《九招解決數列求和》

《九招解決數列求和》數列求和是高考中命題的熱點和重點，是每年高考的必考內容，是研究數列問題的核心，下面就數列求和的常用方法作簡單的介紹，供參考。直接運用等差、等比數列的求和公式求解舉例1等比數列{an}的公比q＞1,a10＝1,Sn＝a1＋a2＋…＋an,＝＋＋…＋,求使Sn＞成立的最小自然數n。解析:∵。∴{}是以為首項，為公比的等比數列。Sn＝，＝，∵q＞1,∴，又Sn＞，即＞，得a12qn－1＞1.又a10＝1,a1q9＝1。代入得qn－19＞1.又q＞1,∴n＞19.故Sn＞成立的最小自然數n為20.拆項轉化為等差、等比數列求和舉例2求1＋3＋5＋…＋。解析:an＝＝2n－1＋即原式＝（1＋）＋（3＋）＋…＋（2n－1＋）＝（1＋3＋5＋…＋2n－1）＋（＋＋…＋）＝n2＋1－.并項法（轉化為等差數列求和舉例3求和:Sn＝－1＋22－32＋42－52＋…＋（－1）nn2.分析:對于正負相間的數列求和先用奇、偶分析法兩項合并為一項，然后轉化為等差、等比數列求和。∵－（n－1）2＋n2＝[n－（n－1）][n＋（n－1）]＝2n－1.∴當n為偶數時，Sn＝－1＋22－32＋42＋…－（n－1）2＋n2＝3＋7＋…＋2n－1＝（3＋2n－1）＝n（n＋1）,當n為奇數時，Sn＝Sn－1－n2＝（n－1）n－n2＝－n（n＋1）綜上可知Sn＝（－1）nn（n＋1）。變換通項法舉例5求5＋55＋555＋…前n項和。解:an＝＝（10n－1）故Sn＝（10－1＋102－1＋…＋10n－1）＝（10n－1）－n。注:形如a,aa,aaa,…前n項和都可用此法。其中an＝＝（10n－1），a∈N,1≤a≤9.裂項相消法將數列中的每一項都拆分成幾項差的形式使一些項相互抵消，只剩下有限的幾項，裂項時可直接從通項入手，且要判斷清楚消項后余下哪些項。舉例5求數列前項的和解:＝，＝。評注:一般地，若為等差數列，，數列{}的求和就可采用裂項相消法，要判斷清楚消項后余下哪些項不然會出錯。倒序相加法（類比、聯想等差數列前項和的公式推導方法）舉例6已知函數。（1）若，證明為定值；（2）若，求。解：，則有＝＝＝。（2）＝評注：遇到首尾相加為常數的數列求和，應先倒序，再變形，再相加，這是常見的一種求和方法。乘比錯位相減法若為等差數列，{bn}為等比數列，則數列{anbn}的前項和就可用此法，舉例7為等比數列，Tn＝na1＋（n－1）a2＋…＋2an－1＋an,T1＝1,T2＝4,求Tn。解:T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝4，得a2＝2，即an＝2n－1所以Tn＝n＋（n－1）·2＋（n－2）·22＋…＋2·2n－2＋2n－1,2Tn＝n·2＋（n－1）·22＋…＋2·2n－1＋2n,兩式相減得Tn＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝2n＋1－2－n.即Tn＝2n＋1－2－n.運用數列的周期性變化求和舉例8數列滿足an＋1＝an－an－1（n≥2）,a1＝a,a2＝b,求S100.解:a3＝b－a,a4＝－a,a5＝－b,a6＝a－b,a7＝a＝a1,a8＝b＝a2,…即an＋6＝an是一個周期為6的數列且S6＝0，故S100＝S96＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝2b－a.九．不求通項，利用遞推關系求和舉例9數列的前n項和為，已知，n＝1,2,3…寫出與的遞推式（n2），并求關于n的表達