第八章 第2節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系

第2節(jié)兩條直線的位置關(guān)系[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離.夯實(shí)·必備知識(shí)知識(shí)梳理1.兩條直線的位置關(guān)系A(chǔ)1B2-A2B1≠0-1A1A2+B1B2=0b1≠b2b1=b2釋疑·(1)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是:l1∥l2?k1=k2或l1,l2斜率都不存在.(2)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論是:l1⊥l2?k1·k2=-1或一條直線的斜率不存在,同時(shí)另一條直線的斜率等于零.2.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)釋疑·(1)l1與l2相交?方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.(2)l1與l2平行?方程組無(wú)解.(3)l1與l2重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解.3.三種距離三種距離條件公式兩點(diǎn)間的距離A(x1,y1),B(x2,y2)|AB|=點(diǎn)到直線的距離P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距離為dd=兩條平行直線間的距離直線Ax+By+C1=0與直線Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)間的距離為dd=釋疑·(1)已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)x1=x2時(shí),|AB|=|y1-y2|;當(dāng)y1=y2時(shí),|AB|=|x1-x2|.(2)點(diǎn)P(x0,y0)到直線x=a的距離是d=|x0-a|,點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=b的距離是d=|y0-b|.重要結(jié)論1.直線系方程(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)過(guò)直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.重要結(jié)論2.五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y).(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y).(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b-y).(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,2b-y).基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合,則這兩條直線平行.(

)(2)點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=b(b≠0)的距離d=y0-b.(

)(3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離.(

)(4)若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交.(

)√×√×2.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P57例5改編)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)為頂點(diǎn)的三角形是(

)A.銳角三角形B.鈍角三角形C.以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形D.以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形D3.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P57練習(xí)T2改編)若直線3x-2y-1=0與直線3x-ay+6=0平行,則a=(

)D【解析】

由題意得3×(-a)=3×(-2),則a=2,經(jīng)檢驗(yàn)兩條直線不重合.故選D.4.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P77練習(xí)T3改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a等于(

)C5.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P79習(xí)題2.3

T9改編)若三條直線y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一點(diǎn),則m的值為

.

-9提升·關(guān)鍵能力兩條直線的平行與垂直考點(diǎn)1角度1兩條直線平行與垂直的判斷及應(yīng)用[例1](1)(2026·陜西咸陽(yáng)模擬)已知直線l1:ax+3y-6=0,直線l2:2x+(a-1)y-4=0,則“l(fā)1∥l2”是“a=-2”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C(2)(2026·北京東城模擬)已知直線l1:2x+3y+1=0,l2:ax+2y-2=0,若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的值為(

)C【解析】

(2)因?yàn)閘1⊥l2,所以2a+3×2=0,解得a=-3.故選C.解題策略·判斷兩直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí),若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時(shí)還要注意x,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線的平行、垂直時(shí),可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.[針對(duì)訓(xùn)練](多選)已知直線l1:ax+2y+3a=0和直線l2:3x+(a-1)y+7-a=0,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.當(dāng)a=-2時(shí),l1與l2重合B.直線l1過(guò)定點(diǎn)(-3,0),直線l2過(guò)定點(diǎn)(-1,1)C.當(dāng)l1∥l2時(shí),a=3ACD角度2由兩直線位置關(guān)系求直線方程[例2](2026·江蘇宿遷模擬)已知直線l過(guò)直線x-2y=0與直線x+y+3=0的交點(diǎn),且與直線3x+y-1=0平行,則直線l的方程為(

)A.3x+y+7=0 B.3x+y-7=0C.3x+y+3=0 D.3x+y-3=0A【解析】

法一(直接法)因?yàn)橹本€3x+y-1=0的斜率為-3,且直線l與直線3x+y-1=0平行,所以直線l的斜率為-3,又直線x-2y=0與直線x+y+3=0的交點(diǎn)為(-2,-1),所以直線l的點(diǎn)斜式方程為y+1=-3(x+2),即3x+y+7=0.故選A.法二(待定系數(shù)之斜截式)因?yàn)橹本€3x+y-1=0的斜率為-3,直線l與直線3x+y-1=0平行,所以可設(shè)其方程為y=-3x+b,易知直線x-2y=0與直線x+y+3=0的交點(diǎn)為(-2,-1),所以-1=-3×(-2)+b,解得b=-7,所以直線l的方程為y=-3x-7,即3x+y+7=0.故選A.法三(待定系數(shù)之一般式)易知直線x-2y=0與直線x+y+3=0的交點(diǎn)為(-2,-1),又因?yàn)閘與直線3x+y-1=0平行,所以設(shè)直線l的方程為3x+y+C=0,代入(-2,-1)得3×(-2)+(-1)+C=0,所以C=7,所以直線l的方程為3x+y+7=0.故選A.解題策略·(1)與已知直線平行或垂直的直線,其斜率與已知直線相等或互為負(fù)倒數(shù),求出斜率后再結(jié)合其他條件寫出方程,或者用待定系數(shù)法設(shè)出方程,再由已知條件求出參數(shù).[針對(duì)訓(xùn)練](2026·廣西桂林模擬)已知直線l的一個(gè)方向向量為a=(2,1),則過(guò)點(diǎn)A(1,-1)且與l垂直的直線方程為(

)A.x-2y-3=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-3=0 D.2x+y-1=0D距離問(wèn)題考點(diǎn)2B(2)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別為(1,-1),(3,1),(0,4),(-2,2),則四邊形ABCD的面積為(

)C解題策略·兩種距離的求解思路(1)點(diǎn)到直線的距離:可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解,但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式.(2)兩平行直線間的距離:①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離;②直接利用兩平行線間的距離公式(需先把兩平行直線方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式).[針對(duì)訓(xùn)練]1.(2026·云南玉溪模擬)已知直線l:Ax+By-2=0過(guò)點(diǎn)(1,1),則原點(diǎn)到直線l距離的最大值為(

)A2.(2026·安徽亳州模擬)若直線4x+3y-5=0與直線8x+6y+a=0(a<0)之間的距離為2,則實(shí)數(shù)a等于(

)B對(duì)稱問(wèn)題考點(diǎn)3角度1中心對(duì)稱[例4]直線l1:2x-y+3=0關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱的直線方程為

.

2x-y-3=0法二(平行線法)因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)不在直線l1:2x-y+3=0上,所以直線l1:2x-y+3=0關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱的直線必定與l1平行,設(shè)其方程為2x-y+D=0(D≠3),又直線l1上一點(diǎn)(0,3)關(guān)于點(diǎn)(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為(2,1),代入2x-y+D=0得2×2-1+D=0,所以D=-3,所以所求直線方程為2x-y-3=0.中心對(duì)稱問(wèn)題的類型及解題策略解題策略·(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:①在已知直線上任取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),再用直線的兩點(diǎn)式方程求解;②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),再利用兩對(duì)稱直線平行,用直線的點(diǎn)斜式方程求解.解題策略·[針對(duì)訓(xùn)練](2026·山東泰安模擬)已知直線l1:y=kx-2k+1與直線l2關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,則l2恒過(guò)的定點(diǎn)為(

)A.(2,1) B.(2,-1)C.(0,-1) D.(-1,-1)C角度2軸對(duì)稱[例5](1)(2026·江蘇蘇州模擬)直線x-y-2=0關(guān)于直線l:3x-y+3=0對(duì)稱的直線方程為(

)A.7x-y-22=0 B.7x+y+22=0C.6x-y+22=0 D.6x+y+22=0B(2)(2026·廣東深圳模擬)已知直線l1:x-2y+1=0與直線l2:x-2y+2=0關(guān)于直線l:2x-4y+C=0對(duì)稱,則C的值為(

)A.1