2026年小升初數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：第八章立體圖形問題典例精講

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第八章

立體圖形問題知識(shí)概述小學(xué)階段學(xué)過的規(guī)則立體圖形有正方體、長方體、圓柱、圓錐和球，通過組合、拼接等方式處理這些規(guī)則的立體圖形又能得到很多不規(guī)則的立體圖形。由這些立體圖形衍生出來的問題主要包括求它們的表面積、體積，或者已知表面積、體積等其他條件，求解長、寬、高或者半徑和高等未知量。要想解決好立體圖形問題，首先要掌握好各種立體圖形的表面積和體積計(jì)算公式，理解它們所表示的含義。其次要有良好的空間想象能力，能想象出各種圖形是如何組成一個(gè)復(fù)雜圖形的，可以想象出這些立體圖形的展開圖，知道它們從不同的方向看去分別是什么形狀。最后要有聯(lián)系實(shí)際生活的意識(shí)，將自己所學(xué)的知識(shí)和實(shí)際相結(jié)合，才能更好地理解這些問題，感受生活中的數(shù)學(xué)之美。典例精講1．有一個(gè)長方形鐵皮，長40厘米，寬30厘米，在它的四角各剪去一個(gè)邊長為5厘米的正方形，做成一個(gè)無蓋的長方體鐵盒，求這個(gè)鐵盒的容積。（鐵皮的厚度忽略不計(jì)）【同步精練】2．現(xiàn)有一塊長方形鐵皮，長為26厘米，在四個(gè)角上剪去邊長為3厘米的正方形，將它焊接成容積為840立方厘米的無蓋容器，這塊鐵皮原來的寬是多少厘米？3．有一個(gè)圓柱體的零件，高12厘米，底面直徑是8厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的直孔，如圖：圓孔的直徑是6厘米，孔深7厘米。如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？【同步精練】4．有一個(gè)棱長為40厘米的正方體零件，它的上、下兩個(gè)面的正中間各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。試求這個(gè)零件的表面積。5．有一個(gè)糧囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體。圓柱底面周長是12.56米，高4米；圓錐高3米。求這個(gè)糧囤的體積?！就骄殹?．如圖所示的一個(gè)零件，右邊是高為10厘米，底面半徑為2厘米的圓柱，左邊是一個(gè)圓錐，它的高是2厘米，求這個(gè)零件的體積。（結(jié)果保留兩位小數(shù)）7．把一個(gè)圓柱體沿著底面直徑豎直切成兩部分，已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的表面積大2020平方厘米，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是多少平方厘米？（π取3.14）【同步精練】8．把一個(gè)底面直徑是6厘米的圓柱，沿底面直徑和高切開（如下圖），表面積增加48平方厘米，原來圓柱的體積是多少立方厘米？答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《第八章立體圖形問題典例精講》參考答案：1．3000立方厘米【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】體積相關(guān)問題【分析】根據(jù)題意，將長方形鐵皮四角各剪去一個(gè)邊長為5厘米的正方形后，折疊成的無蓋長方體鐵盒的長等于原鐵皮的長減去2個(gè)剪去的正方形邊長，寬等于原鐵皮的寬減去2個(gè)剪去的正方形邊長，高等于剪去的正方形邊長。利用長方體的體積公式“體積＝長×寬×高”列式計(jì)算即可。因?yàn)殍F皮的厚度忽略不計(jì)，所以體積就等于容積。【詳解】（40－5×2）×（30－5×2）×5＝（40－10）×（30－10）×5＝30×20×5＝600×5＝3000（立方厘米）答：這個(gè)鐵盒的容積是3000立方厘米。2．20厘米【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】體積相關(guān)問題【分析】將長方形鐵皮四個(gè)角剪去正方形后焊接成無蓋容器，容器的高等于剪去的正方形邊長，容器的長和寬分別等于原鐵皮的長和寬減去兩個(gè)正方形邊長。已知容器的容積、高和原鐵皮的長，可根據(jù)“容積＝長×寬×高”先求出容器的寬，再加上兩個(gè)正方形邊長即可求出原鐵皮的寬。【詳解】容器的長：26－3×2＝20（厘米）容器的寬：840÷3÷20＝14（厘米）鐵皮原來的寬：14＋3×2＝20（厘米）答：這塊鐵皮原來的寬是20厘米。3．533.8平方厘米【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的側(cè)面積、圓柱的表面積、組合體的表面積（圓柱）【分析】這個(gè)零件接觸空氣部分，我們既要注意圓柱體的外表面積，又要注意圓孔內(nèi)的表面積，同時(shí)還要注意零件的底面是圓環(huán)。由于打孔的深度與柱體的長度不相同，所以在孔內(nèi)還要有一個(gè)小圓的底面要涂上油漆，這一點(diǎn)不能忽略。但是，我們可以把小圓的底面與圓環(huán)拼成一個(gè)圓，這就成了原圓柱的底面。所以，這個(gè)零件接觸空氣的面積即涂漆面積＝高12厘米，底面直徑是8厘米的圓柱的表面積＋直徑是6厘米，高為7厘米的圓柱的側(cè)面積。圓柱的表面積＝底面積×2＋側(cè)面積，側(cè)面積＝底面周長×高。圓的面積（底面積）＝π×半徑2，據(jù)此代入數(shù)據(jù)計(jì)算。【詳解】＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7＝3.14×16×2＋301.44＋131.88＝100.48＋301.44＋131.88＝401.92＋131.88＝533.8（平方厘米）答：一共需涂533.8平方厘米。4．9862.08平方厘米【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】組合體的表面積【分析】40＞10＋10，所以兩個(gè)圓孔沒有相連；如圖：運(yùn)用正方體的表面積減去兩個(gè)圓的面積再加上兩個(gè)圓柱的側(cè)面積，就是這個(gè)機(jī)器零件的表面積?！驹斀狻窟@個(gè)機(jī)器零件的表面積：40×40×6﹣3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×10×2＝9600﹣25.12＋251.2＝9826.08（平方厘米）答：剩下機(jī)器零件的表面積9862.08平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了正方體圓柱體的體積公式及它們的表面積及側(cè)面積公式?？疾榱藢W(xué)生的空間想象及思維能力。5．62.8立方米【難度】0.7【知識(shí)點(diǎn)】體積相關(guān)問題、圓錐和圓柱【分析】根據(jù)“圓的周長＝π×直徑”得“直徑＝圓的周長÷π”。用直徑除以2求出圓的半徑。再用圓的面積公式S＝πr2求出圓柱體的底面積，這個(gè)面積也是圓錐體的底面積。然后再用圓柱的體積公式V＝Sh和圓錐的體積公式V＝Sh分別求出圓柱體和圓錐體的體積并相加即可?！驹斀狻康酌嬷睆剑?2.56÷3.14＝4（米）底面半徑：4÷2＝2（米）底面積：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）圓柱體的體積：12.56×4＝50.24（立方米）圓錐體的體積：×12.56×3＝12.56（立方米）50.24＋12.56＝62.8（立方米）答：這個(gè)糧囤的體積是62.8立方米。6．133.97立方厘米【難度】0.75【知識(shí)點(diǎn)】體積相關(guān)問題、圓錐和圓柱【分析】先用圓的面積公式S＝πr2求出圓柱的底面積，這個(gè)面積也是圓錐的底面積。然后再用圓柱的體積公式V＝Sh和圓錐的體積公式V＝Sh分別求出圓柱和圓錐的體積并相加即可。【詳解】底面積：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）圓柱體積：12.56×10＝125.6（立方厘米）圓錐體積：×12.56×2≈8.37（立方厘米）125.6＋8.37＝133.97（立方厘米）答：這個(gè)零件的體積是133.97立方厘米。7．3171.4平方厘米【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】表面積相關(guān)問題、圓錐和圓柱【分析】圓柱體沿著底面直徑豎直切成兩部分后，增加了兩個(gè)以底面直徑為長，圓柱的高為寬的長方形的面積，設(shè)底面直徑為d，圓柱高為h。分別將增加的長方形的面積和圓柱體的側(cè)面積用d和h表示出來，并求出它們的比值，再用一個(gè)增加的長方形的面積除以比值就是圓柱體的側(cè)面積。【詳解】設(shè)底面直徑為d，圓柱高為h。則底面周長為：πd圓柱體的側(cè)面積為：πdh增加的1個(gè)長方形的面積為：dh1個(gè)增加的長方形面積∶圓柱體的側(cè)面積＝dh∶πdh＝1∶3.14＝1個(gè)增加的長方形的實(shí)際面積為：2020÷2＝1010（平方厘米）圓柱體的側(cè)面積＝1010÷＝1010×3.14＝3171.4（平方厘米）答：這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是3171.4平方厘米。8．113.04立方厘米【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】體積相關(guān)問題、圓錐和圓柱【分析】要求圓柱的體積，已知底面半徑為6÷2＝3厘米，還需要求得圓柱的高；根據(jù)題干把一個(gè)圓柱沿底面直徑切開，分成兩個(gè)相等的半