圓錐曲線第三定義及擴(kuò)展(匯編)

精品文檔圓錐曲線第三定義x2y21(ab0)中，A，B兩點關(guān)于原點對稱，P是橢圓上異于A，B兩在橢圓b2a2點的任意一點，若kPA,kPB存在，則kPAkPBb2。（反之亦成立）a2在雙曲線x2y21(a0,b0)中，A，B兩點關(guān)于原點對稱，P是橢圓上異于A，Ba2b2兩點的任意一點，若kPA,kPB存在，則kPAkPBb2。（反之亦成立）a2★焦點在Y軸上時，橢圓滿足kPAkPBa2a2b2，雙曲線滿足kPAkPBb222例、已知橢圓x2y21(ab0)的長軸長為4，若點P是橢圓上任意一點，過原點的ab直線l與橢圓相交與M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為k1、k2。若k11k2=，4則橢圓的方程為。變式：1、設(shè)點A，B的坐標(biāo)為（-2，0），（2，0），點P是曲線C上任意一點，且直線PA與PB的斜率之積為1，則曲線C的方程為。42、設(shè)點P是曲線C上任意一點，坐標(biāo)原點是 O，曲線C與X軸相交于兩點 M（-2，0），N（2，0），直線PM，PN的斜率之積為3。，則OP的最小值是4精品文檔精品文檔3、已知ABC的兩個頂點坐標(biāo)分別是（-8，0），（8，0），且AC，BC所在直線斜率之積為m（m0），求頂點C的軌跡。4、P是雙曲線x2y21(a0,b0)上一點，M，N分別是雙曲線的左右頂點，直線PM，a2b2PN的斜率之積為1，則雙曲線離心率為。5x2y2A、B，M是橢圓上異于A、B的動點，求證：5、已知橢圓1的左右頂點分別是2kMAkMB為定值。6、平面內(nèi)與兩定點A1(a,0)，A2(a,0)(a0)連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值得關(guān)系；精品文檔精品文檔第三定義的應(yīng)用例、橢圓x2y21的左右頂點分別是A，B，點S是橢圓上位于X軸上方的動點，直線AS，4BS與直線l:x10分別交于點M、N，求線段MN長度的最小值。3變式：已知A,B分別為曲線C：x2+y2=1（y20,a>0）與x軸的左、右兩個交點，直線l過a點B,且與x軸垂直，S為l上異于點B的一點，連結(jié)AS交曲線C于點T.(1)若曲線C為半圓，點 T為圓弧AB的三等分點，試求出點 S的坐標(biāo)；精品文檔精品文檔II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在a,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。第三定義的變形b2kOAkOB2a框架一：已知橢圓x2y2，A，B是橢圓上的兩動點，M為平面上一動點且a21(ab0)b2滿足OMOAuOB。則有如圖框架。（已知任意兩個，可以推導(dǎo)第三個）。精品文檔精品文檔相應(yīng)的雙曲線中有kOAk0Bb2Y軸上時，橢圓滿足kOAk0Ba2a2，當(dāng)焦點在b2，雙曲2線滿足kOAk0Ba2。b例、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線AB兩點，OAOB與a(3,1)共線交橢圓于、（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點，且OMOAOB(,R)，證明22為定值變式：已知在橢圓x2y2M為橢圓上一動點滿a2b1(ab0)，A，B是橢圓上的兩動點，2足OMOAuOB且22=1，證明：kOAk0Bb2a2精品文檔精品文檔框架二：已知橢圓x2y2，A，B是橢圓上的兩動點，M為平面上一動點且a21(ab0)b2滿足OMOAuOB。則有如下框架：kOAk0Bb2x2y22u2。a2a2b2例、設(shè)動點P滿足OP OM 2ON，其中，M，N是橢圓x2 y2 1上的點，直線OM、4 21ON的斜率之積為 ，求動點 P的軌跡方程。2變式：設(shè)動點M滿足OMOAuOB，其中A、B是橢圓x2y21(ab0)上的a2b2點，且kOAk0Bb2x2y22u2a2。證明：P的軌跡方程為2b2。a精品文檔精品文檔框架三：已知動直線l與橢圓x2y21(ab0)交于P(x1,x2),Q(x2,y2)兩個不同的兩a2b2點，且OPQ的面積為SOPQ，其中O為坐標(biāo)原點。有如下框圖。kOPb2abk0Q2SOPQa2y12 y22 b2 x12 x22 a2x2y2OPQ的例、已知直線l與橢圓C:1交于Px1,y1,Qx2y2兩不同點，且32面積S=6,其中O為坐標(biāo)原點。2（Ⅰ）證明 x12 x22和y12 y22均為定值（Ⅱ）設(shè)線段 PQ的中點為M，求OM PQ的最大值；精品文檔精品文檔（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得SODESODGSOEG6？若存在，2判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.變式：已知l與橢圓x2y21(ab0)交于A(x1,x2),B(x2,y2)兩個不同的兩點，已知a2b2m(ax1,by1),n