信號第5章 復頻域分析

15.1引言

1．問題的提出

傅里葉變換存在缺點：

1）局限性：

要收斂，滿足絕對可積條件，否則

（ⅰ）的傅里葉變換不存在，如

（ⅱ）存在，但不能用定義式求得，

如，

頻譜包含沖激函數，帶來分析和運算困難2）求反變換積分比較麻煩

2．

問題的解決

頻域分析

復頻域分析

傅里葉變換

拉普拉斯變換

推廣25.2拉普拉斯變換傅里葉正變換：

乘以衰減因子

適當選取值，

使收斂，

從而可求得[]的傅里葉變換

令

（復數）

f(t)不收斂,即時，不滿足絕對可積條件雙邊拉普拉斯正變換(一)雙邊拉普拉斯變換

——雙邊拉普拉斯反變換

3傅里葉反變換

4實際中，為有始信號（因果信號）

————單邊拉氏變換

此處0意為0-(即把t=0處沖激函數的作用考慮在變換之中)——單邊拉氏反變換

標記：

（二）單邊拉普拉斯變換

5雙邊拉普拉斯變換

單邊拉普拉斯變換

本章采用6討論：

1）傅氏變換與拉氏變換的形式相似，基本差別：

傅氏變換時域與變換域變量皆為實數（）

拉氏變換時域變量為實數，變換域變量為復數（）2）物理意義

傅氏：將分解成許多形式為的指數項之和，拉氏：將分解成許多形式為的指數項之和，——復頻率——復頻譜復頻率可以表示在復平面上，且復平面上的點與指數函數相對應785.3拉普拉斯變換的收斂區收斂域：

使收斂，從而絕對可積條件得以滿足的值的范圍稱為收斂域。

單邊拉氏變換的收斂區使的區域

表示在s平面上

s平面

0收斂坐標

收斂邊界（收斂軸）陰影部分：收斂區9例1求單脈沖的收斂區

0τt1

解：

對所有的值成立

即在全平面收斂

例2求階躍函數的收斂區

解：

例3

求指數函數的收斂區

10由求：

而

或能進行以上對換的函數必須滿足條件：

的收斂區包括軸在內。

5.4常用函數的拉普拉斯變換

單邊拉普拉斯變換和傅里葉變換的關系對單邊信號傅里葉變換是拉普拉斯變換的特殊情況即：

位于復平面的虛軸上11（一）單邊指數函數（為常數）1、階躍函數

2、單邊正、余弦函數

即

同理：

123、單邊衰減正、余弦函數

13（二）t的正整冪函數(n為正整數)

n=1時：

（三）沖激函數

討論：

①

②

5.5拉普拉斯反變換部分分式展開法先檢查F(s)是否是真分式,即保證n>m。若不是真分式,需利用長除法將F(s)化成如下形式。D(s)=0無重根兩邊1617例5-2求的原函數f(t)。解法一：

解法二：利用常用信號的拉氏變換202.D(s)=0有重根設

的求法同單根情況

（1）求：

乘以再令得21（2）求

對s取導一次：

一般情況：

22總結：

重根系數單根系數232425標準方法待定系數法重根共軛單根等號兩邊分子相等2627F(s)的極零圖零點：使F(s)=0，即N(s)=0的s值極點：使F(s)=∞，即D(s)=0的s值零點極點極零圖（零、極點分布圖）：28F(s)的極零圖與波形的關系2930F(s)的極零圖與波形的關系5.6拉普拉斯變換的基本性質

（一）線性

設

則

(二)尺度變換

設

則

（三）時間平移

設

則

（是延時得到的）

右移33例：設

求的拉普拉斯變換

或

例5-6

求鋸齒波

解：

求有始周期函數的拉普拉斯變換

解：

35第一周期波形的拉普拉斯變換周期因子解：

3738(四）頻率平移

設

則

例1例2

(五)時域微分

設

則

用于復頻域系統分析（六）

時域積分

設

則

推論41(七)復頻域微分與積分

設

則（八）參變量積分與微分

設

則

42（九）

初值定理

設

則

應用條件：

F(s)必須為真分式，

若不是真分式，則必須將F(s)化為一個多項式和一個真分式Fp(s)之和，此時43（十）

終值定理

設

的所有極點都位于S左半平面，則應用條件：

1）的所有極點都位于S左半平面

2）在S=0處若有極點也只能是一階極點

（十一）

時域卷積

設

則

（十二）

復頻域卷積

設

則

用于復頻域系統分析455.7線性系統的拉氏變換分析法

1、

積分微分方程的拉普拉斯變換--直接求全響應

2、

從信號分解的角度求拉普拉斯變換--求零輸入響應：初始狀態等效為信號源--求零狀態響應：

461、積分微分方程的拉普拉斯變換--直接求全響應

時域微分

積分特性設

則

47解：對微分方程兩邊取拉普拉斯變換,可得例1：

描述某LTI連續系統的微分方程為已知輸入，初始狀態，。試求系統的響應。全響應4849解：

列電路方程

取拉氏變換：

例2

已知

e(t),R,L,C,，求

i(t)。50

2、從信號分解的角度求拉普拉斯變換初始狀態等效電源電路s域模型：電容—1/Cs電感--Ls51RLC串聯電路的s域模型零狀態響應零輸入響應復頻域阻抗或運算阻抗52系統函數H(s)5353求H(s)的方法利用網絡的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→54例已知某系統方程為求系統函數H(s)。解：兩邊求拉普拉斯變換，設初始狀態為055求RLC電路的H(s)5656例5-14已知輸入，初始條件為，系統的轉移函數為，求系統的響應。并標出受迫分量與自然分量；瞬態分量與穩態分量。

解：

（1）求零輸入響應

初始條件確定常數：

57(3)求全響應

（2）求零狀態響應

585960612.28設系統方程為，當時，全響應為求：（1）系統的初始狀態r(0),r’(0)；（2）系數C的大小。解：方程兩邊同取拉氏變換，代入方程得整理得625.10線性系統的模擬

前面介紹的時域和頻域分析方法：

給定物理系統建立數學模型（方程式）求解——數學分析

實驗方法

——模擬

圖解法

——信號流圖法

對于高階系統：（一）基本單元

系統的模擬圖由三種基本運算器組合起來：

積分器、

標量乘法器、

加法器

63加法器

時域

復頻域（s域）

標量乘法器

a

a積分器

零態：

非零態：

（二）微分方程式的模擬

1．一階

：

時域框圖

s域框圖

2．二階：

積分器個數＝階數

653．n階:模擬規則：

作為第一個積分器的輸入，經n個積分器得到輸出y664．系統方程含有x的導數

以二階為例：

（x的階數低于y的階數——實際系統）

引入輔助變量：

令

模擬框圖：

6768（三）

子系統模擬框圖

1.子系統并聯模擬

n階系統：

（俱為單階極點）

（n個極點俱為實數）

對應一個一階子系統（實數極點）

H1（s）H2（s）Hn（s）X(s)Y(s)子系統框圖：子系統并聯模擬框圖：如有共軛復數極點項，為使子系統的系數ai、bi為實數，常合并在一起組成一二階系統，此時

692．子系統級聯模擬（串聯模擬）

n階系統：

其中為一階或二階子系統若一階子系統

則其模擬框圖為：r個子系統級聯模擬框圖為：H1（s）H2（s）Hr（s）子系統模擬的特點：

調整某一子系統的參數僅影響該子系統的極點或零點在s平面上的位置，對其它子系統不產生影響。

5.32已知系統函數H(s)如下，試繪其直接模擬框圖，并聯模擬框圖以及級聯模擬框圖。5.11信號流圖

7576流圖構筑（略）根據微分方程根據電路結構根據流圖求系統函數H(s)流圖化簡（略）梅森公式77梅森公式7879去掉G1后的子圖去掉G2后的子圖為空圖去掉G3后的子圖80思考：81例：求

X0mX1aX2bX3cX4X4

def1g共有4個環：

L1=ad

L2=beL3=cfL4=gfed