葉盛標高數上

PAGEPAGE21前言只要兩秒強行帶入定型定法以洛為主單夾積導極限是微積分的基石；導數是微積分的關鍵；初等函數——公式搞定；分段函數——分段搞定；上限函數——導數搞定。第一章函數、極限與連續§0內容提要0、極限的定義（科學的語言——五句話）i)函數極限的定義（科學的語言——五句話）①的極限定義為：①（任給）；②（存在）；③當時；④總有成立；⑤則有。前4句話與第5句話等價的左極限定義為：①；②；③當時；④總有成立；⑤則有。結論：存在，即左極限與右極限存在且相等②的極限定義為：①；②；③當時；④總有成立；⑤則有。前4句話與第5句話等價的左極限定義為：①；②；③當時；④總有成立；⑤則有。ii)數列極限的定義（科學的語言——五句話）數列的極限定義為：①；②；③當時；④總有成立；⑤則有。前4句話與第5句話等價1、兩個重要極限，這兩個極限之所以重要，是因為幾乎全部的基本初等函數求導公式都是由這兩個重要極限推出的。2、極限存在的兩個準則：i)夾逼定理;ii)單調有界數列有極限.3、連續與間斷設函數在點的某鄰域內有定義，如果存在，且，則稱在點連續。破壞“設”、“如果”、“且”三條件之一者謂之間斷，為間斷點。若左極限及右極限都存在，那么稱為的第一類間斷點，否則為第二類間斷點。保號定理，保命定理。保號定理，保命定理。保函數號定理證明：時，即，于是取，即保極限號定理中值定理，邊值搞定，證明：反正即可。中值定理，邊值搞定7、介值定理8、零點定理零點定理，邊值搞定零點定理，邊值搞定注意：。§1思維定勢思維定勢1洛必達前，要用三處（高等數學、初等數學、特例法）在春天就必須掌握的五個常用的麥克勞林公式生產出系列等價無窮小I)時,Iv)時,v)時,§2常考題型常考題型1強行帶入，定頂星定法例2求極限洛必達前，要用三處。（初處）解：洛必達前，要用三處。（初處）超越函數，不再超越。超越函數，不再超越。超越函數：不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算，得到函數值的函數，謂之超越函數，指數函數、對數函數、三角函數為超越函數。例3求極限洛必達前，極限搞定。解：洛必達前，極限搞定。補充（全國2010，數一）極限A、1B、C、D、解：冪指函數，對數恒等。例4冪指函數，對數恒等。零與非零，涇渭分明。解：零與非零，涇渭分明。（）補充（全國2008數一、數二）高處求極限高處解：零與非零，涇渭分明。零與非零，涇渭分明。另解：解法三：拉氏弧形，不拉不行。拉氏弧形，不拉不行。補充（全國2009數二、數三）求極限解：零與非零，零與非零，涇渭分明。評注：求極限的最好辦法：洛必達前，極限搞定。冪指函數，對數恒等。補充：求極限冪指函數，對數恒等。解：零與非零，涇渭分明。零與非零，涇渭分明。注意：此處不能直接利用等價無窮小（），應作如下處理。此處不能直接利用等價無窮小（），應作如下處理。補充處理：，而，剛才省略了這個步驟。補充（全國2011，數一，10分）求極限解：由于補充（全國1997，數二）求極限解：另解：補充（全國2011年，數三，10分）超越函數，不再超越。求極限超越函數，不再超越。解：看到根號，想到共軛。看到根號，想到共軛。補充（全國2011，數一）（答案：）補充（全國2005，數二）設函數連續，且分析：解：分子，分母，在此處如果繼續這樣處理：在此處如果繼續這樣處理：就是錯誤的，因為①在不可導；②導數不連續。考研數學的四個標準化：上限函數要標準化；微分方程要標準化；線性方程要標準化；隨機變量要標準化。例6解：，練習：求下列極限①；②；（答案均為0）例8解：定理：（函數極限與數列極限的關系）例10求極限。分析：有理分式真分式部分分式（假的變真的，真的再分解）解：例13解：上述極限的左極限為上述極限的右極限為常考題型2導數、積分，可求極限例14.若的二階導數存在，則錯解：錯因分析：的二階導數存在，但在附近并不連續。補充：設處可微，一點可導，定義搞定。冪指函數，一點可導，定義搞定。冪指函數，對數恒等。例15求極限解法一：此種解法錯誤。解法二：令；則且有又有，；根據遞推公式；有，故本題無法由本解法解出。解法三（采用定積分定義進行求解）：詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。定積分是一種特殊的和式極限：i)ii）決定積分區間：；Iii)決定微分：；在本題中取例17求極限解：，而，，冪指函數，對數恒等。冪指函數，對數恒等。注意：，又。由本題可得結論：。由于數列由于數列離散，致使本題無法采用導數與積分定義的方法求該極限。常考題型3夾逼定理，誰來夾逼例18求極限解法一：則則有，；根據數列的遞推公式，有，故本題無法由本解法解出。解法二（夾逼定理）：詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。夾逼定理：i）（夾得住）；ii)（夾得緊）；則。夾逼定理是沒有辦法的辦法，一般不要輕易使用。常考題型4遞推極限，要看兩頭補充（全國1996，數學一）設分析：，逆向思維即逆向思維解：i）先證,;由數學歸納法，則數列。Ii)再證數列例19設由下式定義常考題型8漸近線里三種類補充（全國2010，數二）曲線的漸近線方程為_______解：i)，沒有水平漸近線；ii)無垂直漸近線；iii），；故曲線僅有斜漸近線。導數與微分§0內容提要導數的定義導函數如果內可導，如果內可導，在處有右導數，在處有左導數；可導可微，其中與無關，這時稱在點處可微，記作；可以證明。一般記作函數的可導性與連續性的關系在點處可導在點處連續；反之不成立。§2思維定勢1、同名函數的三大用途：①求不定積分；②做證明題；③求二階常系數非齊次線性微分方程的特解。原函導函，拉式定理。原函導函，拉式定理。§3常考題型常考題型9導數定義，永恒考題補充（全國1997，數一、數二）設連續，，且（為常數），求在處的連續性解：，，i)ii)初等函數——初等函數——公式搞定；分段函數——分段搞定；上限函數——導數搞定。i)ii)又，在處連續。在春天就要掌握的五個考研真題1（全國2001，數三、數四）設函數的導數在處連續，又，則是的極小值點是的極大值點是曲線的拐點不是的極值點，也不是曲線的拐點2（全國2005，數二）設函數連續，且。3（全國1997，數一、數二）設連續，，且（為常數），求在處的連續性。（）4已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解，i）證明方程組系數矩陣的秩，ii）求、的值及方程組的通解。例34設，則不存在補充（全國1998，數一、數二）函數不可導點的個數是定理：若在可導，在處連續但不可導，則函數在可導。證明：“”已知，證明函數在可導。“”函數在可導，證明，證畢。常考題型10函數求導，年年要考例43設，且，求解：，，補充，求解：，補充（全國2009，數二）設是由方程確定的隱函數，則-3初始條件，要抓出來。解：，初始條件，要抓出來。，當時，當時，。補充（全國2010，數三）設可導函數由方程確定，則解：，；當時，常考題型11階導數，形式優美例46求的階導數。（要求直接寫出結果）解：詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。例47，求分析：有理分式真分式部分分式（假的變真的，真的再分解）解：詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。補充（全國2010，數二）函數在處的階導數，。解：常考題型12切線法線，倒數搞定i)過曲線上一點，求過該點的切線：；ii)過曲線外一點，求過該點且與曲線相切的直線：補充（全國2011，數三）曲線在點處的切線方程為。解：當時，。第三章中值定理與導數應用§0內容提要1、對羅爾定理的證明在上連續，由最值定理有i)如果，則，，在內任取一點，總有；ii)如果，那么或中至少有一點在內取得，不妨假設，一點可導，定義搞定。一點可導，定義搞定。（保極限號定理）問題證明，結論開始。，證畢。問題證明，結論開始。2、對拉格朗日中值定理的證明欲證：——撇了再，即證：（某一函數在處的導數）——撇了再，高等數學，升階降階。，高等數學，升階降階。，中值定理，邊值搞定。中值定理，邊值搞定。，由羅爾定理，存在，使得，即有，證畢。3對柯西中值定理的證明欲證：，即證：，，，，，由羅爾定理，存在，使得，即有，證畢。4泰勒公式（略）對定積分中值定理的證明證法一：在上連續，由最值定理有，則最值介值，狼狽為奸。由介值定理，存在，使，最值介值，狼狽為奸。即有，證畢。證法二：在上連續，存在原函數，使得，牛萊拉氏，狼狽為奸。，其中。牛萊拉氏，狼狽為奸。評注：連續函數一定存在原函數，連續，則存在，使得，此即為微積分基本定理。§1思維定勢——詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。§2常考題型常考題型13函數性態，導數搞定補充（全國2010，數一、數二）求函數的單調區間與極值。解：函數的定義域為，，，令得駐點，——極小值極大值極小值函數的極小值為，極大值為。補充（全國2000，數二）設函數滿足關系式，且，則（）是的極小值點是的極大值點是曲線的拐點不是的極值點，也不是曲線的拐點分析：這是一個可降解的二階微分方程，令（缺）則有（一階微分方程），無法求解！且，則（由此可知存在），由此可知存在，從而可知連續，且拐點補充（全國2011，數一、數二）曲線的拐點是（）解：對于可導函數，若存在拐點，使，必有在區間與上異號。對有：令，其中，則，，且則有，，不是曲線的拐點對有：令，其中，則，，且，不是曲線的拐點。對有：令，其中，則，，，則在的左右領域內異號，且，是曲線的拐點對有：令，其中，則，，，則在的左右領域內均大于0，且，不是曲線的拐點常考題型14證明不等，導數搞定補充（全國1999，數一）試證：當時，欲證：，即證：，，，，令，得。極小值，證畢。（一定要有用導數窮追猛打的革命精神！）補充：證明對自然數，有證明：先證，即證，即證，令則恒成立，在定義區間上單調遞增，又，在定義區間單調遞增，且，證畢。證明不等，導數搞定。問題證明，結論開始。再證，即證，即證，證明不等，導數搞定。問題證明，結論開始。即證，即證，，恒成立，單調遞增，又，單調遞增，且。常考題型15中值定理，邊值搞定中值定理，函數搞定。中值定理，函數搞定。有了函數，利用函數。沒有函數，制造函數。中值定理，邊值搞定。有了邊值，利用邊值。沒有邊值，制造邊值。例55原函導函，拉式定理。詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。例56三值相等，兩撇為零。詳見《葉盛標考研數學導學班講義》。補充（全國2010，數二）設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且，證明：問題證明，結論開始。存在，，使得問題證明，結論開始。中值定理，邊值搞定。欲證：，即證中值定理，邊值搞定。即證：，，兩個中值，兩次搞定。，其中兩個中值，兩次搞定。，其中；，，證畢。補充（全國2010，數三）三值相等，兩撇為零。最值介值，狼狽為奸。設函數在閉區間上連續，在開區間內存在二階導數且，三值相等，兩撇為零。最值介值，狼狽為奸。證明：i)存在，使；ii)存在，使。證明：，其中，則有；由于在閉區間上連續，由最值定理，則有，，，，由介值定理，存在，使，綜上即有第四章不定積分§0內容提要求與求互為反問題。§1思維定勢思維定勢1不定積分，換元分部。思維定勢2換元積分，同三倒萬（同：化同名；三：三“正”代換；倒：倒代換；萬：萬能置換公式）。同：化同名（湊微分）；三：三“正”代換①正弦代換，令；②正切代換，令；③正割代換，令；倒：倒代換，令（注意倒回來）；萬：萬能置換公式，令，對于三角有理函數，萬能置換公式是萬能的。補充（全國2009，數二、數三，10分）求不定積分解：令，，則有。補充（全國2011，數三，10分）計算不定積分解：令，則§0內容提要定積分的性質可復制到二重積分. §1思維定勢1.二重積分并不巧,五字方針就是好.被積函數要考慮,區域形狀最重要!2.你說完了五個嗎?如果是型積分區域,就要先對積分,用平行于軸的射線穿過積分區域,穿進去,等于什么?(下限)穿出來,等于什么?(上限)3.你說完了五個嗎?如果是型積分區域,就要先對積分,用平行于軸的射線穿過積分區域,穿進去,等于什么?(下限)穿出來,等于什么?(上限)4.你說完了五個嗎?如果是型積分區域,就要先對積分,用“閃金光”的穿過積分區域,穿進去,等于什么?(下限)穿出來,等于什么?(上限)§2常考題型常考題型1.積分換序，五字方針例1.（全國1990數一）積分例2．（南京氣象學院1984，蘭州大學1985，全國1988數二，天津大學1998）計算.例3．（全國2001數一）交換二次積分的積分次序：.常考題型2.二重積分,五字方針例4．（全國2011數一，數二）已知函數具有二階連續偏導數