數學建模灰色預測模型

灰色預測模型

數學建模

灰色系統分析方法在建模中的應用CUMCM2003ASARS的傳播問題CUMCM2005A長江水質的評價和預測CUMCM2006A出版社的資源配置

CUMCM2006B艾滋病療法的評價及療效的預測問題CUMCM2007A中國人口增長預測

CUMCM2003ASARS的傳播SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥,俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。SARS的爆發和蔓延給我國的經濟發展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規律、為預測和控制傳染病蔓延創造條件的重要性。請你們對SARS的傳播建立數學模型，具體要求如下：（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。CUMCM2003ASARS的傳播（2）建立你們自己的模型，說明為什么優于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數據供參考。（3）收集SARS對經濟某個方面影響的數據，建立相應的數學模型并進行預測。附件3提供的數據供參考。

1、問題水是人類賴以生存的資源，保護水資源就是保護我們自己，對于我國大江大河水資源的保護和治理應是重中之重。專家們呼吁：“以人為本，建設文明和諧社會，改善人與自然的環境，減少污染。”長江是我國第一、世界第三大河流，長江水質的污染程度日趨嚴重，已引起了相關政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協與中國發展研究院聯合組成“保護長江萬里行”考察團，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個CUMCM2005A長江水質的評價和預測

重點城市做了實地考察，揭示了一幅長江污染的真實畫面，其污染程度讓人觸目驚心。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態10年內將瀕臨崩潰”（附件１），并發出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件2）。

附件3給出了長江沿線17個觀測站（地區）近兩年多主要水質指標的檢測數據，以及干流上７個觀測站近一年多的基本數據（站點距離、水流量和水流速）。通常認為一個觀測站（地區）的水質污染主要來自于本地區的排污和上游的污水。CUMCM2005A長江水質的評價和預測

一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環境中通過物理降解、化學降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標稱為降解系數。事實上，長江干流的自然凈化能力可以認為是近似均勻的，根據檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數和氨氮的降解系數通常介于0.1~0.5之間，比如可以考慮取0.2

(單位：1/天)。附件4是“1995~2004年長江流域水質報告”給出的主要統計數據。下面的附表是國標(GB3838-2002)給出的《地表水環境質量標準》中4個主要項目標準限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類為可飲用水。

CUMCM2005A長江水質的評價和預測CUMCM2005A長江水質的評價和預測請你們研究下列問題：（1）對長江近兩年多的水質情況做出定量的綜合評價，并分析各地區水質的污染狀況。（2）研究、分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數和氨氮的污染源主要在哪些地區?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統計數據，對長江未來水質污染的發展趨勢做出預測分析，比如研究未來10年的情況。（4）根據你的預測分析，如果未來10年內每年都要求長江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？（5）你對解決長江水質污染問題有什么切實可行的建議和意見。主要內容灰色系統分析方法9一灰色預測的概念

；二灰色生成數列；五灰色預測實例

四

灰色模型GM；三灰色關聯度分析；1982我國學者鄧聚龍教授發表第一篇中文論文《灰色控制系統》標志著灰色系統這一學科誕生。1985灰色系統研究會成立，灰色系統相關研究迅速發展。1989海洋出版社出版英文版《灰色系統論文集》，同年，英文版國際刊物《灰色系統》雜志正式創刊。目前，國際、國內200多種期刊發表灰色系統論文，許多國際會議把灰色系統列為討論專題。國際著名檢索已檢索我國學者的灰色系統論著500多次。灰色系統理論應用范圍已拓展到工業、農業、社會、經濟、能源、地質、石油等眾多科學領域，成功地解決了生產、生活和科學研究中的大量實際問題，取得了顯著成果。

灰色系統的應用范疇大致分為以下幾方面：（1）灰色關聯分析。（2）灰色預測：人口預測；初霜預測；災變預測….等等。（3）灰色決策。（4）灰色預測控制。灰色系統理論是人們認識客觀系統改造客觀系統的一個新型的理論工具。一、灰色預測的概念

（1）灰色系統、白色系統和黑色系統白色系統是指一個系統的內部特征是完全已知的，即系統的信息是完全充分的。

黑色系統是指一個系統的內部信息對外界來說是一無所知的，只能通過它與外界的聯系來加以觀測研究。

灰色系統內的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統內各因素間有不確定的關系。灰色預測法是一種對含有不確定因素的系

統進行預測的方法。灰色預測是對既含有已知信息又含有不確定

信息的系統進行預則，就是對在一定范圍內

變化的、與時間有關的灰色過程進行預測。

（2）灰色預測法灰色預測通過鑒別系統因素之間發展趨

勢的相異程度，即進行關聯分析，并對原始數據進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據序列,然后建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來發展趨勢的狀況。灰色預測法用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數量值構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。

（3）灰色預測的四種常見類型

?灰色時間序列預測即用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。

?畸變預測即通過灰色模型預測異常值出現的時刻，預測異常值什么時候出現在特定時區內。系統預測

通過對系統行為特征指標建立一組相互關聯的灰色預測模型，預測系統中眾多變量間的相互協調關系的變化。拓撲預測將原始數據做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發生的所有時點，并以該定值為框架構成時點數列，然后建立模型預測該定值所發生的時點。三、灰色生成數列

灰色系統理論認為，盡管客觀表象復雜，但總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內在規律。關鍵在于如何選擇適當的方式去挖掘和利用它。灰色系統是通過對原始數據的整理來尋求其變化規律的，這是一種就數據尋求數據的現實規律的途徑，即為灰色序列的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現其規律性。數據生成的常用方式有累加生成、累減生成和加權累加生成。（1）累加生成

把數列各項（時刻）數據依次累加的過程稱為累加生成過程（AGO）。由累加生成過程所得的數列稱為累加生成數列。設原始數列為，令稱所得到的新數列為數列的1次累加生成數列。類似地有稱為的r次累加生成數列。（2）累減生成對于原始數據列依次做前后相鄰的兩個數據相減的運算過程稱為累減生成過程IAGO。如果原始數據列為令稱所得到的數列為的1次累減生成數列。注：從這里的記號也可以看到，從原始數列，得到新數列，再通過累減生成可以還原出原始數列。實際運用中在數列的基礎上預測出，通過累減生成得到預測數列。（3）加權鄰值生成設原始數列為稱為數列的鄰值。為后鄰值，為前鄰值，對于常數，令

由此得到的數列稱為數列在權下的鄰值生成數，權也稱為生成系數。特別地，當生成系數時，則稱為均值生成數，也稱等權鄰值生成數。累加生成計算示例例：x(0)=(x(0)(k)︱k=1，2，3，4，5)=x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，x(0)(5)=(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8)

求x(1)(k)解：累加生成的特點

一般經濟數列都是非負數列。累加生成能使任意非負數列、擺動的與非擺動的，轉化為非減的、遞增的。原始數列作圖

1—AGO作圖

某市的汽車銷售量遞增的規律

原始數列作圖1—AGO作圖有明顯的指數關系的規律

某鋼廠產量某地區作物產量

s型變化規律

累減生成計算示例

灰色系統理論是基于關聯空間、光滑離散函數等概念定義灰導數與灰微分方程，進而用離散數據列建立微分方程形式的動態模型，即灰色模型是利用離散隨機數經過生成變為隨機性被顯著削弱而且較有規律的生成數，建立起的微分方程形式的模型，這樣便于對其變化過程進行研究和描述。G表示grey（灰色），M表示model（模型）四、灰色模型ＧＭ(1,1)設為原始數列，其1次累加生成數列為，其中定義的灰導數為令為數列的鄰值生成數列，即于是定義GM（1，1）的灰微分方程模型為即或（1）在式（1）中，稱為灰導數，a稱為發展系數，稱為白化背景值，b稱為灰作用量。將時刻表代入（1）式有引入矩陣向量記號：

于是GM（1，1）模型可表示為現在問題歸結為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它們的估計值為注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標準程序求解，如matlab等。GM（1，1）的白化型對于GM（1，1）的灰微分方程（1），如果將灰導數的時刻視為連續變量t，則視為時間t函數，于是對應于導數量級，白化背景值對應于導數。于是GM（1，1）的灰微分方程對應于的白微分方程為

（2）GM（1，1）灰色預測的步驟1.數據的檢驗與處理為了保證GM（1，1）建模方法的可行性，需要對已知數據做必要的檢驗處理。設原始數據列為了，計算數列的級比如果所有的級比都落在可容覆蓋區間內，則數據列可以建立GM（1，1）模型且可以進行灰色預測。否則，對數據做適當的變換處理，如平移變換：取C使得數據列的級比都落在可容覆蓋內。2.建立GM（1，1）模型

不妨設滿足上面的要求，以它為數據列建立GM（1，1）模型用回歸分析求得a,b的估計值，于是相應的白化模型為解為（3）于是得到預測值從而相應地得到預測值：3.檢驗預測值（1）殘差檢驗：計算相對殘差如果對所有的，則認為達到較高的要求：否則，若對所有的，則認為達到一般要求。（2）級比偏差值檢驗：計算如果對所有的，則認為達到較高的要求；否則若對所有的，則認為達到一般要求。例：銀行有各種投資理財產品，客戶可根據自己的資金實力和投資偏好來自由選擇，并且一般會有“10天猶豫期”，在這10天里如果對自己購得的理財產品不放心或者不滿意，通常情況下是可以退買的，這時候是不收手續費的。否則，逾期退買將收取一定的手續費。通過對客戶退買行為數據的分析，發現客戶購得理財產品后的每一天繼續持有的客戶比例依次是[92.81097.66098.80099.28199.53799.53799.8170.00](單位%)，從這組數列可以看出退買高發期是在前幾天，后續退買的可能性持續衰減。建立GM(1,1)模型對以上數據進行分析。五、灰色預測計算實例一灰色預測計算實例二例

北方某城市1986～1992年道路交通噪聲平均聲級數據見表6表6市近年來交通噪聲數據[dB(A)]序號年份eqL1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6第一步:級比檢驗建立交通噪聲平均聲級數據時間序列如下：=(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)（1）求級比λ(k)

=(0.982,1,1.0042,1.0098,0.9917,1.0056)（2）級比判斷由于所有的λ(k)∈[0.982,1.0098]，k=2,3,,7，故可以用x(0)作滿意的GM（1，1）建模。第二步:GM（1，1）建模（1）對原始數據作一次累加，即=(71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503）（2）構造數據矩陣B及數據向量Y（3）計算u?于是得到a=0.0023，b=72.6573。（4）建立模型求解得（5）求生成數列值及模型還原值：令k=1,2,3,4,5,6,由上面的時間響應函數可算得，其中取由取k=2,3,4,,7，得

(71.1,72.4,72.2,72.1,71.9,71.7,71.6)第三步:模型檢驗模型的各種檢驗指標值的計算結果見表7.表7GM(1,1)模型檢驗表序號年份原始值模型值殘差相對誤差級比偏差1198671.171.1002198772.472.4-0.00570.01%0.00233198872.472.20.16380.23%0.02034198972.172.10.03290.05%-0.00185199071.471.9-0.49840.7%-0.00746199172.071.70.26990.37%0.01077199271.671.60.03780.05%-0.0032經驗證，該模型的精度較高，可進行預測和預報。灰色預測實例三已知某公司1999-2008年的利潤為(單位：元/年)：[89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670],現在要預測該公司未來幾年的利潤情況。步驟:(1)對原始數據進行累加；(2)構造累加矩陣B與常數向量；(3)求解灰參數；(4)將參數代入預測模型進行數據預測。灰色預測實例四長江水質的預測(2005A)根據以下數據進行10年的預測年份1995199619971998199920002001200220032004污水量/億噸174179183189207234220.5256270285案例：SARS疫情對某些經濟指標影響1問題的提出2003年的SARS疫情對中國部分行業的經濟發展產生了一定的影響，特別是對幫分疫情較嚴重的省市的相關行業所造成的影響是明顯的，經濟影響主要分為直接經濟影響和間接影響．直接經濟影響涉及到商品零售業、旅游業、綜合服務等行業．很多方面難以進行定量地評估，現僅就SARS疫情較重的某市商品零售業、旅游業和綜合服務業的影響進行定量的評估分析．究竟SARS疫情對商品零售業、旅游業和綜合服務業的影響有多大，已知該市從1997年1月到2003年10月的商品零售額、接待旅游人數和綜合服務收入的統計數據如下表1、表2、表3．表1商品的零售額(單位：億元)

年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月199783．079．878．185．186．688．290．386．793．392．590．996．91998101．785．187．891．693．494．597．499．5104．2102．3101．0123．5199992．2114．093．3101．0103．5105．2109．5109．2109．6111．2121．7131．32000105．0125．7106．6116．0117．6118．0121．7118．712O．2127．8121．8121．92001139．3129．5122．5124．5135．713O．8138．7133．7136．8138．9129．6133．72002137．5135．3133．0133．4142．8141．6142．9147．3159．6162．1153．5155．92003163．2159．7158．4145．2124144．1157162．6171．8180．7173．5176．5表2接待海外旅游人數(單位：萬人)

年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月l1月12月19979．411．316．819．820．318．820．924．924．724．319．418．619989．611．715．819．919．517．817．823．321．424．520．115．9199910．112．917．721．021．020．421．925．829．329．823．616．5200011．426．019．625．927．624．323．027．827．328．532．818．5200111．526．420．426．128．928．025．230．828．728．122．220．7200213．729．723．128．929．027．426．032．231．432．629．222．9200315．417．123．5l1．61．782．618．816．220．124．926．521．8表3綜合服務業累計數據(單位：億元)

年代2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月l99796l44l94276383466554652747832972199811116923540045956569580588110111139l99915123833542554164173986697510871238200016426337653160071191310381173129614972001182318445576708856100011451292143516672002216361504642818979114213051479164419202003241404584741923111412981492168418852218試根據這些歷史數據建立預測評估模型，評估2003年SARS疫情給該市的商品零售業、旅游業和綜合服務業所造成的影響．2模型的分析與假設根據所掌握的歷史統計數據可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關指標的變化規律，這樣可以把預測評估分成兩部分：(i)利用灰色理論建立灰微分方程模型，由1997~2002年的平均值預測2003年平均值；(ii)通過歷史數據計算每個月的指標值與全年總值的關系，從而可預測出正常情況下2003年每個月的指標值，再與實際值比較可以估算出SARS疫情實際造成的影響．2模型的分析與假設給出下面兩條假設：(1)假設該市的統計數據都是可靠準確的；(2)假設該市在SARS疫情流行期間和結束之后，數據的變化只與SARS疫情的影響有關，不考慮其他隨機因素的影響．3建立灰色預測模型GM(1,1)

由已知數據，對于1997~2002年某項指標記為矩陣計算每年的年平均值，記為(3)并要求級比．對作一次累加，則記(4)取的加權均值，則為確定參數,于是GM(1,1)的白化微分方程模型為(5)

其中a是發展灰度,b是內生控制灰度.3建立灰色預測模型GM(1,1)

由于，取為灰導數，為背景值，則建立灰微分方程為:

或其矩陣形式為，其中

用最小二乘法求得參數的估計值為

(6)

3建立灰色預測模型GM(1,1)

則灰微分方程模型(4)的解為則(7)由(7)式可以得到2003年的平均值為，則預測2003年的總值為根據歷史數據，可以統計計算出2003年第i個月的指標值占全年總值的比例為

，即

(8)則于是可得2003年每一個月的指標值為Y=X·u．

4模型的求解

(i)商品零售額由數據表1，計算可得每年月平均值、一次累加值分別為

=(87．6167，98．5000，108．4750，118．4167，132．8083，145．4083)，=(87．6167，186．1167，294．5917，413．0083，545．8167，691．2250)．顯然的所有級比都在可行域內．經檢驗，在這里取參數比較合適，則有(127．0167，229．5067，341．9583，466．1317，603．9800)．(i)商品零售額由最小二乘法求得a=-0．0993，b=85．5985．可得2003年的月平均值為=162．8826億元；年總值為=1954．6億元．由(8)式得每月的比例為u=(0．0794，0．0807，0．0749，0．0786，0．0819，0．0818，0．0845，0．0838，0．0872，0．0886，0．0866，0．0920)故2003年1—12月的預測值為Y=u·X=(155．2，157．8，146．4，153．6，160．1，

159．9，165．2，163．8，17o．5，173．2，

169．3，179．9)(億元)將預測值與實際統計值進行比較如下表4所示．表42003年商品的零售額(單位：億元)月份1月2月3月4月5月6月7月

8月9月10月l1月12月預測值155．2157．8146．4153．6160．1159．9165．2163．8170．5173．2169．3179．9實際值163．2159．7158．4145．2124．0144．1157．0162．6171．8180．7173．5176．5clc,clearhan1=[83.079.878.185.186.688.290.386.793.392.590.996.9101.785.187.891.693.494.597.499.5104.2102.3101.0123.592.2114.093.3101.0103.5105.2109.5109.2109.6111.2121.7131.3105.0125.7106.6116.0117.6118.0121.7118.7120.2127.8121.8121.9139.3129.5122.5124.5135.7130.8138.7133.7136.8138.9129.6133.7137.5135.3133.0133.4142.8141.6142.9147.3159.6162.1153.5155.9163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5];han1(end,:)=[];m=size(han1,2);x0=mean(han1,2);x1=cumsum(x0);alpha=0.4;n=length(x0);z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];ab=B\Yk=6;x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))z=m*x7hatu=sum(han1)/sum(sum(han1))v=z*ux1=[87.6167186.1167294.5917413.0083545.81676