線性代數第六章 線性空間及線性變換

2023/2/31第六章線性空間與線性變換

線性變換結束基、維數與坐標線性空間

定義1

設V是一個非空集合,R為實數域.八條運算規(guī)律(設

,,V;,R):的積,記作

;并且這兩種運算滿足以下總有唯一的一個元素V

與之對應,稱為與=+;個元素V

與之對應,稱為與的和,記作如果對于任意兩個元素,V,總有唯一的一又對于任一數R與任一元素V,1.定義一、線性空間的定義

(i)

+=+;

(ii)

(+)+=+(+);

(iii)

在V

中存在零元素0，對任何V,

(v)

1=;使+=0;

(iv)

對任何V,都有的負元素V,都有

+0=;

(vi)

(

)=();

(vii)

(+)=+

;

(viii)

(+)=+.

那么,V

就稱為(實數域R上的)就稱為線性運算。

簡言之,凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數運算,統(tǒng)稱為(實)向量.

V

中的元素不論其本來的性質如何,線性空間，

例1

次數不超過n

的多項式的全體,記作P[x]n,即對于通常的多項式加法、數乘多項式的乘法構成只要驗證P[x

]n

對運算封閉:項式的乘法兩種運算顯然滿足線性運算規(guī)律,故線性空間.這是因為,通常的多項式加法、數乘多二、舉例解：所以

P[x

]n是一個線性空間.

例2

n

次多項式的全體對于通常的多項式加法和數乘運算不構成向量空Q[x]n

對運算不封閉.間.這是因為0

p=0

xn+···+0

x+0

Q[x

]n,即

例3

正弦函數的集合對于通常的函數加法及數乘函數的乘法構成線性閉:滿足線性運算規(guī)律,故只要驗證S[x]對運算封空間.這是因為,通常的函數加法及乘數運算顯然所以S[x

]是一個線性空間.

檢驗一個集合是否構成線性空間,當然不能則就應仔細檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律.加法和數乘運算不是通常的實數間的加乘運算,只檢驗對運算的封閉性(如上面兩例).若所定義的

例4

正實數的全體,記作R+,在其中定義加法及乘數運算為加法:數乘:驗證R+

對上述加法與乘數運算構成線性空間.

對加法封閉:

對任意的a,b

R+,有

證實際上要驗證十條:

對數乘封閉:

對任意的R,aR+,有(i)(ii)

(iii)R+

中存在零元素1,對任何

a

R+,有

(iv)

對任何a

R+,有負元素a-1

R+,使

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

因此,R+

對于所定義的運算構成線性空間.

下面討論線性空間的性質.

性質1

零元素是唯一的.

三、線性空間的性質證明設01,02

是線性空間V中的兩個零元素,即對任何

V,有

+01=,+02=.于是特別有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.即零元素是唯一的.

性質4

如果

=0,則

=0或

=0.

性質3

0=0;(-1)=-

;0=0.

性質2

任一元素的負元素是唯一的.

在第三章中,我們提過子空間,今稍作修正.

定義

設V

是一個線性空間,L

是V

的一因L

是V

的一部分,V

中的運算對于L

而言,規(guī)

一個非空子集要滿足什么條件才構成子空間?子空間.乘兩種運算也構成一個線性空間,則稱L

為V

的個非空子集,如果

L

對于V

中所定義的加法和數四、子空間律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)顯然是滿足的,因此因此我們有

定理

線性空間V

的非空子集L

構成子空間的充要條件是:L

對于V

中的線性運算封閉.滿足規(guī)律(iii),(iv).但由線性空間的性質知,若L對運算封閉,則即能只要L

對運算封閉且滿足規(guī)律(iii)、(iv)即可.

在第三章中,我們用線性運算來討論

n

維數組這些概念和性質.性空間中的元素仍然適用.以后我們將直接引用有關的性質只涉及線性運算,因此,對于一般的線組合、線性相關與線性無關等等.這些概念以及向量之間的關系,介紹了一些重要概念,如線性第二節(jié)、基、維數和坐標

在第三章中我們已經提出了基與維數的概念,的主要特性,特再敘述如下.這當然也適用于一般的線性空間.這是線性空間

定義2

在線性空間V

中,如果存在n

個元記作Vn.

維數為

n

的線性空間稱為n

維線性空間,個基,n

稱為線性空間V

的維數.那么,1,2,···,n

就稱為線性空間V

的一線性表示.

(ii)V

中任一元素總可由1,2,···,n

(i)1,2,···,n

線性無關;素1,2,···,n

滿足:

若知1,2,···,n

為

Vn

的一個基,則

Vn

這就較清楚地顯示出線性空間Vn

的構造.并且這組數是唯一的.

=x11+x22+···+

xn

n

,何Vn,都有一組有序數x1,x2,···,xn,使若1,2,···,n

為Vn

的一個基,則對任可表示為二、向量在基下的坐標

反之,任給一組有序數x1,x2,···,xn,總有組有序數來表示元素

.于是我們有之間存在著一種一一對應的關系,因此可以用這(x1,x2,···,xn)T

這樣,

Vn

的元素與有序數組唯一的元素

=x11+x22+···+xn

n

Vn

.

定義3

設1,2,···,n

為線性空間Vn

=(x1,x2,···,xn)T

.1,2,···,n

下的坐標,并記作x1,x2,···,xn

這組有序數就稱為元素在基

=x11+x22+···+xn

n

,有序數x1,

x2,···,xn

,使的一個基.對于任一元素Vn

,總有且僅有一組

例1

在線性空間

P[x]4

中,

p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4

就是它的一個基.任一不超過4次的多項式

p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

都可表示為

p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此

p

在這個基下的坐標為

(a0,a1,a2,a3,a4)T.

若另取一個基因此p

在這個基下的坐標為則

例2

在二階實矩陣組成的集合構成一個線性空間

R2×2

中,為其一個基任意一個二階矩陣可表示為

建立了坐標以后,就把抽象的向量與具體于是

=y11+

y22+···+yn

n,

=x11+x22+···+

xn

n

,

設

,Vn,有系起來:可把Vn

中抽象的線性運算與數組的線性運算聯的數組向量(x1,x2,···,xn)T

聯系起來了.并且還三、向量的運算

+

=(x1+y1)1+···+(xn+yn)n,

=(x1)1+···+(xn)n,即+

的坐標是

(x1,···,xn)T=(

x1,···,xn)T.

的坐標是

=(x1,···,xn

)T+(

y1,···,yn

)T

,(x1+y1,···,xn+yn)T

總之,設在

n

維線性空間Vn

中取定一個基因此,我們可以說Vn

與Rn

有相同的結構,我們稱也就是說,這個對應關系保持線性組合的對應.2.

(x1,···,xn)T,

1.+(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T;

設

(x1,···,xn)T,(y1,···,yn)T,則個一一對應的關系,且這個關系具有下述性質:向量空間Rn

中的向量(x1,···,xn)T

之間就有一`1,2,···,n

,則Vn

中的向量與n

維數組Vn與Rn

同構.

由例1可見,同一元素在不同的基下有不同間

Vn

中的兩個基,且有

設1,2,···,n

及1,2,···,n

是線性空

一、定義的關系呢?的坐標,那么,不同的基與不同的坐標之間有怎樣基變換和坐標變換把1,2,···,n

利用向量和矩陣的形式,(1)式可表示為(1,2,···,n),這n

個有序元素記作(1)稱為基變換公式,矩陣

P

稱為由基由于1,2,···,n

線性無關,故過渡矩陣P

可逆.1,2,···,n

到基1,2,···,n

的過渡矩陣.

定理1

設Vn

中的元素,在基1,2,足關系式(1)則有坐標變換公式···,n下的坐標為(x1,x2,···,xn)T.···,n

下的坐標為(x1,x2,···,xn)T

,在基1,

2,若兩個基滿

二、坐標變換公式

例3

在P[x]3

中取兩個基及求坐標變換公式.將1,2,3,4

用1,2,3,4

表示.其中由解得

故坐標變換公式為

用矩陣的初等變換求B-1A:行變換中的B

變成E,則A

即變成B-1A.計算如下:把矩陣(B,A)即得

練習：已知P[

x]3

的兩個基:求坐標變換公式.規(guī)定多項式對應向量這是P[

x]3與R4

之間的一個同別對應于向量1,2,3,4,1,

2,3,4,則有構對應.設多項式p1,p2,p3,p4,q1,q2,q3,q4

分解：所以P=A-1B.

用矩陣的初等行變換來求A-1B.先求從基1,2,3,4

到基1,2,3,4

的過渡矩陣,即要用向量組1,2,3,4

表示向量組1,2,3,4.設過渡矩陣為P

,則有(1,2,3,4)=(1,2,3,4)P,記A=(1,2,3,4),B=(1,2,3,4),則上式可寫為B=AP,初等行變換所以過渡矩陣P

為因此坐標變換公式為2023/2/344T(+)=T()+T()(2)對任意V,及任意實數k，有T(k)=kT()則稱T為V到W的一個線性映射.

定義1:向量空間V到向量空間W一個映射T，

滿足：

(1)對任意,V,有第三節(jié)線性變換2023/2/345T(+)=T()+T()(2)對任意V,及任意實數k，有T(k)=kT()則稱T為V的一個線性變換.

定義2

向量空間V到自身的一個線性映射T，稱為V的一個變換.若T

滿足：

(1)對任意,V,有2023/2/346向量在T下的像,記為T()或T.2.用粗體大寫字母T,A，B，C，表示線性變換,1.定義式中（1),(2）可合并為2023/2/347證：T(+)=(+)A=A+A=T+T設A為一n階實矩陣，對任意Rn,令T=A,則T為Rn中的線性變換.T(k)=(k)A=k(A)=k(T)故T

為Rn中的線性變換.例1完2023/2/348V中兩類特殊的線性變換：1.恒等變換EE=,V2.零變換OO=0

,V2023/2/349例2判定下列變換是否為上的線性變換解（1）是（2）不是2023/2/350定理1

設T是V的一個線性變換，則

(1)T把零向量變到零向量,把的負向量變到的像的負向量,即T0=0；T()=T.

(2)T保持向量的線性組合關系不變,即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.

(3)T把線性相關的向量組變?yōu)榫€性相關的向量組.p91

(4）線性空間Vn中的線性變換T的像集T(Vn)是線性空間Vn的一個子空間。2023/2/351

定義3

設L(V)是向量空間V的全體線性變換的集合,定義L(V)中的加法，數乘與乘法如下：加法:(T1+T2)=T1+T2;數乘:(kT)=kT乘法:(T1T2)=T1(T2)對V,kR.注:若T1,T2

均為V的線性變換，則T1+T2，T1T2，kT均為V的線性變換.線性變換的運算p912023/2/352二、線性變換的矩陣T=k1T

1+k2T

2+…+km

T

m

設V為向量空間,dim(V)=m.

假設1,2,…,m

為V的一組基,T

為

V的一個線性變換.=k11+k22+…+kmm

上式告訴我們,只要知道基底的像,就可以知道任何向量在這組基底下的像了.2023/2/353T1=a111+a212+…+am1mT2=a121+a222+…+am2mTm=a1m1+a2m2+…+ammm……………即(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A其中簡記為T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A（1）（2）設基底向量的像在該基底下的表示為2023/2/354定義:設T為向量空間V中的線性變換,

1,2,…,m為V的一組基,如果給定V的基1,2,…,m,線性變換T對應一個實矩陣A.(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A稱矩陣A為線性變換T

在基1,2,…,m,下的矩陣.2023/2/355定理3

設V的線性變換T有(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A向量在基1,2,…,m下的坐標為

(x1,x2,…,xm)，T在此基下的坐標為

(y1,y2,…,ym),則2023/2/356=(1,2,…,m)A=x11+x22+…+xmmT=x1T

1+x2T

2+…+xmT

m=(1,2,…,m)證明：所以完2023/2/357設R3的線性變換T為T(x1,x2,x3)求T在標準基1,2,3下的矩陣.=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)例32023/2/358T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)解：設T在標準基1,2,3下的矩陣為A.即=

a111+a212+a313=

a121+a222+a323=

a131+a232+a3332023/2/359故T

在標準基1,2,3

下的矩陣為完2023/2/360設R3的線性變換T為T(x1,x2,x3)求T在標準基1,2,3下的矩陣.=(2x1-x2,x2+x3,x1)解：設T在標準基1,2,3下的矩陣為A.即exe2023/2/361由于T1=T(1,0,0)T2=T(0,1,0)=(-1,1,0)T3=T(0,0,1)=(0,1,0)=(2x1-x2,x2+x3,,x1)=(2

,0,,1)完2023/2/362設R3的線性變換T為T(x1,x2,x3)求T在標準基1,2,3下的矩陣.=(kx1,kx2,kx3)=k(x1,x2,x3)解:由于T1=k1=(k,0,0)TT2=k2=(0,k,0)T,T3=k3=(0,0,k)T例4完2023/2/363特例：線性變換T=k

數量矩陣kE恒等變換T=

單位矩陣E零變換T=0

零矩陣O

1.由于線性變換與矩陣的對應,所以線性變換之間的運算(加法,數乘,乘法)對應于相應的矩陣之間的運算.2.線性變換與矩陣的對應關系是在取定了空間的一組基的情況下建立的.基不同,矩陣也不同.2023/2/364在線性空間R3中線性變換T關于基的矩陣為A，其中(1)求T1,T2,T3.

1,

2,

3(2)若向量exe完2023/2/3652023/2/3661,2,…,m；1,2,…,m定理4

設向量空間V有兩組基，分別為則B=C1AC證明：(1,2,…,m)B=T(1,2,…,m)(1,2,…,m)=(1,2,…,m)C且T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)AT(1,2,…,m)=(1,2,…,m)B=T

(1,2,…,m)C=(1,2,…,m)C1ACp93dli3=(1,2,…,m)AC

故

B=C1AC2023/2/367例5設線性變換求基與基在上述變換下的矩陣2023/2/368解2023/2/369線性變換T在R3中基e1,e2,e3下的矩陣為求T在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3

,3=e1+2e2+2e3下的矩陣.p94例62023/2/370故線性變換T在1,2,3下的矩陣B=C1AC解：從e1,e2,e3到1,2,3的過渡矩陣完2023/2/371

設平面直角坐標系xy逆時針旋轉某角度后變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺讼?/p>

,平面上任意向量的舊坐標和新坐標分別為(x,y)和,則新舊坐標之間的關系為

三.正交變換

定義3

歐氏空間V的線性變換T稱為正交變換.若對任意,V,均有(T,T)=(,)

例72023/2/372oxyABCDEF完2023/2/373此映射為一個線性變換,它在標準基下的矩陣為并且為一個正交變換(通常稱為坐標旋轉變換),常記為.2023/2/374

定理2

設T是歐氏空間的一個線性變換，則下面幾個命題等價：

(1)T是正交變換；

(2)T保持向量的長度不變，即對于任意的V,||T||=||||;

(3)如果1,2,…,m是V的標準正交基,則T1,T2,…,Tm也是V的標準正交基；

(4)T在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.2023/2/375

定義4

設

T

是向量空間V

的一個線性變換,如果存在數

及n

維非零向量

,使得

T

=

成立,則稱為T的一個特征值,而稱為T

屬于特征值

的一