社會經濟統計學(8章)

第一節假設檢驗的基本思想第二節總體均值的假設檢驗第三節總體成數的假設檢驗第四節總體方差的假設檢驗（自學）第八章假設檢驗第三篇統計分析方法第八章第一節假設檢驗的基本思想學習要點假設檢驗的基本概念假設檢驗的基本程序參數假設檢驗的相關概念一、假設檢驗基本問題

什么是假設?(hypothesis)第一節假設檢驗的基本思想第八章

對總體參數的的數值所作的一種陳述總體參數包括總體均值、比例、方差等分析之前必需陳述我認為該地區新生嬰兒的平均體重為3190克!一、假設檢驗基本問題什么是假設檢驗?

事先對總體參數或分布形式作出某種假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立有參數假設檢驗和非參數假設檢驗采用邏輯上的反證法，依據統計上的小概率原理第一節假設檢驗的基本思想第八章假設檢驗，是另一大類統計推斷問題。它是先假設總體具有某種特征（例如總體的參數為多少），然后再通過對樣本的加工，即構造統計量，推斷出假設的結論是否合理。參數估計和假設檢驗不是簡單的“計算”和“驗算”的區別,假設檢驗有它獨特的統計思想，也就是說引入假設檢驗是完全必要的。我們來考慮下面的例子。

第八章第一節假設檢驗的基本思想教材P248

某廠家向一百貨商店長期供應某種貨物，雙方根據廠家的傳統生產水平，定出質量標準，即若次品率超過3%，則百貨商店拒收該批貨物。今有一批貨物，隨機抽43件檢驗，發現有次品2件，問應如何處理這批貨物？

如果雙方商定用點估計方法作為驗收方法，顯然2/43＞３％，這批貨物是要被拒收的。但是廠家有理由反對用這種方法驗收。他們認為，由于抽樣是隨機的，在這次抽樣中，次品的頻率超過３%，不等于說這批產品的次品率（概率）超過了３%.因此需要用別的方法。如果百貨商店也希望在維護自己利益的前提下，不輕易地失去一個有信譽的貨源，也會同意采用別的更合理的方法。事實上，對于這類問題，通常就是采用假設檢驗的方法。具體來說就是先假設次品率，然后從抽樣的結果來說明這一假設是否合理。注意，這里用的是“合理”一詞，而不是“正確”。例

某研究所推出一種感冒特效新藥，為證明其療效，選擇200名患者為志愿者。將他們均分為兩組，分別不服藥或服藥，觀察三日后痊愈的情況，得出下列數據。是否痊愈服何種藥痊愈者未痊愈者合計未服藥者4852100服藥者5644100合計10496200例問新藥是否確有明顯療效？

這個問題就不存在估計什么的問題。從數據來看，新藥似乎有一定療效，但效果不明顯，服藥者在這次試驗中的情況比未服藥者好，完全可能是隨機因素造成的。對于新藥上市這樣關系到千萬人健康的事，一定要采取慎重的態度。這就需要用一種統計方法來檢驗藥效，假設檢驗就是在這種場合下的常用手段。具體來說，我們先不輕易地相信新藥的作用，因此可以提出假設“新藥無效”，除非抽樣結果顯著地說明這假設不合理，否則，將不能認為新藥有明顯的療效。這種提出假設然后做出否定或不否定的判斷通常稱為顯著性檢驗(Significancetest)。第一節假設檢驗的基本思想第八章二、假設檢驗的基本思想...因此我們拒絕假設

=50樣本均值抽樣分布...如果這是總體的真實均值m

=50H0這個值不像我們應該得到的樣本均值...20第一節假設檢驗的基本思想第八章總體三、假設檢驗的過程抽取隨機樣本均值

X=20我認為人口的平均年齡是50歲提出假設拒絕假設!

別無選擇.作出決策假設檢驗的步驟提出假設確定適當的檢驗統計量規定顯著性水平計算檢驗統計量的值作出統計決策第一節假設檢驗的基本思想第八章教材P249-251

例

某商店為搞促銷，對購買一定數額商品的顧客給予一次摸球中獎的機會，規定從裝有紅、綠兩色球各１０個的暗箱中連續摸１０次（摸后放回），若10次都是摸得綠球，則中大獎。某人按規則去摸１０次，皆為綠球，商店認定此人作弊，拒付大獎，此人不服，最后引出官司。我們在此并不關心此人是否真正作弊，也不關心官司的最后結果，但從統計的觀點看，商店的懷疑是有道理的。第八章第一節假設檢驗的基本思想如果此人摸球完全是隨機的，則要正好在10次摸球中均摸到綠球的概率是一個很小的數，統計的基本原理是在一次試驗中所發生的事件不應該是小概率事件。現在既然這樣小概率的事件發生了，就應當推測出此人摸球不是隨機的，換句話說有作弊之嫌。上述的這一推斷，實際上就是假設檢驗的全部過程。它一般包含了這么幾步：提出假設，抽樣，并對樣本進行加工（構造統計量），定出一個合理性界限，得出假設是否合理的結論。這里要說明一點的是所謂“小概率事件”。究竟多大概率為小概率事件？在一個問題中，通常是指定一個正數，認為概率不超過的事件是在一次試驗中不會發生的事件，這個稱為顯著性水平(Levelofsignificance)。對于實際問題應根據不同的需要和側重，指定不同的顯著性水平。通常可選取α=0.01，0.05，0.10等。

下面我們用假設檢驗的語言來模擬商店的推斷：

10

提出假設：

H0：此人未作弊；H1：此人作弊。這里H0稱為原假設(Nullhypothesis)，H1稱為備選假設(Alternativehypothesis)或對立假設(Oppositehypothesis)，備選假設也可以不寫。

20

構造統計量，并由樣本算出其具體值：統計量取為10次模球中摸中綠球的個數．由抽樣結果算出.30

求出在H0下，統計量N的分布，構造對H0不利的小概率事件：易知，在H0下，即如果此人是完全隨機地摸球的話，統計量N服從二項分布Ｂ（10，1/2）．其分布數列為，

那么此人摸到的綠球數應該在平均數5個附近,所以對不利的小概率事件是:“綠球數大于某個較大的數，或小于某個較小的數。”在此問題中，小于某個較小的數不成立，即此人作弊的話，不可能故意少摸綠球，因此只需考慮事件“大于某個較大的數”，這個數常稱為臨界值。

40

給定顯著性水平，確定臨界值：即取一數使得Ｐ｛N＞｝=如取=0.01,由分布數列算出：

對于這種離散型概率分布,不一定能取到，取最接近的n,使當H0成立時，，因此.該小概率事件是：

50

得出結論:

已算得，即發生了，而被視為對不利的小概率事件,它在一次試驗中是不應該發生的，現在居然發生了，只能認為是不成立的，即：“此人作弊”成立。

四、參數假設檢驗的有關概念

1、原假設與備擇假設

原假設(記作H0）：受檢驗的基本假設,即從原總體沒有變化出發,這樣就有一個總體參數,而且它的分布是巳知的。

備擇假設(記作H1）：是原假設的對立假設。▲原假設是決策者有意推翻的假設,備擇假設是決策者試圖從樣本信息中找到“征兆”以支持其真實的一種假設

第八章第一節假設檢驗的基本思想原假設(nullhypothesis)1.待檢驗的假設，又稱“0假設”2.研究者想收集證據予以反對的假設3. 總是有等號,

或4. 表示為H0H0：

某一數值指定為=號，≦或≧例如,H0：

3190（克）為什么叫0假設?

2、顯著性水平

假設檢驗依據“小概率事件在一次抽樣試驗中幾乎是不可能發生的”這一原理,這個小概率稱為顯著性水平。

樣本統計量與其總體參數之間存在隨機誤差,是不可避免的,但抽樣誤差是有一定規律的,它滿足于一定的概率分布。這種誤差在一定范圍內出現的可能性很大,而在這個范圍以外出現的可能性很小如果來自樣本的信息打破了這個規律,差異過大,就不能把這種差異視為隨機誤差了。第八章第一節假設檢驗的基本思想

小概率在一次試驗中，一個幾乎不可能發生的事件發生的概率在一次試驗中小概率事件一旦發生，我們就有理由拒絕原假設小概率由研究者事先確定什么是小概率？抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2樣本統計量拒絕域拒絕域1-置信水平

3、Z檢驗與t檢驗

Z檢驗:正態分布檢驗。檢驗適應在方差已知的情況下，對期望的檢驗。

易知，在H0

成立的條件下；Z服從正態分布，因此根據正態分布的特點，在H0成立的條件下，Z的值應以較大的概率出現在０的附近，因此對H0不利的小概率事件是：第八章第一節假設檢驗的基本思想檢驗統計量

t檢驗:t分布檢驗。當總體方差未知,用樣本方差代替時,統計量第八章第一節假設檢驗的基本思想服從t分布。對H0不利的小概率事件是:

4、雙側檢驗與單側檢驗雙側檢驗:當我們所關心的問題是要檢驗樣本統計量與總體參數有沒有顯著差異,而不問差異的方向,采用雙側檢驗。第八章第一節假設檢驗的基本思想例如:某種零件的尺寸，要求其平均長度為10cm，大于或小于10cm均屬于不合格我們想要證明(檢驗)大于或小于這兩種可能性中的任何一種是否成立建立的原假設與備擇假設應為

H0:10H1:10

=

雙側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平樣本值雙側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值

a/2a/2

樣本統計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平樣本值雙側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平樣本值

單側檢驗:當我們關心的問題是檢驗樣本統計量與總體參數有沒有顯著差的差異,而且追究是否發生預先指定方向的差異,應采用單側檢驗。第八章第一節假設檢驗的基本思想

例如:

一項研究表明，采用新技術生產后，將會使產品的使用壽命明顯延長到1500小時以上。檢驗這一結論是否成立研究者總是想證明自己的研究結論(壽命延長)是正確的備擇假設的方向為“>”(壽命延長)建立的原假設與備擇假設應為

H0:1500H1:1500

單側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統計量拒絕域抽樣分布1-置信水平左側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統計量拒絕域抽樣分布1-置信水平樣本值左側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統計量拒絕域抽樣分布1-置信水平樣本值右側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統計量拒絕域抽樣分布1-置信水平樣本值右側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統計量抽樣分布1-置信水平拒絕域樣本值

5、檢驗中的兩類錯誤(Twotypeserroroftests)

檢驗可能犯錯誤，所謂犯錯誤就是檢驗的結論與實際情況不符，這里有兩種情況：

α錯誤：是實際情況是成立，而檢驗的結果表明不成立，即拒絕了，這時稱該檢驗犯了第一類錯誤(typeIerror)或“棄真”的錯誤。

Β錯誤：是實際情況是不成立，而檢驗的結果表明成立，即接受了，這時稱該檢驗犯了第二類錯誤(typeIIerror)，或稱“取偽”的錯誤。

H0:無罪假設檢驗中的兩類錯誤（決策結果）陪審團審判裁決實際情況無罪有罪無罪正確錯誤有罪錯誤正確H0檢驗決策實際情況H0為真H0為假接受H0正確決策(1–a)第二類錯誤(b)拒絕H0第一類錯誤(a)正確決策(1-b)假設檢驗就好像一場審判過程統計檢驗過程我們來研究一下，對于一個檢驗，這兩類錯誤有大：

我們知道，一個檢驗本質上就是一個否定域V，所謂拒絕H0，就是通過構造V的統計量計算，得出樣本點落在V內的結論。所以，第一類錯誤的概率就是在H0成立的條件下V的概率.一般地當時.當形如或時，由此可知，顯著性水平α也就是檢驗犯第一類錯誤的概率。同樣，在成立的情況下接受H0，即是指樣本點落在接受域中，因此第二類錯誤的概率是H1錯誤和錯誤的關系你不能同時減少兩類錯誤!和的關系就像翹翹板，小就大，大就小設計一個檢驗,當然最理想的是犯兩類錯誤的概率都盡可能地小，在樣本容量一定的情況下，要使兩者都達到最小是不可能的。考慮到H0的提出既然是慎重的，否定它也要比較慎重。因此，在設計檢驗時，一般采取控制第一類錯誤的概率在某一顯著性水平α內，對于固定的n，使第二類錯誤盡可能地小，并以此來建立評價檢驗是否最優的標準。總體參數檢驗(ParameterTestofNormalCollectivity)

第八章第二節總體均值的假設檢驗Z檢驗（單側和雙側）

t檢驗（單側和雙側）Z檢驗（單側和雙側）

2檢驗（自學）（單側和雙側）教材P261-264均值一個總體比例方差z檢驗大是z檢驗

(檢驗統計量)正態總體是否已知？用樣本標準差S代替

t檢驗小樣本容量n否第二節總體均值的假設檢驗第八章教材P251-256總體均值的檢驗

(2

已知或2未知大樣本)假定條件總體服從正態分布若不服從正態分布,可用正態分布來近似(n30)使用Z-統計量已知：未知：2

2

(1)2

已知均值的檢驗

(大樣本例題分析)【例】某機床廠加工一種零件，根據經驗知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態分布，其總體均值為0=0.081mm，總體標準差為0.025。今換一種新機床進行加工，抽取n=200個零件進行檢驗，得到的橢圓度為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異？（＝0.05）雙側檢驗=

(例題分析)H0:=0.081H1:

0.081=0.05n

=200臨界值(Z):檢驗統計量:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025決策:結論:

在

=0.05的水平上拒絕H0有證據表明新機床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異（1）2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)【例】根據過去大量資料，某廠生產的燈泡的使用壽命服從正態分布N~(1020，1002)。現從最近生產的一批產品中隨機抽取16只，測得樣本平均壽命為1080小時。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產品的使用壽命是否有顯著提高？(＝0.05)單側檢驗

(小樣本例題分析)H0:

1020H1:>1020=0.05n

=16臨界值(Z):檢驗統計量:在

=0.05的水平上拒絕H0有證據表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高決策:結論:Z0拒絕域0.051.645(2)2

未知均值的檢驗

(大樣本例題分析)【例】某電子元件批量生產的質量標準為平均使用壽命1200小時。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產的元件質量大大超過規定標準。為了進行驗證，隨機抽取了100件作為樣本，測得平均使用壽命1245小時，標準差300小時。能否說該廠生產的電子元件質量顯著地高于規定標準？(＝0.05)單側檢驗

(例題分析)H0:1200H1:>1200=0.05n=100臨界值(Z):檢驗統計量:在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該廠生產的元件壽命顯著地高于1200小時決策:結論:Z0拒絕域0.051.645（2）2

未知均值的檢驗

(小樣本)假定條件總體為正態分布-2未知，且小樣本使用t

統計量（2）2

未知均值的檢驗

(小樣本例題分析)【例】某機器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊肥皂為樣本，測得平均厚度為5.3cm，標準差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗機器性能良好的假設。雙側檢驗

(例題分析)H0:=5H1:

5=0.05df=10-1=9臨界值(t):檢驗統計量:在

=0.05的