函數與方程正式版

..§9.函數與方程..一、知識要點1.零點的概念〔1定義使函數的實數的值叫的零點.〔2幾何意義及代數意義的零點曲線與軸的交點的橫坐標方程的實根.2.零點的性質〔1函數的圖象穿過零點時,函數值變號；〔2相鄰兩零點之間的函數值同號.3.零點存在性的判斷〔零點定理〔1在區間上的連續函數滿足,則至少存在一個實數,使得,即在上至少存在一個零點.若在上嚴格單調,則在上存在唯一實數,使得.4.求方程的實根〔或判斷實根個數的方法〔1代數法：解方程；〔2數形結合法：求曲線與軸的交點；〔3輔助函數法：求曲線與的交點個數,轉化為求函數的零點個數.5.用"二分法"求零點的近似值〔1給定區間及精確度,驗證；〔2求區間的中點,計算；〔3驗證與的符號：①若,則為零點；②若,則零點,令；③若,則零點,令；④判斷是否成立,若成立,則任取中的一個數為零點,否則,重復②至④的步驟.二、考點演練題型一：確定零點所在的區間1.設函數與的圖象的交點為,則所在的區間是〔A.B.C.D.2.已知函數,當時,函數的零點,則________.題型二：確定區間上零點的個數3.若函數的兩個極值點為,且,則關于的方程的不同實根個數為________.4.已知定義在R上的偶函數滿足,且當時,,則方程的實數解的個數為________.題型三：利用零點確定參數的值或取值范圍5.設方程的根為,方程的根為,則的值為______.6.已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點,則的取值范圍是________.7.設是定義在R上的偶函數,對于,都有,且當時,,若在區間內關于的方程恰有7個不同的實數根,則的取值范圍是________.題型四：零點的綜合應用8.設函數.〔1設,證明：在區間內存在唯一零點；〔2設,若對于,有,求的取值范圍；〔3在〔1的條件下,設是在內的零點,判斷數列的增減性.9.設函數是自然對數的底數,.〔1求的單調區間及最大值；〔2討論關于的方程根的個數...§9.函數與方程..一、知識要點1.零點的概念〔1定義使函數的實數的值叫的零點.〔2幾何意義及代數意義的零點曲線與軸的交點的橫坐標方程的實根.2.零點的性質〔1函數的圖象穿過零點時,函數值變號；〔2相鄰兩零點之間的函數值同號.3.零點存在性的判斷〔零點定理〔1在區間上的連續函數滿足,則至少存在一個實數,使得,即在上至少存在一個零點.若在上嚴格單調,則在上存在唯一實數,使得.4.求方程的實根〔或判斷實根個數的方法〔1代數法：解方程；〔2數形結合法：求曲線與軸的交點；〔3輔助函數法：求曲線與的交點個數,轉化為求函數的零點個數.5.用"二分法"求零點的近似值〔1給定區間及精確度,驗證；〔2求區間的中點,計算；〔3驗證與的符號：①若,則為零點；②若,則零點,令；③若,則零點,令；④判斷是否成立,若成立,則任取中的一個數為零點,否則,重復②至④的步驟.二、考點演練題型一：確定零點所在的區間1.設函數與的圖象的交點為,則所在的區間是〔A.B.C.D.[解析]令.則；；.所以,所以所在的區間是.選B.2.已知函數,當時,函數的零點,則________.[解析]令,則,,所以的零點,則.題型二：確定區間上零點的個數3.若函數的兩個極值點為,且,則關于的方程的不同實根個數為________.[解析],因為是的兩個極值點,所以是的兩根,于是方程的解為.不妨令,因為,所以同圖象知有兩解,只有一解,所以共有3個實數解.4.已知定義在R上的偶函數滿足,且當時,,則方程的實數解的個數為________.[解析]方程的實數解的個數即為函數與的圖象的交點個數.由已知得是周期為2的周期函數,其圖象如圖所示,當時,,所以共有9個交點,即方程有9個實數解.題型三：利用零點確定參數的值或取值范圍5.設方程的根為,方程的根為,則的值為______.[解析]即為與的圖象的交點M的橫坐標；即與的圖象的交點N的橫坐標.因為與的圖象關于直線對稱,直線也關于對稱,所以兩個交點關于對稱,于是與的交點P即為MN的中點,所以.6.已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點,則的取值范圍是________.[解析]在上存在點,其關于軸的對稱點在的圖象上,所以,即.等價于函數在存在零點.因為,所以在遞增,當時,,要使在存在零點,只需,即,所以.7.設是定義在R上的偶函數,對于,都有,且當時,,若在區間內關于的方程恰有7個不同的實數根,則的取值范圍是________.[解析]方程在有7個實數根,即為與的圖象有7個交點,由已知得是周期為2的周期函數,由圖象得,解之得.········題型四：零點的綜合應用8.設函數.〔1設,證明：在區間內存在唯一零點；〔2設,若對于,有,求的取值范圍；〔3在〔1的條件下,設是在內的零點,判斷數列的增減性.[解析]〔1當時,..又因為當時,,,.〔2當時,.對任意上的最大值與最小值之差.據此分類討論如下：.........綜上得.〔3證法一：設是在內的唯一零點..則.又由〔1知在上遞增,所以.所以數列是遞增數列.9.設函數是自然對數的底數,.〔1求的單調區間及最大值；〔2討論關于的方程根的個數.[解析]〔1.令,則.當時,,單調遞增；當時,,單調遞減.于是函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是.最大值為.〔2令,.①當時.,則,則.因為,所以,因此在<1,＋∞>上單調遞增.②當時.,則.則.因為,,所以.又,所以,即,因此g<x>在<