zhì)量是m。求通過點(diǎn)A并與質(zhì)心軸z平行的軸z1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ACz1z§3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

圖8圖9解：例題5

例題5沖擊擺可近似地看成由勻質(zhì)細(xì)