數量積向量混合

一、向量的線性運算1.向量的加減法(1)三角形法則(2)平行四邊形法則2.向量與數的乘法4.兩個向量的平行關系定理設向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數，使.二、空間直角坐標系向量

的坐標分解式：三、利用坐標作向量的線性運算設（為實數）則四、向量的模、方向角、投影1.向量的模：2.設有點，則其距離為MPQROzyx非零向量與三條坐標軸的正向的夾角方向角：r的方向角：設非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:單位向量的方向余弦為:注意：設(2)3.向量在軸上的投影性質1性質2性質33.向量在軸上的投影.空間一點在軸上的投影:設，則數稱為向量在軸上的投影，記作或.

則或記作過點作軸的垂直平面，交點即為點在軸上的投影.注意：設(2)

性質1(即),

其中為向量與軸的夾角;

性質2(即);性質3(即).

例9設立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且,求OA在OM方向上的投影Prj.解

記

有于是Prj

第二節數量積向量積*混合積一、兩向量的數量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積一、兩向量的數量積實例啟示兩向量作這樣的運算,結果是一個數量.定義數量積也稱為“點積”、“內積”.結論兩向量的數量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.注意:關于數量積的說明：證證數量積符合下列運算規律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數：若、為數：例1試用向量證明三角形的余弦定理記則有從而由及即得設在中，要證證：數量積的坐標表達式設由此可知兩向量垂直的充要條件為夾角余弦的計算公式:兩向量夾角余弦的坐標表示式：

二、兩向量的向量積實例定義關于向量積的說明：//向量積符合下列運算規律：證////（1）（2）分配律：（3）若

為數：//設向量積的坐標表達式向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出例如，解例4設，，計算.解根據向量積的定義，三角形ABC的面積為例5已知三角形ABC的頂點分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積.由于因此于是例6設剛體以等角速度繞l軸旋轉，計算剛體上一點M的線速度.解剛體繞l軸旋轉時，可以用在l軸上的一個向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規則定出：即以右手握住l軸，當右手的四個手指的轉向與剛體的旋轉方向一致時，大拇指的指向就是的方向.設點M到旋轉軸l的距離為a，再在l軸上任取一點O作向量r=OM，并以表示與r的夾角，那么設線速度為v，那么由物理學上線速度與角速度間的關系可知，v的大小為v的方向垂直于通過M點與l軸的平面，即v

垂直于與r

；又v

的指向是使、r

、v

符合右手規則.因此有三、向量的混合積定義設混合積的坐標表達式（1）向量混合積的幾何意義：關于混合積的說明：當組成右手系時，為正；當組成左手系時，為負.解式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.

性質2

對調混合積相鄰兩個向量，混合積改變符號。例如

三個向量和共面的充分必要條件為

例4已知不在同一平面上的四點O(0,0,0)、A(2,3,－1)、B(4,5,1)和C(1,－2,3),求以OA、OB、OC為棱所構成的四面體體積。

解作三向量和則

例5試證：空間四點和共面的充分條件

證作矢量