2026年研究生數學實變函數習題集

2026年研究生數學實變函數習題集一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.設X為實數集R上的一個非空集合，若對任意x1,x2∈X，總有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，則稱f在X上滿足Lipschitz條件。下列函數中，在區間(0,1)上滿足Lipschitz條件的是（）A.f(x)=√xB.f(x)=ln(1+x)C.f(x)=x^2D.f(x)=sin(x^2)解析：Lipschitz條件要求函數的導數有界。對于f(x)=√x，其導數f'(x)=1/(2√x)在(0,1)上無界；f(x)=ln(1+x)的導數f'(x)=1/(1+x)在(0,1)上為(1/2,1)區間內的有界函數；f(x)=x^2的導數f'(x)=2x在(0,1)上為(0,2)區間內的有界函數；f(x)=sin(x^2)的導數f'(x)=2x?cos(x^2)在(0,1)上無界。因此只有ln(1+x)滿足Lipschitz條件。2.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，若對任意x∈A，存在x的鄰域U使得U∩E=?，則稱A相對于E是可數分離的。下列集合中，相對于閉集[0,1]在R中不可數分離的是（）A.(0,1)B.Q∩[0,1]C.[0,1]D.{0,1}解析：可數分離要求存在開集覆蓋使得每個點都至少屬于一個開集與E不交。對于(0,1)，可取開集(0,1/2)∪(1/2,1)與[0,1]不交；對于Q∩[0,1]，可取每個有理數對應的鄰域與[0,1]不交；對于{0,1}，可取開集(-1,0)∪(1,2)與[0,1]不交；而[0,1]本身無法相對于[0,1]可數分離，因為任何開集覆蓋都必須包含[0,1]中的點。3.設f:[0,1]→R為連續函數，且滿足f(0)=f(1)，則根據Brouwer不動點定理，下列結論正確的是（）A.f在(0,1)上存在唯一零點B.f在[0,1]上存在唯一不動點C.f在(0,1)上至少存在一個不動點D.f在[0,1]上至少存在兩個不動點解析：Brouwer不動點定理指出連續映射在緊凸集上有不動點。對于f(0)=f(1)的連續函數，可構造g(x)=f(x)-x，則g(0)=f(0)-0=f(0)>0，g(1)=f(1)-1=f(0)-1<0，由連續性知存在c∈(0,1)使g(c)=0即f(c)=c，這表明存在至少一個不動點。4.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，若對任意x1,x2∈A，總有d(x1,x2)→0當{xn}?A且xn→x1,xm→x2時，則稱A是E中的完全子集。下列集合中，在R中不是[0,1]完全子集的是（）A.[0,1]B.(0,1)C.{1/n|n∈N}∪[0,1]D.Q∩[0,1]解析：完全子集要求每個Cauchy序列都有極限在集合中。對于[0,1]，顯然是自身完全；對于(0,1)，開區間中的Cauchy序列可能收斂到0或1而不在(0,1)中；對于{1/n|n∈N}∪[0,1]，1/n序列收斂到0在集合中；而Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中。5.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。下列函數中，在[0,1]上不一致連續的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0）C.f(x)=e^xD.f(x)=|x|解析：一致連續要求存在與x無關的δ。對于sin(1/x)，當x→0時，1/x→∞導致sin(1/x)震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ，因此不一致連續。其他函數均為一致連續，因為它們在[0,1]上連續且區間有界。6.設E為度量空間(X,d)中的緊集，A為E的子集，若對任意x∈E，存在x的鄰域U使得U∩A≠?，則稱A是E中的稠密集。下列集合中，在[0,1]中不是[0,1]稠密集的是（）A.[0,1]B.(0,1)C.{1/n|n∈N}D.Q∩[0,1]解析：稠密集要求每個點都是極限點或屬于集合。對于[0,1]，顯然稠密；對于(0,1)，不包含0和1，不稠密；對于{1/n}，不包含0，不稠密；對于Q∩[0,1]，不包含無理數，不稠密。7.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，則稱f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為1。下列函數中，在[0,1]上不滿足H?lder條件的是（）A.f(x)=xB.f(x)=x^2C.f(x)=ln(1+x)D.f(x)=sin(x)解析：H?lder條件要求Lipschitz條件的指數大于0。對于x^2，其導數|2x|在[0,1]上最大為2，不滿足|x^2-x2|≤C|x1-x2|，因為當x1≠x2時|2x|可能大于1；其他函數均滿足，因為它們的導數在[0,1]上有界。8.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，若對任意x1,x2∈A，總有d(x1,x2)→0當{xn}?A且xn→x1,xm→x2時，則稱A是E中的完全子集。下列集合中，在R中不是[0,1]完全子集的是（）A.[0,1]B.(0,1)C.{1/n|n∈N}∪[0,1]D.Q∩[0,1]解析：完全子集要求每個Cauchy序列都有極限在集合中。對于[0,1]，顯然是自身完全；對于(0,1)，開區間中的Cauchy序列可能收斂到0或1而不在(0,1)中；對于{1/n}∪[0,1]，1/n序列收斂到0在集合中；而Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中。9.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。下列函數中，在[0,1]上不一致連續的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0）C.f(x)=e^xD.f(x)=|x|解析：一致連續要求存在與x無關的δ。對于sin(1/x)，當x→0時，1/x→∞導致sin(1/x)震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ，因此不一致連續。其他函數均為一致連續，因為它們在[0,1]上連續且區間有界。10.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，若對任意x∈A，存在x的鄰域U使得U∩E=?，則稱A相對于E是可數分離的。下列集合中，相對于閉集[0,1]在R中不可數分離的是（）A.(0,1)B.Q∩[0,1]C.[0,1]D.{0,1}解析：可數分離要求存在開集覆蓋使得每個點都至少屬于一個開集與E不交。對于(0,1)，可取開集(0,1/2)∪(1/2,1)與[0,1]不交；對于Q∩[0,1]，可取每個有理數對應的鄰域與[0,1]不交；對于{0,1}，可取開集(-1,0)∪(1,2)與[0,1]不交；而[0,1]本身無法相對于[0,1]可數分離，因為任何開集覆蓋都必須包含[0,1]中的點。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。若f(x)=x^2，則f在[0,1]上滿足一致連續的δ=______。參考答案：√ε解析：對于f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此δ=√ε/2。2.設E為度量空間(X,d)中的緊集，A為E的子集，若對任意x∈E，存在x的鄰域U使得U∩A≠?，則稱A是E中的稠密集。若A=Q∩[0,1]，則A在[0,1]中______稠密集。參考答案：不解析：因為[0,1]中的無理數點沒有有理數鄰域包含在A中，所以A不是[0,1]的稠密集。3.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，則稱f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為α。若f(x)=x^3，則f在[0,1]上滿足H?lder條件的α=______。參考答案：3/2解析：f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大為3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=3/2。4.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，若對任意x1,x2∈A，總有d(x1,x2)→0當{xn}?A且xn→x1,xm→x2時，則稱A是E中的完全子集。若A={1/n|n∈N}∪[0,1]，則A在[0,1]中______完全子集。參考答案：是解析：因為1/n序列收斂到0在集合中，且[0,1]本身是完備集，所以A是[0,1]完全子集。5.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。若f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0），則f在[0,1]上______一致連續。參考答案：不解析：當x→0時，1/x→∞導致sin(1/x)震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ。6.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，若對任意x∈A，存在x的鄰域U使得U∩E=?，則稱A相對于E是可數分離的。若A=(0,1)，則A相對于[0,1]在R中______可數分離。參考答案：是解析：可取開集(0,1/2)∪(1/2,1)與[0,1]不交。7.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，則稱f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為α。若f(x)=ln(1+x)，則f在[0,1]上滿足H?lder條件的α=______。參考答案：1解析：f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大為1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=1。8.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，若對任意x1,x2∈A，總有d(x1,x2)→0當{xn}?A且xn→x1,xm→x2時，則稱A是E中的完全子集。若A=Q∩[0,1]，則A在[0,1]中______完全子集。參考答案：不解析：因為Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中。9.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。若f(x)=e^x，則f在[0,1]上______一致連續。參考答案：是解析：f'(x)=e^x，在[0,1]上最大為e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，滿足一致連續。10.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，若對任意x∈A，存在x的鄰域U使得U∩E=?，則稱A相對于E是可數分離的。若A={0,1}，則A相對于[0,1]在R中______可數分離。參考答案：是解析：可取開集(-1,0)∪(1,2)與[0,1]不交。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。若f(x)=x^2，則f在[0,1]上一致連續。（）參考答案：正確解析：對于f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此f在[0,1]上一致連續。2.設E為度量空間(X,d)中的緊集，A為E的子集，若對任意x∈E，存在x的鄰域U使得U∩A≠?，則稱A是E中的稠密集。若A=Q∩[0,1]，則A在[0,1]中稠密集。（）參考答案：錯誤解析：因為[0,1]中的無理數點沒有有理數鄰域包含在A中，所以A不是[0,1]的稠密集。3.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，則稱f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為α。若f(x)=x^3，則f在[0,1]上滿足H?lder條件的α=3/2。（）參考答案：正確解析：f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大為3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=3/2。4.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，若對任意x1,x2∈A，總有d(x1,x2)→0當{xn}?A且xn→x1,xm→x2時，則稱A是E中的完全子集。若A={1/n|n∈N}∪[0,1]，則A在[0,1]中完全子集。（）參考答案：正確解析：因為1/n序列收斂到0在集合中，且[0,1]本身是完備集，所以A是[0,1]完全子集。5.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。若f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0），則f在[0,1]上一致連續。（）參考答案：錯誤解析：當x→0時，1/x→∞導致sin(1/x)震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ。6.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，若對任意x∈A，存在x的鄰域U使得U∩E=?，則稱A相對于E是可數分離的。若A=(0,1)，則A相對于[0,1]在R中可數分離。（）參考答案：正確解析：可取開集(0,1/2)∪(1/2,1)與[0,1]不交。7.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，則稱f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為α。若f(x)=ln(1+x)，則f在[0,1]上滿足H?lder條件的α=1。（）參考答案：正確解析：f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大為1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=1。8.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，若對任意x1,x2∈A，總有d(x1,x2)→0當{xn}?A且xn→x1,xm→x2時，則稱A是E中的完全子集。若A=Q∩[0,1]，則A在[0,1]中完全子集。（）參考答案：錯誤解析：因為Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中。9.設f:[0,1]→R為連續函數，若對任意ε>0，存在δ>0使得當x1-x2<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f在[0,1]上一致連續。若f(x)=e^x，則f在[0,1]上一致連續。（）參考答案：正確解析：f'(x)=e^x，在[0,1]上最大為e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，滿足一致連續。10.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，若對任意x∈A，存在x的鄰域U使得U∩E=?，則稱A相對于E是可數分離的。若A={0,1}，則A相對于[0,1]在R中可數分離。（）參考答案：正確解析：可取開集(-1,0)∪(1,2)與[0,1]不交。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.請解釋什么是度量空間中的緊集，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的緊集是指既完備又連通的子集。例如，閉區間[0,1]在R中是緊集，因為它是完備的（所有Cauchy序列收斂）且連通的（無法分解為兩個非空開集的并）。2.請解釋什么是度量空間中的稠密集，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的稠密集是指其閉包等于整個空間X的子集。例如，有理數集Q在R中是稠密的，因為每個實數點都是Q中點的極限點。3.請解釋什么是度量空間中的完全子集，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的完全子集是指其所有Cauchy序列的極限仍在集合中的子集。例如，閉區間[0,1]在R中是完全子集，因為所有Cauchy序列都收斂到[0,1]中的點。4.請解釋什么是度量空間中的可數分離集，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的可數分離集是指存在可數開集覆蓋，每個點都至少屬于一個開集與給定閉集不交的子集。例如，開區間(0,1)相對于閉集[0,1]在R中是可數分離的。5.請解釋什么是度量空間中的H?lder連續，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的H?lder連續是指存在常數C和α(0<α≤1)使得|f(x1)-f(x2)|≤C|d(x1,x2)|^α對所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=x^2在[0,1]上滿足H?lder連續，α=1/2。6.請解釋什么是度量空間中的Lipschitz連續，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的Lipschitz連續是指存在常數L使得|f(x1)-f(x2)|≤L|d(x1,x2)|對所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=2x在R上滿足Lipschitz連續，L=2。7.請解釋什么是度量空間中的完備集，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的完備集是指其所有Cauchy序列的極限仍在集合中的子集。例如，實數集R在R中是完備的，因為所有Cauchy序列都收斂到R中的點。8.請解釋什么是度量空間中的連通集，并舉例說明。解析：度量空間(X,d)中的連通集是指無法分解為兩個非空開集的并的子集。例如，閉區間[0,1]在R中是連通的，因為無法將其分解為兩個非空開集的并。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.設f:[0,1]→R為連續函數，且滿足f(0)=f(1)，證明f在[0,1]上存在不動點。證明：構造g(x)=f(x)-x，則g(0)=f(0)-0=f(0)>0，g(1)=f(1)-1=f(0)-1<0，由連續性知存在c∈(0,1)使g(c)=0即f(c)=c，這表明f在[0,1]上存在不動點。2.設E為度量空間(X,d)中的緊集，A為E的子集，證明若A是E中的稠密集，則A也是E中的完全子集。證明：因為E是緊集，所以E是完備的。對于A中的任意Cauchy序列{an}，由于A是稠密的，{an}的極限點也在E中，而E是完備的，所以{an}的極限也在E中，因此A是完備的。3.設f:[0,1]→R為連續函數，證明若f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為α(0<α≤1)，則f在[0,1]上一致連續。證明：由H?lder條件知|f(x1)-f(x2)|≤C|d(x1,x2)|^α，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|d(x1,x2)|<ε^(1/α)/C，因此f在[0,1]上一致連續。4.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，證明若A相對于E是可數分離的，則A也是E中的稠密集。證明：對于E中任意點x，存在x的鄰域U使得U∩A≠?，因此A是E中的稠密集。5.設f:[0,1]→R為連續函數，證明若f在[0,1]上滿足Lipschitz條件，則f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為1。證明：由Lipschitz條件知|f(x1)-f(x2)|≤L|d(x1,x2)|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|d(x1,x2)|<ε/L，因此f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為1。6.設E為度量空間(X,d)中的完備集，A為E的子集，證明若A是E中的完全子集，則A也是E中的稠密集。證明：對于E中任意點x，存在x的鄰域U使得U∩A≠?，因此A是E中的稠密集。7.設f:[0,1]→R為連續函數，證明若f在[0,1]上滿足一致連續，則f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為1。證明：由一致連續知存在δ>0使得當|d(x1,x2)|<δ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，要使|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，只需|x1-x2|<δ，因此f在[0,1]上滿足H?lder條件，指數為1。8.設E為度量空間(X,d)中的閉集，A為X中的任一子集，證明若A相對于E是可數分離的，則A也是E中的稠密集。證明：對于E中任意點x，存在x的鄰域U使得U∩A≠?，因此A是E中的稠密集。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.B2.C3.C4.B5.B6.B7.B8.B9.B10.B解析：2.f(x)=√x在(0,1)上導數無界，不滿足Lipschitz條件；ln(1+x)在(0,1)上導數有界；x^2在(0,1)上導數有界；sin(x^2)在(0,1)上導數無界。3.Q∩[0,1]相對于[0,1]不可數分離，因為無理數點沒有有理數鄰域包含在Q中。4.f(x)=x^2在(0,1)上導數最大為2，不滿足H?lder條件；其他函數均滿足。5.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中，因此不是完全子集。6.sin(1/x)在x→0時震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ。7.(0,1)不包含0和1，不稠密。8.x^2在x1≠x2時|2x|可能大于1，不滿足H?lder條件。9.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中，因此不是完全子集。10.sin(1/x)在x→0時震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ。11.[0,1]本身無法相對于[0,1]可數分離，因為任何開集覆蓋都必須包含[0,1]中的點。二、填空題1.√ε12.不13.3/214.是15.不16.是17.118.不19.是20.是解析：2.f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此δ=√ε/2。3.Q∩[0,1]不稠密，因為無理數點沒有有理數鄰域包含在Q中。4.f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大為3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=3/2。5.1/n序列收斂到0在集合中，且[0,1]本身是完備集，所以A是[0,1]完全子集。6.sin(1/x)在x→0時震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ。7.可取開集(0,1/2)∪(1/2,1)與[0,1]不交。8.f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大為1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=1。9.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中，因此不是完全子集。10.f'(x)=e^x，在[0,1]上最大為e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，滿足一致連續。11.可取開集(-1,0)∪(1,2)與[0,1]不交。三、判斷題1.正確22.錯誤23.正確24.正確25.錯誤26.正確27.正確28.錯誤29.正確30.正確解析：2.f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此f在[0,1]上一致連續。3.Q∩[0,1]不稠密，因為無理數點沒有有理數鄰域包含在Q中。4.f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大為3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=3/2。5.1/n序列收斂到0在集合中，且[0,1]本身是完備集，所以A是[0,1]完全子集。6.sin(1/x)在x→0時震蕩加劇，無法找到對任意ε>0都適用的δ。7.可取開集(0,1/2)∪(1/2,1)與[0,1]不交。8.f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大為1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，滿足H?lder條件，α=1。9.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收斂到無理數而不在Q中，因此不是完全子集。10.f'(x)=e^x，在[0,1]上最大為e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，滿足一致連續。11.可取開集(-1,0)∪(1,2)與[0,1]不交。四、簡答題1.度量空間(X,d)中的緊集是指既完備又連通的子集。例如，閉區間[0,1]在R中是緊集，因為它是完備的（所有Cauchy序列收斂）且連通的（無法分解為兩個非空開集的并）。2.度量空間(X,d)中的稠密集是指其閉包等于整個空間X的子集。例如，有理數集Q在R中是稠密的，因為每個實數點都是Q中點的極限點。3.度量空間(X,d)中的完全子集是指其所有Cauchy序列的極限仍在集合中的子集。例如，閉區間[0,1]在R中是完全子集，因為所有Cauchy序列都收斂到[0,1]中的點。4.度量空間(X,d)中的可數分離集是指存在可數開集覆蓋，每個點都至少屬于一個開集與給定閉集不交的子集。例如，開區間(0,1)相對于閉集[0,1]在R中是可數分離的。5.度量空間(X,d)中的H?lder連續是指存在常數C和α(0<α≤1)使得|f(x1)-f(x2)|≤C|d(x1,x2)|^α對所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=x^2在[0,1]上滿足H?lder連續，α=1/2。6.度量空間(X,d)中的Lipschitz連續是指存在常數L使得|f(x1)-f(x2)|≤L|d(x1,x2)|對所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=2x在R上滿足Lipschitz