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文檔簡介

§4.1不定積分的概念與性質一、原函數與不定積分的概念二、不定積分的幾何意義三、不定積分的性質四、基本積分公式五、不定積分的求法前面我們討論了一元函數的微分學，它的基本問題是求已知函數的導數或微分。而在實際問題中，還會遇到與此相反問題，即已知一個函數的導數或微分，求此函數。

例如：已知作非勻速直線運動的物體在任意時刻的速度，要求物體的運動方程：。這類問題在數學中歸結為求導運算的逆運算，我們稱之為求函數的不定積分。一、原函數與不定積分的概念

1.原函數：設是定義在某區間上的已知函數，如果存在一個函數，使對于該區間任意，都有關系式：或成立，則稱函數為函數在該區間上的一個原函數。例又因為：所以顯然，，，都是的一個原函數。★由此不難得出：

（1）一個函數的原函數不惟一，且有無窮多個。

（2）同一函數的原函數之間只相差一個常數。

（3）若為的一個原函數，則表示的所有原函數。

2.不定積分的定義：設是在區間I上的一個原函數，則函數的全體原函數（c為任意常數）

任意常數積分符號被積函數被積表達式積分變量

3.如何求不定積分稱為在該區間I上的不定積分。即：例1解：例2解：求求因為所以是的一個原函數，從而有因為所以是的一個原函數，從而有例3求因為結論（3）不是每個函數在定義區間上都有原函數；在定義區間上的連續函數一定有原函數（即：一定有不定積分）。（1）求函數的不定積分就是求的全體原函數，實際上只需求出它的一個原函數，再加上一個常數C即可。（2）檢驗積分結果正確與否的方法是：積分結果的導函數等于被積函數。設函數在某區間上的一個原函數為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而的全部積分曲線所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設函數在某區間上的一個原函數為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設函數在某區間上的一個原函數為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而二、不定積分的幾何意義如下圖所示：

例4

設曲線通過點（1,2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設曲線方程為根據題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為三、不定積分的性質定理1

微分運算與積分運算互為逆運算，即

定理2定理3積分運算和微分運算是互逆的，因此，對每一個導數公式都可以得出一個相應的積分公式。四、基本積分公式將基本導數公式從右往左讀，（然后稍加整理）可以得出基本積分公式（基本積分表）。基本積分表是常數);基本積分表1.直接積分法（直接利用基本積分公式與性質求積分）解根據冪函數的積分公式例5

求下列函數的不定積分（恒等變形法）

五、不定積分的求法：(1)解:解:原式例6

求下列函數的不定積分解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解所求曲線方程為3.基本積分表；5.不定積分的（線性）性質；

1.原函數的概念：

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