研-統計8雙變量回歸與相關

Eg:某醫師收集并測定95例糖尿病患者的體重指數BMI（kg/cm2)、HOMA-R指數、胰島素與瘦素比值A/L等指標，試估計這些指標之間的相關性？分析年齡與冠狀動脈粥樣硬化等級之間的相關關系。

年齡（歲）冠狀動脈硬化等級合計

++++++203040》5070224227249316231379201514

98635958合計122894126278例某地方病研究所調查了8名正常兒童的尿肌酐含量（mmol/24h）,估計年齡與尿肌酐含量間有無關系，是否可由年齡推算尿肌酐含量。雙變量回歸與相關linearregressionandcorrelation回歸分析與相關分析雙變量間關系：年齡~身高、肺活量~體重、藥物劑量與動物死亡率等。

依存關系：應變量(dependentvariable)Y隨自變量(independentvariable)X變化而變化。——

回歸分析

互依關系:應變量Y與自變量X間的彼此關系

———

相關分析雙變量計量資料：每個個體有兩個變量值

總體：無限或有限對變量值樣本：從總體隨機抽取的n對變量值

（X1,Y1）,（X2,Y2）,…,（Xn,Yn）

目的：研究X和Y的數量關系

方法：回歸與相關簡單、基本——直線回歸、直線相關“一因一果”，即一個自變量與一個依變量一元回歸分析； 研究“多因一果”，即多個自變量與一個依變量的回歸分析稱為多元回歸分析。 一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種； 多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。第一節直線回歸（linearregression線性回歸)1．直線回歸的概念：直線回歸是分析兩變量間線性依存變化的數量關系。“回歸”的由來英國統計學家F·Galton

和他的學生、現代統計學的奠基者之一K·Pearson在研究父母身高與其子女身高的遺傳問題時，觀察了1078對夫婦，以每對夫婦中父親的身高作為自變量X，而取他們的一個成年兒子的身高作為應變量Y，將結果在平面直角坐標系上繪成散點圖，發現趨勢近乎一條直線。兒子身高（Y，英寸）與父親身高（X，英寸）存在線性關系：。也即高個子父代的子代在成年之后的身高平均來說不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮個子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton將這種趨向于種族穩定的現象稱之“回歸”。目前，“回歸”已成為表示變量之間某種數量依存關系的統計學術語，并且衍生出“回歸方程”“回歸系數”等統計學概念。如研究糖尿病人血糖與其胰島素水平的關系，研究兒童年齡與體重的關系等。3.函數關系與回歸關系函數關系：確定。例如園周長與半徑：y=2πr回歸關系：不確定。例如血壓和年齡的關系，直線回歸的任務就是找出一條最能描述變量間非確定性數量關系的一條直線，此直線為回歸直線，相應的直線方程稱為直線回歸方程(linearregressionequation)。

4.直線回歸方程的一般表達式為

為各X處Y的總體均數的估計。a為回歸直線在y軸上的截距0yxa>0a=0a<0a0yxb>0b=0b<0

b為回歸系數，即回歸直線的斜率；其統計學意義是x增加（減）一個單位，y平均變動b個單位

b=0

a：截距(intercept)，直線與Y軸交點的縱坐標(X＝0)。b：斜率(slope)，回歸系數(regressioncoefficient)。意義：X每改變一個單位，Y平均改變b個單位。

b>0，Y隨X的增大而增大（減少而減少）——斜上；

b<0，Y隨X的增大而減小（減少而增加）——斜下；

b=0，Y與X無直線關系——

水平。

｜b｜越大，表示Y隨X變化越快，直線越陡峭。

，a與b分是與相應的樣本估計值5．直線回歸方程參數的計算y=a+bx

^

最小二乘法原則(leastsquaremethod)：使各實際散點（Y）到直線（）的縱向距離的平方和最小。即使（殘差或剩余值）最小。Yi（Y的估計值）

=a+bXi

Yi估計值i殘差i=Yi–估計值i殘差(residual)或剩余值，即實測值Y與假定回歸線上的估計值的縱向距離。求解a、b實際上就是“合理地”找到一條能最好地代表數據點分布趨勢的直線。因為直線一定經過“均數”點例9-1

某地方病研究所調查了8名正常兒童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估計尿肌酐含量（Y）對其年齡（X）的回歸方程。

表9-18名正常兒童的年齡（歲）與尿肌酐含量（mmol/24h）

(1)

由原始數據作散點圖，觀察兩變量間的趨勢8名正常兒童的年齡（歲）與尿肌酐含量（mmol/24h）可在自變量實測范圍內遠端取易于讀數的X值代入回歸方程得到一個點的坐標，連接此點與點(,)也可繪出回歸直線。6、直線回歸中的統計推斷（一）回歸方程的假設檢驗建立樣本直線回歸方程，只是完成了統計分析中兩變量關系的統計描述，研究者還須回答它所來自的總體的直線回歸關系是否確實存在，即是否對總體有存在？1．方差分析

X或如果兩變量間總體回歸關系確實存在，回歸的貢獻就要大于隨機誤差，大到何種程度時可以認為具有統計意義，可計算統計量F目的：推斷總體回歸系數是否為0，確定所求得的回歸方程是否成立。2.t檢驗即各實際點與回歸線縱軸方向的離散程度，即標準估計誤差例9-2

檢驗例9-1數據得到的直線回歸方程是否成立？

（1）方差分析

表9-2方差分析表

列出方差分析表如表9-2。決定系數(coefficientofdetermination)：回歸平方和與總平方和之比，取值在0到1之間且無單位，其大小反映了回歸貢獻的相對程度，也就是在Y的總變異中回歸關系所能解釋的百分比。（2）t檢驗（二）總體回歸系數的可信區間

利用上述對回歸系數的t檢驗，可以得到β的1－雙側可信區間為

例9-3

根據例9-1中所得b=0.1392，估計其總體回歸系數的雙側95%可信區間。（0.1392-2.447×0.0304，0.1392+2.447×0.0304）=（0.0648，0.2136）（三）利用回歸方程進行估計和預測

（9-15）

（9-14）

反映其抽樣誤差大小的標準誤為（9-16）

（9-17）

例9-4用例9-1所得直線回歸方程，計算當X0=12時，的95%可信區間和相應個體值的95%預測區間。計算步驟例9-1、例9-2已計算出

95％μ的可信區間與個體Yi的預測范圍有關數據編號XYY_hat均數標準誤個值標準誤均數下限均數上限個值下限個值上限1133.543.4710.12710.23443.16023.78242.89774.04492113.013.1930.08320.21382.98923.39662.66973.7161393.092.9150.07130.20952.74013.08892.40203.4270462.482.4970.12710.23442.18582.80801.92333.0705582.562.7750.08320.21382.57162.97902.25213.29856103.363.0540.07130.20952.87933.22812.54123.56627123.183.3320.10310.22233.07993.58432.78823.8760872.652.6360.10310.22232.38392.88832.09223.1800直線回歸方程的應用描述兩變量的依存數量關系；利用回歸方程進行預測：由易測的變量值估算難算的變量值（由x估計y）；X：汽車流量(輛/小時),y:NOx(mg/M3)y=-1.674+0.0001838x

^利用回歸方程進行控制：即利用回歸方程進行逆估計（由y估計x）。第二節直線相關

(linearcorrelation)

簡單相關(simplecorrelation)，用于雙變量正態分布資料。進行直線相關分析的基本任務在于根據x、y的實際觀測值計算表示兩個相關變量x與y線性相關程度和性質的統計指標—相關系數r，并進行顯著性檢驗。

1．直線相關的概念

直線相關是研究兩變量x、y之間協同變化的線性關系

的分析方法。體重（kg），x肺活量（）,YL十名女中學生體重與肺活量散點圖2．對資料的要求

x、y都是正態分布資料的隨機變量。3．相關系數

（correlationcoefficient，r)

表示方法：

-1r

1*意義：描述兩個變量直線相關的方向與密切程度的指標。正相關負相關0<r<1-1<r<0相關系數示意：r=1r=-1完全正相關完全負相關相關系數示意r＝0r＝0r＝0零相關零相關零相關計算方法：__(x-x)(y-y)l

xyr=————————————=——————___________________________(x-x)2(y-y)2

l

xx·l

yy__(x)(y)l

xy=(x-x)(y-y)=xy-—————n__(x)2lxx=(x-x)2=x2-————n_(y)2lyy=(y-y)2=y2-————n_10名女中學生的體重(x)與肺活量(y)的直線相關計算編號XYX2Y2XY

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

1351.6012252.560056.002371.6013692.560059.203372.4013695.760088.804402.1016004.410084.005402.6016006.7600104.006422.5017646.2500105.007422.6517647.0225111.308432.7518497.5625118.259442.7519367.5625121.00452.2020254.840099.00∑40523.151650155.2875946.55___________________________(x-x)2(y-y)2

l

xx·l

yy計算：__(x-x)(y-y)l

xyr=————————————=——————__(x)(y)l

xy=(x-x)(y-y)=xy-—————n__＝8.975(x)2lxx=(x-x)2=x2-————n_＝98.5

(y)2lyy=(y-y)2=y2-————n_＝1.69525r=8.975√98.51.69525=0.69454．相關系數的假設檢驗目的：檢驗r

是否來自總體相關系數=0

的 總體，推斷兩變量的相關關系是否成立。r-0rt=———=——————，Sr

1-r2———n-2________=n-2Sr為相關系數的標準誤公式：

檢驗假設：H0:＝0,H1:0,=0.05r-0rt=———=——————，Sr

1-r2———n-2________=n-2t=0.6945(1-0.69452)/(10-2)√=2.730=n–2=10–2=8P<0.05結論：可認為該地女中學生的體重與肺活量有正相關關系由例9-1算得，按公式（9-18）

例9-5

對例9-1數據（見表9-1），計算8名兒童的尿肌酐含量與其年齡的相關系數。例9-6對例9-5所得r值，檢驗尿肌酐含量與年齡是否有直線相關關系？檢驗步驟本例n=8，r=0.8818，按公式（9-19）決定系數(coefficientofdetermination)

定義為回歸平方和與總平方和之比，計算公式為：（9-23）

取值在0到1之間且無單位，其數值大小反映了回歸貢獻的相對程度，也就是在Y的總變異中回歸關系所能解釋的百分比。

五、直線回歸與相關應用的注意事項

1．根據分析目的選擇變量及統計方法直線相關用于說明兩變量之間直線關系的方向和密切程度，X與Y沒有主次之分（反映兩變量的相互關系）。直線回歸則進一步地用于定量刻畫應變量Y對自變量X在數值上的依存關系（反映兩變量的依存關系），其中應變量的定奪主要依專業要求而定，可以考慮把易于精確測量的變量作為X，另一個隨機變量作Y，例如用身高估計體表面積。兩個變量的選擇一定要結合專業背景，不能把毫無關聯的兩種現象勉強作回歸或相關分析。2．進行相關、回歸分析前應繪制散點圖

（1）

散點圖可考察兩變量是否有直線趨勢；（2）

可發現離群點（outlier）。

散點圖對離群點的識別與處理需要從專業知識和現有數據兩方面來考慮，結果可能是現有回歸模型的假設錯誤需要改變模型形式，也可能是抽樣誤差造成的一次偶然結果甚至過失誤差。需要認真核對原始數據并檢查其產生過程認定是過失誤差，或者通