《結構動力學 》單自由度體系的振動

結構動力學單自由度體系的振動Contents課程目錄結構動力學——單自由度體系的振動01結構動力學基礎概念02無阻尼自由振動03有阻尼自由振動04振動特性的工程應用05線性振動系統特征Chapter01結構動力學基礎概念從振動現象到動力學分析的基本框架INTRODUCTION結構動力學的定義與研究對象結構動力學研究結構在動力荷載下的響應規律，與靜力分析的核心區別在于需考慮慣性力和阻尼力，為抗震抗風設計提供依據。研究對象研究結構在動力荷載（地震、風振、機械振動、爆炸等）作用下的振動響應規律振動響應本質區別與靜力分析不同，動力荷載隨時間變化，結構產生加速度，必須考慮慣性力與阻尼力慣性力+阻尼力核心目標預測結構在動力作用下的位移、速度、加速度和內力響應，為抗震抗風設計提供依據響應預測應用領域涵蓋土木工程、機械工程、航空航天、車輛工程等多個工程學科的振動控制與安全性評估多學科交叉STRUCTURALDYNAMICS振動的基本分類振動可按激勵來源和系統特性兩個維度進行分類。按激勵來源分為自由振動、受迫振動和自激振動；按系統特性分為線性與非線性、有阻尼與無阻尼。按激勵來源分類自由振動：結構受初始擾動后不再受外力作用，反映結構的固有動力特性，是分析結構動力響應的基礎受迫振動：結構在持續外部動力荷載作用下的響應，如地震作用下的建筑振動、機械設備運轉引起的振動自激振動：由系統自身能量反饋維持的周期性振動，如橋梁風致顫振、輸電線覆冰舞動等現象按系統特性分類線性振動：彈性力服從胡克定律、阻尼力與速度成正比，適用疊加原理，可用模態分析法求解非線性振動：恢復力或阻尼力呈現非線性特征，如大變形、材料屈服等情況，需要特殊方法求解有阻尼與無阻尼：阻尼消耗能量使振幅逐漸衰減；無阻尼為理想化模型，實際結構均存在阻尼STRUCTURALDYNAMICS單自由度體系的概念與意義單自由度體系是僅需一個獨立坐標即可完全描述運動狀態的最簡振動模型。雖然形式簡單，但它包含了振動分析的所有核心概念，是理解多自由度體系和連續體振動的理論基礎，也是工程實際中復雜結構簡化分析的重要工具。彈簧-質量-阻尼器系統實驗裝置01自由度定義：完全描述體系運動狀態所需的獨立坐標數目，單自由度僅需一個位移坐標DOF=102典型模型：彈簧-質量-阻尼器系統，將實際結構的質量、剛度和阻尼集中為三個理想化參數m·k·c03教學意義：包含自振頻率、阻尼比、振型等所有核心振動概念，是多自由度分析的理論起點核心概念04工程應用：許多實際結構可簡化為單自由度模型進行初步分析，如水塔、煙囪等高聳結構高聳結構CHAPTER02無阻尼自由振動探索結構固有動力特性的理想化分析STRUCTURALDYNAMICS·SDOFSYSTEM自由振動的定義與擾動形式自由振動是結構受初始擾動離開平衡位置后不再受外力作用的振動過程，反映結構的固有動力特性。擾動可通過初始位移或初始速度兩種方式施加，實際工程中的地震余振、風停后晃動等現象均可近似為自由振動進行分析。自由振動定義結構受擾動離開平衡位置后，不再受任何外力影響的振動過程，其振動特性完全由結構自身的剛度與質量分布決定。固有特性初始位移擾動施加初始變形后釋放，如拉伸彈簧后松手使其自由振動。初始位移決定了振動的起始幅值與相位特征。變形釋放初始速度擾動施加初始速度使其運動，如沖擊荷載給予結構瞬時速度。常見于碰撞、爆炸等瞬態荷載作用后的振動響應。瞬時速度工程實例地震余振、風停后高層建筑晃動、機械停機后慣性振動。這些現象均可通過自由振動理論進行簡化分析與安全評估。余振晃動EquationDerivation無阻尼自由振動運動方程推導無阻尼自由振動運動方程基于牛頓第二定律推導，慣性力與彈簧恢復力平衡形成二階常系數齊次微分方程。方程中阻尼系數c=0、外部激勵p(t)=0，僅由質量m和剛度k兩個參數決定振動特性，是結構動力學最基礎的數學模型。01基本假設體系無阻尼（c=0）、無外部激勵（p(t)=0），僅考慮質量慣性力與彈簧恢復力。該假設簡化了實際振動系統的復雜性，聚焦于質量與剛度這兩個核心參數對振動行為的影響。理想化模型假設02牛頓第二定律應用質量塊受力平衡，慣性力m·ü(t)與彈性恢復力k·u(t)大小相等方向相反。根據達朗貝爾原理，將動力問題轉化為靜力平衡問題處理。力平衡原理03運動方程m·ü(t)+k·u(t)=0，二階常系數齊次線性微分方程的標準形式m·ü+k·u=0標準微分方程04初始條件需要給定初始位移u(0)和初始速度u?(0)才能確定方程的唯一解。不同的初始條件對應不同的振動響應，但系統的固有頻率保持不變。u(0),u?(0)定解條件EIGENVALUEANALYSIS運動方程的特征方程與求解通過設解為指數函數形式，可將微分方程轉化為代數特征方程求解。特征方程的根為純虛數，揭示振動的本質是周期性往復運動。01設解形式假設u(t)=A·est，其中s為待定系數、A為常數，代入運動方程化簡02特征方程代入后得到ms2+k=0，即s2=?k/m，關于s的一元二次方程03求解虛根s=±i·√(k/m)，兩個共軛虛根表明解具有振蕩特性而非指數衰減或增長04自振圓頻率定義令ωn=√(k/m)，單位rad/s，完全由結構的質量m和剛度k決定推導路徑運動方程m·ü(t)+k·u(t)=0代入u=Aestms2+k=0特征根s=±i·√(k/m)自振圓頻率ωn=√(k/m)rad/s·結構固有屬性SolutionForm運動方程的通解形式利用歐拉公式將指數形式的解轉換為三角函數形式，得到u(t)=A·cos(ωn·t)+B·sin(ωn·t)的通解表達式。三角函數形式直觀揭示了振動的簡諧本質，待定常數A和B由初始條件確定，完整描述了結構自由振動的時程響應規律。01歐拉公式轉換：eiθ=cosθ+i·sinθ，將復指數形式的解轉換為實數三角函數形式eiθ02通解表達式：u(t)=A·cos(ωn·t)+B·sin(ωn·t)，是余弦與正弦函數的線性組合u(t)03待定常數確定：A和B由初始條件u(0)和u?(0)確定，代入t=0時刻求解方程組t=004物理意義：通解表示結構以自振圓頻率ωn做簡諧運動，振幅和相位由初始狀態決定ωnSINGLE-DOFVIBRATION·PARTICULARSOLUTION初始條件確定與特解表達通過代入初始位移和初始速度條件，確定通解中的待定常數，得到滿足特定初始狀態的完整解。特解表明振動響應是初始位移貢獻和初始速度貢獻的線性疊加，體現了線性系統的基本特征。01代入初始位移—t=0時u(0)=A·cos(0)+B·sin(0)=A，故A=u(0)（初始位移）A=u?02代入初始速度—對u(t)求導得u?(t)=?A·ωn·sin(ωn·t)+B·ωn·cos(ωn·t)，t=0時B=u?(0)/ωnB=v?/ωn03完整特解—u(t)=u(0)·cos(ωn·t)+[u?(0)/ωn]·sin(ωn·t)，由初始狀態完全確定完整解04響應疊加原理—總響應=初始位移引起的響應+初始速度引起的響應，體現線性系統疊加特性線性疊加HARMONICMOTION簡諧運動的特征與表達無阻尼自由振動的解為簡諧運動，其位移隨時間按正弦規律變化，振幅恒定且具有完美周期性。簡諧運動是最基本的振動形式，具有確定的頻率、振幅和相位三要素，所有復雜振動均可通過傅里葉分析分解為多個簡諧運動的疊加。簡諧運動定義：物體在恢復力作用下按正弦或余弦規律在平衡位置附近做往復運動數學表達：u(t)=C·sin(ωn·t+φ)，其中C為振幅、ωn為角頻率、φ為初相位運動特征：振幅恒定不衰減、周期嚴格相等、速度與加速度也呈簡諧變化且相位依次超前90°傅里葉分解：任何復雜周期性振動都可以分解為一系列不同頻率簡諧運動的疊加簡諧運動的正弦波形特征FreeVibrationParameters自振頻率與自振周期自振頻率和自振周期是結構最重要的固有動力特性參數，僅由質量和剛度決定，與外部激勵無關。三個關鍵參數ωn=√(k/m)自振圓頻率，單位rad/s，表示每秒振動的弧度數fn=ωn/(2π)自振頻率，單位Hz，表示每秒完成的振動次數Tn=2π·√(m/k)自振周期，單位s，表示完成一次完整振動的時間參數的物理意義Stiffness&Mass剛度與質量的反比關系剛度k增大則頻率升高、周期縮短；質量m增大則頻率降低、周期延長。這一規律是結構動力分析的基礎，指導工程師通過調整截面尺寸或材料來改變動力響應特性。IntrinsicProperty結構的固有指紋自振頻率是結構的固有屬性，如同人的指紋，每個結構都有其特定的頻率特征。這一特性不隨外部荷載變化而改變，是識別結構健康狀態的重要標志。Engineering工程調諧與周期避讓工程中常通過調整剛度或質量來改變結構自振周期，使其避開場地或荷載的卓越周期，從而避免共振現象的發生，確保結構在動力作用下的安全性與舒適性。STRUCTURALDYNAMICS自振頻率的影響因素分析自振頻率與剛度的平方根成正比、與質量的平方根成反比，這一定量關系為結構動力設計提供了明確的調控方向。工程中可通過增加或減少剛度、調整質量分布來優化結構自振特性，使其避開外部激勵的危險頻率區間，實現振動控制目標。01剛度影響：ωn∝√k，剛度增大n倍則頻率增大√n倍，結構變剛則振動加快02質量影響：ωn∝1/√m，質量增大n倍則頻率降低為原來的1/√n，結構變重則振動變慢03設計應用：高層建筑通過設置調諧質量阻尼器增加有效質量，降低自振頻率以減小風振響應04隔震設計：在基礎設置隔震支座降低結構整體剛度，延長自振周期以避開地震波卓越頻率典型結構自振周期參考值結構高度和跨度越大，自振周期越長，頻率越低Chapter03有阻尼自由振動引入能量耗散機制的真實振動分析Damping·SDOFSystem阻尼的概念與運動方程阻尼是消耗振動能量使振幅衰減的物理機制，采用粘性阻尼假設，阻尼力與速度成正比，形成更貼近實際的二階齊次微分方程。工程中的阻尼器現代建筑中廣泛采用粘滯阻尼器、金屬阻尼器等裝置，通過耗散地震或風振能量來保護主體結構安全。粘滯阻尼器：液體剪切耗能金屬阻尼器：塑性變形耗能摩擦阻尼器：界面滑移耗能01阻尼定義振動過程中消耗系統能量的機制，使振動幅值隨時間逐漸衰減直至停止。02阻尼來源材料內部摩擦（滯回阻尼）、構件連接處摩擦、周圍流體介質阻力等多種機制。03粘性阻尼假設阻尼力Fd=c·u?(t)，與速度成正比，c為粘性阻尼系數，便于數學處理。04運動方程m·ü(t)+c·u?(t)+k·u(t)=0，比無阻尼方程多一項阻尼力c·u?(t)。CharacteristicEquation有阻尼運動方程的特征方程有阻尼運動方程的特征方程為ms2+cs+k=0，根的性質由判別式c2-4mk決定。判別式的符號決定了系統是振蕩衰減、臨界衰減還是過阻尼衰減，揭示了阻尼大小對振動形態的根本影響，引出臨界阻尼的重要概念。01設解代入：令u(t)=e^(st)代入運動方程，得到特征方程ms2+cs+k=002求根公式：s=[-c±√(c2-4mk)]/(2m)，根的性質取決于判別式Δ=c2-4mk03三種情況：Δ>0兩個不等實根（非振蕩）；Δ=0重根（臨界狀態）；Δ<0共軛復根（振蕩衰減）04物理對應：實根對應非振蕩的緩慢回復，復根對應有振蕩的衰減振動，重根對應臨界阻尼狀態Chapter03·Damping臨界阻尼的定義與計算臨界阻尼是使體系不發生往復振動所需的最小阻尼值，記為ccr=2√(mk)=2mωn。臨界阻尼完全由結構的質量和剛度決定，是系統的固有常數。它是衡量實際阻尼大小的參考基準，由此引出的阻尼比概念成為描述系統阻尼特性的標準化參數。01臨界條件：令判別式c2?4mk=0，解得臨界阻尼ccr=2√(mk)=2m·ωn02物理意義：體系自由振動反應中不出現往復振動所需的最小阻尼值03固有屬性：臨界阻尼ccr完全由結構剛度k和質量m決定，與實際阻尼c的大小無關04運動特征：臨界阻尼下系統以最快速度無振蕩地回到平衡位置，位移單調衰減至零STRUCTURALDYNAMICS·SDOFSYSTEMS阻尼比的定義與體系分類阻尼比ζ=c/ccr是描述系統阻尼特性的無量綱參數，根據ζ的大小將體系分為低阻尼、臨界阻尼和過阻尼三類，工程中絕大多數結構屬于低阻尼體系。阻尼比定義阻尼比定義：ζ=c/ccr=c/(2mωn)，無量綱參數，表示實際阻尼與臨界阻尼的比值標準化優勢：用阻尼比描述阻尼程度比絕對阻尼值更直觀，便于不同結構間的比較特征方程：s2+2ζωn·s+ωn2=0，根為s=(?ζ±√(ζ2?1))·ωn三類體系低阻尼（ζ<1）：產生往復振蕩，振幅指數衰減，工程中常見的振動形態臨界阻尼（ζ=1）：最快無振蕩回復，特征方程有重根，是振蕩與非振蕩的分界過阻尼（ζ>1）：無振蕩緩慢回復，兩個不等實根，回復速度反而比臨界阻尼慢DampedFreeVibration低阻尼體系的振動解低阻尼體系(ζ<1)的自由振動解為衰減振蕩形式，由指數衰減項和簡諧振蕩項的乘積構成。定義有阻尼自振頻率ωD=ωn·√(1?ζ2)，振動響應表現為振幅按指數規律衰減的準簡諧運動。有阻尼頻率ωD=ωn·√(1?ζ2)，由于ζ<1，故ωD<ωn，阻尼使振動頻率略微降低ωD<ωn解的形式u(t)=e?ζωn·t·[A·cos(ωD·t)+B·sin(ωD·t)]，指數衰減乘以簡諧振蕩e??×sin衰減因子e?ζωn·t控制振幅衰減速度，ζ和ωn越大衰減越快ζ↑→衰減↑初始條件確定代入u(0)和u?(0)求解系數A和B，得到滿足特定初始狀態的完整解A,BSTRUCTURALDYNAMICS阻尼對自振頻率和周期的影響阻尼使自振頻率略微降低、周期略微延長，但在工程常見阻尼比范圍(1%-5%)內影響極小。當ζ=5%時頻率僅降低0.13%，當ζ=20%時頻率降低2%。因此工程計算中常用無阻尼結果近似代替有阻尼結果，既簡化計算又保證精度。不同阻尼比下的頻率比值ωD/ωn數據來源：結構動力學理論推導01頻率關系：ωD=ωn·√(1-ζ2)，阻尼使頻率降低，但降低幅度隨ζ增大而非線性增加ωD=ωn√(1-ζ2)02周期關系：TD=Tn/√(1-ζ2)，阻尼使周期延長，當ζ→1時TD→∞（不再振蕩）TD=Tn/√(1-ζ2)03工程近似：當ζ≤5%時，ωD≈ωn（誤差<0.13%），可用無阻尼結果代替有阻尼結果≤0.13%04實測驗證：現場實測得到的是有阻尼頻率ωD和周期TD，與理論計算的ωn、Tn幾乎一致ωD≈ωnDampingRatio典型結構的阻尼比范圍不同材料和結構類型的阻尼比差異顯著：鋼結構約0.5%-2%，鋼筋混凝土結構約2%-5%，木結構約5%-10%。設置附加阻尼器的結構等效阻尼比可達10%-30%。阻尼比的選擇直接影響結構動力分析的精度和抗震設計的安全性。各類結構阻尼比參考值結構類型阻尼比范圍主要阻尼來源鋼結構0.5%–2%材料內摩擦、節點摩擦鋼筋混凝土結構2%–5%混凝土開裂、鋼筋滑移預應力混凝土結構1%–3%材料內摩擦、預應力損失木結構5%–10%纖維摩擦、榫卯節點砌體結構3%–8%砂漿摩擦、砌塊間滑移設置阻尼器結構10%–30%附加阻尼器耗能注：阻尼比隨材料類型和結構形式變化顯著，設計時應根據具體情況選取。DampingSystems臨界阻尼與過阻尼體系的運動特征臨界阻尼(ζ=1)和過阻尼(ζ>1)體系均不產生往復振蕩，位移單調衰減至零。臨界阻尼是振蕩與非振蕩的分界狀態，系統以最快方式無振蕩回復；過阻尼體系由于阻尼過大，回復速度反而變慢。位移衰減曲線對比u(t)隨時間t的歸一化衰減趨勢u(t)/u?t1.00.50ζ=1臨界ζ>1過阻尼最快無振蕩ζ=1振蕩與非振蕩的臨界分界01臨界阻尼·數學解特征方程有重根s=-ωn，解為u(t)=(A+Bt)·e(-ωn·t)02臨界阻尼·運動特征位移單調衰減，無往復振蕩，以最快速度回到平衡位置03臨界阻尼·工程應用精密天平、儀表指針等需要快速穩定無振蕩的場合04過阻尼·數學解特征方程有兩個不等實根，解為兩個衰減指數函數的疊加05過阻尼·運動特征無振蕩緩慢回復，阻尼越大回復越慢，比臨界阻尼更慢06過阻尼·工程應用門吸裝置、液壓緩沖器等需要緩慢平穩運動的場合CHAPTER04振動特性的工程應用從理論分析到工程實踐的轉化應用FIELDMEASUREMENT結構動力特性的實測方法理論計算的自振特性與實際往往存在偏差，需要通過現場實測獲取真實參數。建筑結構動力特性現場實測01自由振動法：施加初始激勵后釋放，記錄自由衰減振動曲線，直接獲取頻率和阻尼比02脈動法：利用環境微振動（風、交通、地脈動）作為激勵源，通過頻譜分析識別結構頻率03激振法：使用激振器施加正弦掃頻或隨機激勵，測量頻率響應函數，獲取完整動力特性04實測意義：驗證理論模型準確性、評估結構損傷狀態、為抗震鑒定提供依據DAMPINGIDENTIFICATION對數衰減率法計算阻尼比對數衰減率法通過測量自由振動衰減曲線中相鄰振幅的比值來計算阻尼比，是工程中最簡便實用的阻尼識別方法。對數衰減率δ與阻尼比ζ存在確定的數學關系，當ζ較小時可近似為δ≈2πζ。該方法操作簡單、結果可靠，廣泛應用于結構動力特性現場測試。01對數衰減率定義δ=ln(u?/u???)，其中u?和u???是相鄰兩個同方向峰值振幅δ=ln(u?/u???)02理論關系δ=2πζ/√(1?ζ2)，當ζ<0.2時可近似為δ≈2πζ，即ζ≈δ/(2π)ζ≈δ/(2π)03多周期測量測量n個周期后的振幅比，δ=(1/n)·ln(u?/u???)，有效提高測量精度n周期均值04應用步驟記錄衰減曲線→讀取峰值振幅→計算對數衰減率→求解阻尼比四步流程STRUCTURALDYNAMICS自振周期在抗震設計中的意義自振周期是抗震設計的核心參數，結構自振周期與場地卓越周期的關系直接影響地震作用的放大程度。當兩者接近時會發生共振效應，導致地震響應顯著增大。抗震設計的重要原則之一就是通過調整結構剛度或質量，使自振周期避開場地卓越周期，降低地震風險。01當結構自振周期與地震波卓越周期接近時，發生共振，地震響應被大幅放大04軟土場地（卓越周期0.5-1.0s）：適合建造剛度較大的中低層建筑，避免長周期高層02場地土層會放大特定頻率的地震波，形成場地卓越周期，軟土長、硬土短05硬土場地（卓越周期0.1-0.3s）：適合建造柔性高層建筑，避免短周期剛性結構03避免共振：設計時應使結構自振周期與場地卓越周期保持足夠差距06隔震設計：設置隔震層延長結構周期至3-4秒，遠離常見場地卓越周期范圍EngineeringApplication結構振動控制的工程應用結構振動控制通過附加裝置或系統消耗或轉移振動能量，有效減小結構動力響應。被動控制、主動控制、半主動控制和混合控制四類技術各有特點，已在全球眾多標志性工程中得到成功應用，成為現代抗震抗風設計的重要手段。01被動控制：安裝粘滯阻尼器、摩擦阻尼器或調諧質量阻尼器(TMD)，無需外部能源即可耗能02主動控制：傳感器實時監測、控制器計算、執行器施加控制力，控制效果最優但需持續能源03半主動控制：磁流變阻尼器等可調節裝置，結合被動與主動優點，能耗低且可靠性高04典型案例：臺北101大樓安裝660噸TMD球體，風振加速度降低40%以上，保障使用舒適度臺北101大樓·660噸調諧質量阻尼器(TMD)實景CHAPTER05線性振動系統特征疊加原理與頻域分析的理論基礎FUNDAMENTALS·基本假設線性振動系統的基本假設線性振動系統基于兩個基本假設：彈性力服從胡克定律（與位移成正比）、阻尼力與速度一次方成正比。這兩個線性關系使系統滿足疊加原理，即多激勵聯合響應等于各激勵單獨響應的疊加，為復雜振動問題的解析求解提供了理論基礎。LINEARITYASSUMPTIONS·線性假設?彈性線性：恢復力Fs=k·u(t)，服從胡克定律，剛度k為常數不隨位移變化。該假設保證了力與位移的單值對應關系，是建立線性振動微分方程的基礎。?阻尼線性：阻尼力Fd=c·u?(t)，與速度一次方成正比，阻尼系數c為常數。粘性阻尼模型雖為理想化假設，但能有效描述大多數工程結構在微幅振動時的能量耗散特性。

適用范圍：微幅振動情況下大多數工程結構可近似為線性系統。當振幅超過材料比例極限或幾何非線性效應顯著時，需采用非線性振動理論進行分析。SUPERPOSITIONPRINCIPLE·疊加原理⊕核心表述：輸入x?產生響應y?，輸入x?產生響應y?，則x?+x?產生響應y?+y?。這一性質源于線性微分方程的數學結構，是線性系統區別于非線性系統的本質特征?！茟脙r值：可將復雜激勵分解為簡單激勵的組合，分別求解后疊加得到總響應。傅里葉分析、模態疊加法等經典方法均建立在此原理之上，大幅簡化了工程振動問題的求解過程。∫數學基礎：線性微分方程的解滿足疊加性，是線性代數理論在動力學中的體現。齊次解與特解的線性組合構成通解，為振動響應的完整描述提供了嚴格的數學保證。STRUCTURALDYNAMICS脈沖響應與頻率響應線性系統的響應特性可從時域和頻域兩個維度描述。脈沖響應表征系統對單位沖量的時域響應特性，頻率響應表征系統對簡諧激勵的頻域響應特性。兩者通過傅里葉變換建立對應關系，構成了結構動力分析和振動信號處理的理論基礎。01脈沖響應h(t)系統對單位沖量δ(t)的響應，表征系統在時域內的固有動力特性，包含系統的全部模態信息，是系統識別的基礎02頻率響應H(ω)系統對單位簡諧激勵e^(iωt)的穩態響應，表征系統在頻域內的特性，直觀展示幅頻與相頻特性，便于共振分析03傅里葉變換關系H(ω)=∫h(t)·e?iωtdt，時域與頻域描述等價且可相互轉換，構成信號處理與系統分析的數學橋梁04工程應用通過實測脈沖響應或頻率響應函數，可識別結構的自振頻率、阻尼比和振型，廣泛應用于模態試驗與結構健康監測CHAPTER33·TIMEDOMAIN杜哈梅積分與任意激勵響應杜哈梅積分基于疊加原理，將任意激勵分解為微元沖量的疊加，通過脈沖響應函數的卷積積分計算系統總響應。01激勵分解原理任意激勵p(t)可分解為一系列微元沖量p(τ)·dτ的疊加，這是杜哈梅積分的理論基礎。02脈沖響應疊加每個微元沖量產生脈沖響應h(t-τ)·p(τ)·dτ，將所有貢獻積分得到總響應。03卷積積分形式u(t)=∫??p(τ)·h(t-