2022屆河北省廊坊市六校聯考高三3月份第一次模擬考試數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發芽，也可能2天后發芽，….下表是20顆不同種子發芽前所需培育的天數統計表，則這組種子發芽所需培育的天數的中位數是()發芽所需天數1234567種子數43352210A．2 B．3 C．3.5 D．42．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．在中，“”是“”成立的必要不充分條件C．“若，則”是真命題D．存在，使得成立4．已知橢圓，直線與直線相交于點，且點在橢圓內恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．5．函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖所示，三國時代數學家在《周脾算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內角為，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．20 B．27 C．54 D．647．已知數列滿足,(),則數列的通項公式()A． B． C． D．8．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續減小，其正切值及對應的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年9．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．10．設，則復數的模等于()A． B． C． D．11．已知冪函數的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．12．下列函數中，在區間上為減函數的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，其中，.且，則集合中所有元素的和為_________.14．已知雙曲線的左右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.15．將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，則函數在區間上的值域為__________．16．已知函數，若恒成立，則的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，函數.（Ⅰ）若在區間上單調遞增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數據：）18．（12分）某校共有學生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調查該校學生每周平均體育鍛煉時間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間（單位：小時）.（1）應抽查男生與女生各多少人？（2）根據收集100人的樣本數據，得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表：時間（小時）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數據中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時，請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關”？男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附：K2.P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）已知數列滿足對任意都有，其前項和為，且是與的等比中項，．（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足，，設數列的前項和為，求大于的最小的正整數的值．20．（12分）已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關于點對稱.（1）求和的標準方程；（2）過點的直線與交于，與交于，求證：.21．（12分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.22．（10分）設數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據表中數據，即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知，種子發芽天數的中位數為，故選：C.【點睛】本題考查中位數的計算，屬基礎題.2．B【解析】

化簡得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結合0<A<π，可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【點睛】本題主要考查了對數的運算性質的應用，兩角差的正弦公式的應用，解題的關鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎題．3．C【解析】

A：否命題既否條件又否結論，故A錯.B：由正弦定理和邊角關系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據冪函數的性質判斷D錯.【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯.B：在中，，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯.C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數在遞減，故D錯.故選：C【點睛】考查判斷命題的真假，是基礎題.4．A【解析】

先求得橢圓焦點坐標，判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出，判斷出點的軌跡方程，根據恒在橢圓內列不等式，化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設是橢圓的焦點，所以.直線過點，直線過點，由于，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關系，考查動點軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.5．B【解析】

對分類討論，當，函數在單調遞減，當，根據對勾函數的性質，求出單調遞增區間，即可求解.【詳解】當時，函數在上單調遞減，所以，的遞增區間是，所以，即.故選:B.【點睛】本題考查函數單調性，熟練掌握簡單初等函數性質是解題關鍵，屬于基礎題.6．B【解析】

設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎題。7．A【解析】

利用數列的遞推關系式，通過累加法求解即可．【詳解】數列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用，數列累加法以及通項公式的求法，考查計算能力．8．D【解析】

先理解題意，然后根據題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【詳解】解：由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點睛】本題考查利用三角函數解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉化思想，數學建模思想，以及數學運算能力，屬中檔題．9．C【解析】

根據三視圖作出幾何體的直觀圖，結合三視圖的數據可求得幾何體的體積.【詳解】根據三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.10．C【解析】

利用復數的除法運算法則進行化簡,再由復數模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復數模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復數的除法運算法則和復數的模;考查運算求解能力;屬于基礎題.11．A【解析】

根據題意求得參數，根據對數的運算性質，以及對數函數的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數函數和對數函數的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.12．C【解析】

利用基本初等函數的單調性判斷各選項中函數在區間上的單調性，進而可得出結果.【詳解】對于A選項，函數在區間上為增函數；對于B選項，函數在區間上為增函數；對于C選項，函數在區間上為減函數；對于D選項，函數在區間上為增函數.故選：C.【點睛】本題考查函數在區間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2889【解析】

先計算集合中最小的數為，最大的數，可得，求和即得解.【詳解】當時，集合中最小數；當時，得到集合中最大的數；故答案為：2889【點睛】本題考查了數列與集合綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.14．【解析】

由已知可得，結合雙曲線的定義可知，結合，從而可求出離心率.【詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據幾何關系，分析出.關于圓錐曲線的問題，一般如果能結合幾何性質，可大大減少計算量.15．【解析】

根據圖像的平移變換得到函數的解析式，再利用整體思想求函數的值域.【詳解】函數的圖像向右平移個單位得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移變換、值域的求解，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意整體思想的運用.16．【解析】

求導得到，討論和兩種情況，計算時，函數在上單調遞減，故，不符合，排除，得到答案。【詳解】因為，所以，因為，所以.當，即時，，則在上單調遞增，從而，故符合題意；當，即時，因為在上單調遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉化為函數的最值問題是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【解析】

（Ⅰ）先求導，得，已知導函數單調遞增，又在區間上單調遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進而得解；（Ⅱ）可通過必要性探路，當時，由知，又由于，則，當，，結合零點存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡得，再由二次函數性質即可求證；【詳解】（Ⅰ）的定義域為.易知單調遞增，由題意有.令，則.令得.所以當時，單調遞增；當時，單調遞減.所以，而又有，因此，所以.（Ⅱ）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調遞增，而，，因此必存在使得，即.且當時，單調遞減；當時，，單調遞增；則.綜上，的最大值為3.【點睛】本題考查導數的計算，利用導數研究函數的增減性和最值，屬于中檔題18．（1）男生人數為人，女生人數55人.（2）列聯表答案見解析，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【解析】

（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根據題意結合頻率分布表，先求出二聯表中數值，再結合公式計算，利用表格數據對比判斷即可【詳解】（1）因為男生人數：女生人數＝900：1100＝9：11，所以男生人數為，女生人數100﹣45＝55人，（2）由頻率頻率直方圖可知學生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數為：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數為37人，聯表如下：男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.892＞3.841，所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【點睛】本題考查分層抽樣，獨立性檢驗，熟記公式，正確計算是關鍵，屬于中檔題.19．（1）（2）4【解析】

（1）利用判斷是等差數列，利用求出，利用等比中項建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項公式,求出，用錯位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數.【詳解】解：任意都有，數列是等差數列，，又是與的等比中項，，設數列的公差為，且，則，解得，，；由題意可知，①，②，①﹣②得：，，，由得，，，，滿足條件的最小的正整數的值為．【點睛】本題考查等差數列的通項公式和前項和公式及錯位相減法求和.(1)解決等差數列通項的思路(1)在等差數列中，是最基本的兩個量，一般可設出和，利用等差數列的通項公式和前項和公式列方程(組)求解即可.(2)錯位相減法求和的方法：如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式20．（1）,；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）設的標準方程為，由題意可設．結合中點坐標公式計算可得的標準方程為．半徑，則的標準方程為．（2）設的斜率為，則其方程為，由弦長公式可得