緩沖算子、函數變換

西華師范大學灰色系統研究所第三章提高建模精度的常見數據處理方法----光滑序列、緩沖算子、函數變換

在建模過程中往往先通過看級比、級必偏差、光滑比來判斷能否建模，若不能再選擇恰當算子或變換處理后再看能否建模定義3.1.1設序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),我們分別稱為序列的級比(stepwiseratio).級比偏差(stepwiseratiodispersion).

序列的級比偏差更合理，因為原來只適應單調性相同時的比較，單調性相反時，不行。3.1級比與光滑比(StepwiseandSmoothRatios)

定義3.1.1設序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),我們稱為序列的光滑比(smoothratio).3.1級比與光滑比(StepwiseandSmoothRatios)定義3.1.2(傳統定義)若序列X滿足123<0.5

則稱X為準光滑序列(quasi-smoothsequence).新定義:相對低增長序列的光滑性(系統工程理論與實踐09年8期)(魏勇)相對于齊次指數序列的光滑性(Kybernite09年8期)

相對于非齊次指數序列的光滑性(美國會議09年10月)

比較原則:光滑序列小好，級比接近1好，級比偏差接近0好就相對于低增長序列的光滑性而言比較原則:X比Y好分三種情況單增之間

單減之間

一增一減也是統一形式《TheJornalofGreySystem》07年1、3期，08年1、4期。定理3.1.1X為齊次指數序列的充分必要條件是,對于k=1,2,…,n,恒有(k)=const成立.

定義3.1.2設序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),若則稱序列X具有負(降）的灰指數規律則稱序列X具有正(升）的灰指數規律則稱序列X具有絕對灰度為的灰指數規律(級比的絕對寬度)<0.5時,稱X具有準指數規律(thelawofquasi-exponent)

魏勇在南京會議提出:用級比的相對寬度與發展系數的絕對寬度作為事前檢驗方法(獲獎的5篇論文之一)

反思:傳統檢驗方法用于優化模型會出現可以建模的判定為不宜建模,將此文方法用于傳統模型會將不宜建模數據判定為適宜建模數據3.2緩沖算子(bufferoperator)3.2.1序列與算子(sequenceoperator)定義3.2.1設系統行為數據序列為X=(x(1),x(2),…,x(n)),若k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)>0則稱X為單調增長序列;1中反向不等號成立,則稱X為單調衰減序列;存在k,k1,有

x(k)-x(k-1)>0x(k1)-x(k1-1)<0則稱X為振蕩序列.設

M=max{x(k)|k=1,2,…,n},m=min{x(k)|k=1,2,…,n}稱M-m為序列X的振幅.單調序列也有振幅（與物理振幅的區別。自由擺動時振幅的大小決定了振動的劇烈程度，用總變差或對應時刻的瞬時變差來刻劃但外力強制振動則不然，往返的頻率則是一個重要指標。定義3.2.2設為系統真實行為序列,而觀測到的系統行為數據序列為其中為沖擊擾動項,則稱X為沖擊擾動序列.要從沖擊擾動序列X出發實現對真實行為序列X(0)的系統之變化規律的正確把握和認識,必須首先跨越障礙

.如果不事先排除干擾,而用失真的數據X直接建模、預測，則會因模型所描述的并非由X(0)

所反映的系統真實變化規律而導致預測的失敗。排除方法:用緩沖算子處理數據后建模公理3.2.1(不動點公理,AxiomofFixedPoints)

設X為系統行為數據序列,D為序列算子,

則D滿足x(n)d=x(n)(因新信息優先原理)公理3.2.2(信息充分利用公理,AxiomonSuffi-

cientUsageofInformation)系統行為數據序列X中的每一個數據

x(k),k=1,2,…,n,都應充分參與算子作用.公理3.2.3(解析化、規范化公理,AxiomofAna-

lyticRepresentations)任意的x(k)d，皆可由一個統一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表達。3.2.2緩沖算子公理(theaxiomsofbufferoperator)定義3.2.3設X為系統行為數據序列,D為作用于X的算子,X經過算子D作用后所得序列記為

XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)稱D為序列算子,稱XD為一階算子作用序列.

序列算子的作用可以進行多次,若D1,D2,D3皆為序列算子,我們稱D1D2為二階算子,并稱

XD1D2=(x(1)d1d2,x(2)d1d2,…,x(n)d1d2)為二階算子作用序列.定義3.2.4稱上述三個公理為緩沖算子三公理(threeaxiomsofbufferoperators),滿足緩沖算子三公理的序列算子,稱為緩沖算子,一階、二階、……緩沖算子作用后的序列稱為一階、二階、……緩沖序列(buffersequences)。定義3.2.5設X為原始數據序列,D為緩沖算子,當X分別為增長序列,衰減序列或振蕩序列時:若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小,我們稱緩沖算子D為弱化算子;(是各瞬時速度還是僅平均速度?有歧義!)若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)加快或振幅增大,則稱緩沖算子D為強化算子.定理3.2.1設X為單調增長序列,XD為其緩沖序列,則有D為弱化算子x(k)≤x(k)dk=1,2，…n(縮小差別)D為強化算子x(k)≥x(k)d

k=1,2，…n(擴大差別)

直觀意義:最左、最高點沒有變,其他點被抬高

問題:抬得太高，改變了增減趨勢，預測無效彌補辦法：王正新論文《系統工程理論與實踐》

定理3.2.2設X為單調衰減序列,XD為其緩沖序列,則有D為弱化算子x(k)≥x(k)d

(縮小差別)D為強化算子x(k)≤

x(k)d

(擴大差別)3.2.3緩沖算子的性質定理3.2.3設X為振蕩序列,XD為其緩沖序列,則有D為弱化算子(大變小,小變大)

max{x(k)}≥max{x(k)d}min{x(k)}≤min{x(k)d}(縮小差別)2D為強化算子(大變大,小變小)

max{x(k)}≤

max{x(k)d}min{x(k)}≥

min{x(k)d}(擴大差別)3.2.3緩沖算子的性質

問題:以整體振幅變小為標志，可能出現局部變化幅度增大的情形，注意《實變函數論》全變差思想，并應用此思維方法改造緩沖算子定義3.2.3緩沖算子的性質（續）存在緩沖算子：即緩沖算子除x(n)d=x(n)以外其余可以隨心所欲規定！仍然滿足公理2)、3）3.3.2實用緩沖算子的構造舉例定理3.3.2設原始數據序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),令XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)

其中則當X為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列時，D皆為弱化算子(weakeningoperator).推論3.2.1對于定理3.3.2中定義的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)則D2對于單調增長、單調衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。定理3.2.3設原始序列和其緩沖序列分別為X=(x(1),x(2),…,x(n))XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)其中x(n)d=x(n)則當X為單調增長序列或單調衰減序列時,D皆為強化算子(strengtheningoperator).（缺點：x(n)d=x(n)不自然）推論3.2.2設D為定理3.2.3中定義的強化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)則D2對于單調增長序列和單調衰減序列皆為二階強化算子.(在強化基礎上再強化!)定理3.2.4

設X=(x(1),x(2),…,x(n)),令XDi=(x(1)di,x(2)di,…,x(n)di)其中

x(1)d1=x(1),x(1)d2=(+1)x(1)

x(n)di=x(n)i=1,2則D1對單調增長序列為強化算子,D2對單調衰減序列為強化算子.（缺點：x(n)d=x(n)仍然是不自然）推論3.2.3對于定理3.2.4中定義的D1,D2,則,分別為單調增長,單調衰減序列的二階強化算子.現有緩沖算子的類型大部分是各種“平均”類型，在劉思峰教材,黨耀國、關葉青、王正新、謝乃明等人在《系統工程》、《系統工程理論與實踐》、《控制與決策》、《統計與決策》、《中國管理科學》的文章。萬琴構造了近指數類型緩沖算子在英國、臺灣雜志、國際會議上發表

李俊杰、蘇海軍構造了某種函數類型的緩沖算子在國際會議上發表魏勇構造了幾類含參量的緩沖算子,討論強、弱緩沖的數字特征在《控制與決策》2010年2期上發表，如

弱化緩沖算子作用建模預測效果好，強化緩沖算子作用建模預測效果是否好,說不清楚!因為數據變化更劇烈了!甚至需要用優化模型才行!幾個其它算子

1.級比生成算子:

概念:級比,光滑比關系:

級比生成序列就是用前后級比來推測空缺值的一種方法.(首項用后,末走后門用前,中間項前后折中)2.累加生成算子:3.累減生成算子:3.4.1傳統數據變換

1.對數變換

2.開方變換

3.平移變換3.4數據變換3.4.2論文中出現的新數據變換

1.余弦函數變換

2.正切函數變換

3.負指數函數變換

4.冪函數變換

5.中心位似函數(序列)變換(王淑華)

3.4數據變換

6.公比單位化序列變換（黃福勇)3.4數據變換(提高光滑性、縮小級比偏差證明方法)3.4.3

單增函數變換F(x)能縮小數據級比偏差

≤＝≥F(x)/x↘

單減函數變換F(x)能縮小數據級比偏差

≤＝≥F(x)x↗

縮小數據級比偏差≤＝≥提高