數分定積分概念

§3

可積條件

§4定積分的性質§1定積分概念§5微積分學基本定理§2牛頓—萊布尼茨公式

第九章定積分§6定積分的計算9.1定積分的概念一、問題提出1.曲邊梯形的面積設y=f(x)為區間[a,b]上連續函數，且f(x)≥0，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=by=0所圍成的圖形稱為曲邊梯形。下面討論曲邊梯形的面積對于多邊形的面積，我們在中學就已經會計算了，例如矩形的面積=底×高顯然，曲邊梯形的面積不能用這個公式來計算。

雖然曲邊梯形的準確面積我們不會計算，但是我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。

⑴分割用任意的一組分點：把[a,b]分成n個小區間[xi-1,xi]i=1,2,…,n相應地把曲邊梯形分為n個小曲邊梯形，其面積分別記為ΔSii=1,2,…,n（化整為零）⑵近似代替在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ξi，其中（曲轉化為直）于是小曲邊梯形的面積⑶求和（積零為整）大曲邊梯形的面積⑷取極限令若極限存在，則定義此極限值為曲邊梯形的面積（直轉化為曲）讓每個小區間的長度趨于零求曲邊梯形的面積體現了曲轉化為直、直轉化為曲的辯證思想。這個計算過程，就是一個先微分后積分的過程。也就是說，把曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形中，把曲邊看成直邊，用這些小“矩形”面積的和近似地表示原來大曲邊梯形的面積，從而實現了局部的曲轉化為局部的直，即“以直代曲”。然后，再把分割無限加細，通過取極限，就使小矩形面積的和，轉化為原來大曲邊梯形的面積。這樣局部的直又反過來轉化為整體的曲。這種曲轉化為直，直轉化為曲，以及由此所反映出來的化整為零、積零為整的思想方法，是微積分乃至整個高等數學的一個重要方法。F雖然是變力，但在很短一段間隔內，F的變化不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，F(x)AB

再看一個變力做功的問題。設質點m受力的作用，在變力F的作用下，沿直線由A點運動到B點，求變力作的功⑴分割用任意的一組分點：把[a,b]分成n個小區間[ti-1,ti]i=1,2,…,n⑵近似代替在[ti-1,ti]上任取一點ξi，于是在該小區間上的力

作的功

⑶求和總功⑷取極限令若極限存在，則定義此極限值為力所做的功的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義

從上面例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某些量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都歸結為形如二、定積分的定義定義1:在[a,b]內任取一組分點將[a,b]分成n個子區間Δi=[xi-1,xi

]i=1,2,…,n

這些分點構成[a,b]的一個分割，記為T={x0,x1,…,xn

}={Δ1,Δ2,…,Δn}記Δxi=xi–xi-1，

并稱為分割T的模注：1°由于因此可用來反映2°分割與其模的關系：

即分割一旦給出，就隨之確定，但是的分割卻有無限多個.

被分割的細密程度.具有同一細度稱此和式為f在[a,b]上的一個積分和，也稱為黎曼（Riemann）和定義2:設函數f(x)在[a,b]上有定義,對[a,b]的一個分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取點i

Δi,i=1,2,…,n，作和顯然積分和既與分割有關，又與所選取有關

的點集定義3:設函數f(x)在[a,b]上有定義,若任給的ε>0，總存在δ>0，使得對[a,b]的任何分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任意的i

Δi,i=1,2,…,n，只要||T||<δ,就有則稱函數上可積或黎曼可積.數稱為上的定積分或黎曼積分記作在在

其中稱為被積函數，為積分變量，為積分區間，分別稱為這個定積分的下限和上限注1:把定積分定義的說法和函數極限的說法對照，便會發現兩者有相似的陳述方式，因此我們也常用極限符號來表達定積分即把它寫作

然而積分和的極限與函數的極限之間有著極大中，對每一個來說，的值是唯一確定的；并不唯一的區別：在函數極限極限變量而對于積分和的極限而言，每一個對應積分和的一個值.這使得積分和極限要比通常的函數極限復雜得多于是本節開頭兩個實例都可用定積分記號注2：可積性是函數的又一分析性質（連續，可導為以前學過的另外兩個分析性質）據下一節定理9.3知,連續函數是可積的.來表示1.曲線y=f(x)≥0，直線x=a，x=b，y=0所圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為2.變力作功問題可表示為

注3定積分的幾何意義.當f(x)≥0，定積分的幾何意義就是曲線y=f(x)直線x=a，x=b，y=0所圍成的曲邊梯形的面積bAoxyay=f(x)S當函數f(x)0，x[a,b]時

定積分就是位于x軸下方的曲邊梯形面積的相反數.即oxyaby=f(x)S對于一般非定號的而言，定積分的值

是曲線在軸上方部分所有曲邊梯形的正面積與下方部分所有曲邊梯形的負面積的代數和

注4：定積分數值只與被積函數及積分區間[a,b]有關,與積分變量記號無關規定當a=b時,規定當a>b時,例1求在區間[0,1]上，以拋物線y=x2為曲邊的曲邊三角形的面積解由定積分的幾何意義，有因為定積分存在，對區間[0,1]取特殊的分割將區間[0,1]等分成n等份,分點為每個小區間的長度取則有

定積分的演示——曲邊三角形面積的計算把底邊[0,1]分成n等份,然后在每個分點作底邊的垂線,這樣曲邊三角形被分成n個窄條,用矩形來近似代替,然后把這些小矩形的面積加起來,得到一個近似值:因此,我們有理由相信,這個曲邊三角形的面積為:例2利用定義計算定積分解四、小結１．