2026年黑龍江省綏化市中考數學真題及答案解析

第1頁（共1頁）2026年黑龍江省綏化市中考數學試卷一、單項選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）請在答題卡上用2B鉛筆將你的選項所對應的方框涂黑。1．（3分）下列有理數中，沒有倒數的是（）A．﹣2027 B．1 C．0 D．﹣12．（3分）下列所述圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．正六邊形 B．矩形 C．正方形 D．等邊三角形3．（3分）若分式有意義，則x滿足的條件是（）A．x為任意實數 B．x≠1 C．x≠0 D．x＞14．（3分）下列計算中，結果正確的是（）A．|﹣3|＝﹣3 B．a2+2a2＝3a4 C． D．5．（3分）某校為了了解學生使用電子產品的情況，隨機抽查了某班A，B兩組學生一周使用電子產品的時間（單位：小時），數據如表所示：A組67888910B組479991114下列說法正確的是（）A．兩組數據的眾數相等 B．A組數據的平均數大于B組數據的平均數 C．A組數據的方差小于B組數據的方差 D．A組數據的中位數大于B組數據的中位數6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的兩個根，則x1+x2﹣2x1x2的值為（）A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣207．（3分）下列命題正確的是（）A．正五邊形的外角和是540° B．對角線互相垂直的四邊形一定是菱形 C．三角形兩邊的和大于第三邊 D．一組對角相等的四邊形一定是平行四邊形8．（3分）如圖，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，則∠DBC的度數是（）A．30° B．36° C．45° D．50°9．（3分）《孫子算經》是我國古代數學經典著作，書中記載了這樣一道題目：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人有幾何？意思是：今有3個人坐一輛車，有2輛車是空的；2個人坐一輛車，有9個人需要步行．問共有多少人？設共有x人，可列方程為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，有一小型科學探測器在空中A處探測到地平面目標B，此時從探測器上看目標B的俯角α＝30°，探測器飛行的高度AC＝60m，則探測器到目標B的距離AB約為（其中1.732，計算結果精確到0.1）（）A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m11．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2，將△OAB繞點O順時針旋轉45°后，得到△OA′B′，點A，B的對應點分別是點A′，B′，以原點為位似中心，將△OA′B′放大為原來的3倍后，得到△OA″B″，頂點B′在第一象限對應點B″的坐標是（）A．（6，6） B．（6，2） C． D．12．（3分）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，5），與x軸交于A（m，0），B兩點，其中2＜m＜3．則下列結論：①0；②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④；⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k為常數）有實數根．其中正確的個數有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）請在答題卡上把你的答案寫在所對應的題號后的指定區域內。13．（3分）海水淡化，利國利民．2026年6月，我國自然資源部發布，我國海水淡化日產能突破300萬噸．把300萬用科學記數法表示為．14．（3分）分解因式：a3b﹣ab＝．15．（3分）某幾何體是由棱長為1cm的小正方體組合而成，如圖是這個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是cm2．16．（3分）如圖，有一個亭子，它的地基是邊長為4m的正六邊形，則這個正六邊形地基的面積是m2（計算結果保留根號）．17．（3分）計算：．18．（3分）如圖，在⊙O中，，∠ABC＝70°，則∠BOC＝．19．（3分）如圖，反比例函數y與邊長為10的等邊三角形OAB相交于C，D兩點，邊OB與x軸重合，BD：OC＝1：3，則k的值是．20．（3分）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，點P，D分別在邊AB，BC上運動，連接PC，PD．則PC+PD的最小值是．21．（3分）按一定規律排列的數據依次為2，7，14，23，34，47，…．若按此規律繼續排列下去，則第n個數可以表示為（結果用含n的代數式表示）．22．（3分）已知△ABC是腰長為4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AC的中點，連接BD，將△BCD繞點B旋轉，得到△BEF，點E，F的對應點分別是點C，D，連接CF．當CF∥AB時，則CF的長為．三、解答題（本題共6個小題，共54分）請在答題卡上把你的答案寫在所對應的題號后的指定區域內。23．（7分）尺規作圖：如圖，在∠AOB的內部有一點P．【初步探索】（1）如圖1，利用無刻度的直尺和圓規作一個等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底邊MN經過點P，點M，點N分別在射線OA，射線OB上．（溫馨提示：本小題作圖不寫作法，但需保留作圖痕跡）【拓展探究】（2）如圖2，若∠AOB＝58°，連接OP，OP＝3．以O為圓心，OP為半徑畫圓，交射線OA，射線OB于C，D兩點，則劣弧的長度為．（本小題無需在答題卡上作圖，只需寫出用含π的代數式表示的結果）24．（7分）為深入實施科教興國戰略，加快提升廣大青少年科技素養，培養學生動手實踐能力，某校開展“科技小發明”創新實踐活動，隨機調查了八年級部分同學平均每周參與“科技小發明”創新實踐活動的時間（單位：小時），按照時長分成五個不同類別，并繪制如下不完整的統計圖．根據圖表中信息回答下列問題：類別參與創新實踐活動的時間x（單位：小時）A0≤x＜0.5B0.5≤x＜1C1≤x＜1.5D1.5≤x＜2Ex≥2（1）本次隨機調查的學生共有人，補全條形統計圖．（2）若該校八年級學生共有320人，請估計該校八年級平均每周參與創新實踐活動的時間在1.5小時及以上的學生人數．（3）已知E類學生中恰好有2名女生和1名男生，現從中抽取兩名同學做“科技小發明”展示交流，請用列表法或畫樹狀圖法，求出所抽取的兩名學生恰好是一男一女的概率．25．（10分）我國人工智能發展迅速，能替代人類完成很多工作．某快遞公司準備購進A，B兩種型號的快遞智能分揀機械手（以下A型快遞智能分揀機械手簡稱A型機械手，B型快遞智能分揀機械手簡稱B型機械手），已知A型機械手的單價比B型機械手的單價高2萬元，用120萬元購進A型機械手的數量和用80萬元購進B型機械手的數量相等．（1）求A，B兩種型號機械手的單價分別是多少萬元？（2）快遞公司計劃購買A，B兩種型號的機械手共30臺，且A型的數量不少于B型數量的2倍．如何購買這兩種機械手使其總費用最少，最少費用是多少萬元？（3）該快遞公司使用甲、乙兩臺不同型號的機械手進行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度保持不變．某天甲機械手先開始工作，工作一段時間后，因發生故障停工檢修，同時乙機械手開始工作，甲機械手修好后又以原速度繼續工作，完成分揀后兩臺機械手同時停止工作．甲、乙兩臺機械手分揀快遞的數量y（件）與甲機械手工作時間x（分鐘）之間的函數關系如圖所示．①乙機械手的工作速度為件/分鐘，a＝．②直接寫出BC所在直線的函數表達式：．③當乙機械手工作分鐘時，甲、乙兩臺機械手分揀快遞的數量相同．26．（9分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P，連接BD，過點C作BD的垂線，垂足為E，交直徑AB于點F，交過點B的直線于點M，連接AC并延長，交MB于點N，且CN＝CM．（1）求證：BM是⊙O的切線．（2）若，OF＝4，求線段CE的長．27．（10分）綜合與探究已知拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，點O為坐標原點，作直線BC．（1）求該拋物線的解析式．（2）在拋物線上有兩個動點P，Q，點P在第一象限，橫坐標為m，過點P作x軸的垂線，垂足為N，交BC于點M，點Q的橫坐標為．若△MCN的面積記作S1，△PMQ的面積記作S2，當S＝S1+S2有最大值時，求點P的坐標．（自行完成作圖并解答）（3）把拋物線y＝ax2+bx+4沿射線BC方向平移，平移后，新拋物線y′過點C，點E是新拋物線y′對稱軸與x軸的交點，點F是新拋物線y′對稱軸上的動點，連接FC，FO．若FO平分∠CFE，請直接寫出符合條件的點F坐標．（自行完成作圖并作答）28．（11分）綜合與實踐【問題情境】在數學活動課上，老師讓學生以“矩形”為主題，開展動點問題的研究．在矩形ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC上的動點．【觀察感知】（1）如圖1，當點E，F運動到AE＝BF時，連接AF，BE．求證：△ABE≌△BAF．【探索發現】（2）如圖2，連接AC，點M是AC上的一點，CM：AM＝1：2，連接AF，BE，AF與BE相交于點G，連接GM．當BE平分∠ABC，AF平分∠BAC時，且AB+AC＝2BC，試求出GM與FC的數量關系，并說明你的理由．【問題拓展】（3）如圖3，當AB＝2，BC＝8時，作直線EF，若直線EF將矩形ABCD分成周長相等的兩部分，過點D作DH⊥EF于點H，連接AH．當矩形的邊AD與直線EF的夾角成60°時，請你直接寫出∠DAH的正切值．（自行完成作圖并作答）

2026年黑龍江省綏化市中考數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）請在答題卡上用2B鉛筆將你的選項所對應的方框涂黑。1．（3分）下列有理數中，沒有倒數的是（）A．﹣2027 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：A、﹣2027的倒數是，故不符合題意；B、1的倒數是1，故不符合題意；C、0沒有倒數，故符合題意；D、﹣1的倒數是﹣1，故不符合題意．故選：C．2．（3分）下列所述圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．正六邊形 B．矩形 C．正方形 D．等邊三角形【解答】解：A是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意，B是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意，C是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意，D是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，符合題意，故選：D．3．（3分）若分式有意義，則x滿足的條件是（）A．x為任意實數 B．x≠1 C．x≠0 D．x＞1【解答】解：由題可知，x﹣1≠0，解得x≠1．故選：B．4．（3分）下列計算中，結果正確的是（）A．|﹣3|＝﹣3 B．a2+2a2＝3a4 C． D．【解答】解：A、|﹣3|＝3，故該項不正確，不符合題意；B、a2+2a2＝3a2，故該項不正確，不符合題意；C、2，故該項不正確，不符合題意；D、2﹣1，故該項正確，符合題意；故選：D．5．（3分）某校為了了解學生使用電子產品的情況，隨機抽查了某班A，B兩組學生一周使用電子產品的時間（單位：小時），數據如表所示：A組67888910B組479991114下列說法正確的是（）A．兩組數據的眾數相等 B．A組數據的平均數大于B組數據的平均數 C．A組數據的方差小于B組數據的方差 D．A組數據的中位數大于B組數據的中位數【解答】解：整理得A組數據為6、7、8、8、8、9、10；B組數據為4，7，9，9，9，11，14，故A組的眾數為8，B組的眾數為9，故選項A說法錯誤，不符合題意；8，x9，即A組數據的平均數小于B組數據的平均數，故選項B說法錯誤，不符合題意；[（6﹣8）2+（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]，[（4﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2+（11﹣9）2+（14﹣9）2]，即A組數據的方差小于B組數據的方差，故選項C說法正確，符合題意；A組的中位數為8，B組的中位數為9，故選項D說法錯誤，不符合題意；故選：C．6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的兩個根，則x1+x2﹣2x1x2的值為（）A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20【解答】解：由題知，因為x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的兩個根，則x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9，所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16．故選：A．7．（3分）下列命題正確的是（）A．正五邊形的外角和是540° B．對角線互相垂直的四邊形一定是菱形 C．三角形兩邊的和大于第三邊 D．一組對角相等的四邊形一定是平行四邊形【解答】解：A、正五邊形的外角和是360°，故A不符合題意；B、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故B不符合題意；C、此命題是真命題，故C符合題意；D、一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，故D不符合題意．故選：C．8．（3分）如圖，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，則∠DBC的度數是（）A．30° B．36° C．45° D．50°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180°．∵∠C＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°．∵∠ADB：∠BDC＝1：2，∴∠BDC∠ADC，∴∠DBC＝180°﹣30°﹣100°＝50°．故選：D．9．（3分）《孫子算經》是我國古代數學經典著作，書中記載了這樣一道題目：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人有幾何？意思是：今有3個人坐一輛車，有2輛車是空的；2個人坐一輛車，有9個人需要步行．問共有多少人？設共有x人，可列方程為（）A． B． C． D．【解答】解：根據題意得：2．故選：B．10．（3分）如圖，有一小型科學探測器在空中A處探測到地平面目標B，此時從探測器上看目標B的俯角α＝30°，探測器飛行的高度AC＝60m，則探測器到目標B的距離AB約為（其中1.732，計算結果精確到0.1）（）A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝60m，∴AB＝2AC＝120207.8（m），∴探測器到目標B的距離AB約為207.8m，故選：A．11．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2，將△OAB繞點O順時針旋轉45°后，得到△OA′B′，點A，B的對應點分別是點A′，B′，以原點為位似中心，將△OA′B′放大為原來的3倍后，得到△OA″B″，頂點B′在第一象限對應點B″的坐標是（）A．（6，6） B．（6，2） C． D．【解答】解：設OA＝AB＝x，由勾股定理得：x2+x2＝（2）2，解得：x＝2（負值舍去），∴OA＝AB＝2，由旋轉的性質可知：∠OA′B′＝∠OAB＝90°，OA′＝OA＝2，A′B′＝AB＝2，∴點B′的坐標是（2，2），以原點為位似中心，將△OA′B′放大為原來的3倍后，得到△OA″B″，點B′在第一象限對應點B″的坐標是（2×3，2×3），即（6，6），故選：A．12．（3分）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，5），與x軸交于A（m，0），B兩點，其中2＜m＜3．則下列結論：①0；②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④；⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k為常數）有實數根．其中正確的個數有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：∵拋物線開口向下，頂點坐標為（﹣2，5），與y軸交于正半軸，∴a＜0，，∴b＝4a＜0，∴，故①錯誤；∵b＝4a，∴b﹣4a＝0，故②錯誤；∵a＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正確；∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，5），∴當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5，∴c＝4a+5，由圖象可得當x＝2時，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴4a+8a+4a+5＞0，∴，由圖象可得當x＝3時，y＜0，即9a+3b+c＜0，∴9a+12a+4a+5＜0，∴，∴，故④正確；∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0可化為ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2，∴該方程的解為拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣k2x﹣k2的交點的橫坐標，∵直線y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1），∴該直線過定點（﹣1，0），且過第二、三、四象限，∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣k2x﹣k2必有交點，∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k為常數）有實數根．故⑤正確．綜上所述，正確的結論是③④⑤，共3個．故選：B．二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）請在答題卡上把你的答案寫在所對應的題號后的指定區域內。13．（3分）海水淡化，利國利民．2026年6月，我國自然資源部發布，我國海水淡化日產能突破300萬噸．把300萬用科學記數法表示為3×106．【解答】解：300萬＝3000000＝3×106．故答案為：3×106．14．（3分）分解因式：a3b﹣ab＝ab（a+1）（a﹣1）．【解答】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．故答案為：ab（a+1）（a﹣1）．15．（3分）某幾何體是由棱長為1cm的小正方體組合而成，如圖是這個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是14cm2．【解答】解：綜合三視圖，我們可以得出，這個幾何體有3個小正方體，且依次相鄰，∴這個幾何體的表面積是1×14＝14．故答案為：14．16．（3分）如圖，有一個亭子，它的地基是邊長為4m的正六邊形，則這個正六邊形地基的面積是24m2（計算結果保留根號）．【解答】解：如圖，連接OA，OB，過點O作OM⊥AB于點M，∵正六邊形ABCDEF的中心為O，∴∠AOB60°，OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵OM⊥AB，∴∠AOM∠AOB＝30°，OA＝AB＝4m，AM＝BM＝2m，∴OM2（m），∴S正六邊形ABCDEF＝6S△AOB＝64×2＝24（m2）．故答案為：24．17．（3分）計算：．【解答】解：原式．故答案為：．18．（3分）如圖，在⊙O中，，∠ABC＝70°，則∠BOC＝80°．【解答】解：∵，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°．故答案為：80°．19．（3分）如圖，反比例函數y與邊長為10的等邊三角形OAB相交于C，D兩點，邊OB與x軸重合，BD：OC＝1：3，則k的值是．【解答】解：過點C和點D分別作x軸的垂線，垂足分別為M和N，∵三角形ABO是等邊三角形，∴∠ABO＝∠AOB＝60°．∵BD：OC＝1：3，∴令BD＝a，OC＝3a．在Rt△COM中，sin∠AOB，cos∠AOB，∴CM，OM，則點C坐標可表示為（），同理可得，點D坐標可表示為（）．∵點C和點D都在反比例函數y的圖象上，∴，解得a＝0或a＝2，∵a≠0，∴a＝2，∴點C坐標為（），則k故答案為：．20．（3分）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，點P，D分別在邊AB，BC上運動，連接PC，PD．則PC+PD的最小值是3．【解答】解：延長CA至點M，使∠ABM＝∠CBA，連接MB，過點C作CN⊥MB，交AB于點P，過點P作PD⊥BC于點D，∵∠ABM＝∠CBA，∴PD＝PN，這時PC+PD有最小值，即CN的長度，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴，∵∠ABM＝∠ABC＝30°，∴∠CBM＝∠ABC+∠ABM＝60°，∴，，∵，即，∴CN＝3，∴PC+PD的最小值是3，故答案為：3．21．（3分）按一定規律排列的數據依次為2，7，14，23，34，47，…．若按此規律繼續排列下去，則第n個數可以表示為n2+2n﹣1（結果用含n的代數式表示）．【解答】解：設第n個數對應序號為n，n為正整數，將已知數據按序號整理：當n＝1時，2＝（1+1）2﹣2，當n＝2時，7＝（2+1）2﹣2，當n＝3時，14＝（3+1）2﹣2，當n＝4時，23＝（4+1）2﹣2，當n＝5時，34＝（5+1）2﹣2，當n＝6時，47＝（6+1）2﹣2，，因此可得第n個數的表達式為（n+1）2﹣2，即為n2+2n﹣1，故答案為：n2+2n﹣1．22．（3分）已知△ABC是腰長為4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AC的中點，連接BD，將△BCD繞點B旋轉，得到△BEF，點E，F的對應點分別是點C，D，連接CF．當CF∥AB時，則CF的長為或．【解答】解：作BG⊥CF于點G，如圖所示，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D是AC的中點，∴，∠ABC＝45°，∴，由旋轉的性質可知：△DCB≌△FEB，∴，∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°∴，∴，∴；當點F運動到點F'時，此時CF'∥AB，同理可得，，，∴；綜上所述，CF的長為或，故答案為：或．三、解答題（本題共6個小題，共54分）請在答題卡上把你的答案寫在所對應的題號后的指定區域內。23．（7分）尺規作圖：如圖，在∠AOB的內部有一點P．【初步探索】（1）如圖1，利用無刻度的直尺和圓規作一個等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底邊MN經過點P，點M，點N分別在射線OA，射線OB上．（溫馨提示：本小題作圖不寫作法，但需保留作圖痕跡）【拓展探究】（2）如圖2，若∠AOB＝58°，連接OP，OP＝3．以O為圓心，OP為半徑畫圓，交射線OA，射線OB于C，D兩點，則劣弧的長度為．（本小題無需在答題卡上作圖，只需寫出用含π的代數式表示的結果）【解答】解：（1）如圖，△OMN即為所求；理由：由作圖知：OC＝OD，∠ECF＝∠GFH，∴∠OCD＝∠ODC，CD∥MN，∴∠OCD＝∠OMN，∠ODC＝∠ONM，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，∴△OMN即為所求；（2）由作圖知：OC＝OD＝OP＝3，∴劣弧的長度為，故答案為：．24．（7分）為深入實施科教興國戰略，加快提升廣大青少年科技素養，培養學生動手實踐能力，某校開展“科技小發明”創新實踐活動，隨機調查了八年級部分同學平均每周參與“科技小發明”創新實踐活動的時間（單位：小時），按照時長分成五個不同類別，并繪制如下不完整的統計圖．根據圖表中信息回答下列問題：類別參與創新實踐活動的時間x（單位：小時）A0≤x＜0.5B0.5≤x＜1C1≤x＜1.5D1.5≤x＜2Ex≥2（1）本次隨機調查的學生共有40人，補全條形統計圖．（2）若該校八年級學生共有320人，請估計該校八年級平均每周參與創新實踐活動的時間在1.5小時及以上的學生人數．（3）已知E類學生中恰好有2名女生和1名男生，現從中抽取兩名同學做“科技小發明”展示交流，請用列表法或畫樹狀圖法，求出所抽取的兩名學生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）本次調查的學生共有10÷25%＝40（人），C類的學生有40﹣5﹣10﹣12﹣3＝10（人），補全統計圖如下：．故答案為：40；（2）320120（人），答：估計該校八年級平均每周參與創新實踐活動的時間在1.5小時及以上的學生有120人；（3）畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，選取的兩名同學恰好是一男一女的有4種情況．∴選取的兩名同學恰好是一男一女的概率為．25．（10分）我國人工智能發展迅速，能替代人類完成很多工作．某快遞公司準備購進A，B兩種型號的快遞智能分揀機械手（以下A型快遞智能分揀機械手簡稱A型機械手，B型快遞智能分揀機械手簡稱B型機械手），已知A型機械手的單價比B型機械手的單價高2萬元，用120萬元購進A型機械手的數量和用80萬元購進B型機械手的數量相等．（1）求A，B兩種型號機械手的單價分別是多少萬元？（2）快遞公司計劃購買A，B兩種型號的機械手共30臺，且A型的數量不少于B型數量的2倍．如何購買這兩種機械手使其總費用最少，最少費用是多少萬元？（3）該快遞公司使用甲、乙兩臺不同型號的機械手進行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度保持不變．某天甲機械手先開始工作，工作一段時間后，因發生故障停工檢修，同時乙機械手開始工作，甲機械手修好后又以原速度繼續工作，完成分揀后兩臺機械手同時停止工作．甲、乙兩臺機械手分揀快遞的數量y（件）與甲機械手工作時間x（分鐘）之間的函數關系如圖所示．①乙機械手的工作速度為20件/分鐘，a＝60．②直接寫出BC所在直線的函數表達式：y＝15x﹣450；．③當乙機械手工作22.5分鐘時，甲、乙兩臺機械手分揀快遞的數量相同．【解答】解：（1）設A型機械手的單價為n萬元，B型機械手的單價為（n﹣2）萬元，由題意得；解得：n＝6；經檢驗：n＝6是原分式方程的解，B型機械手的單價：n﹣2＝6﹣2＝4（萬元），答：A型機械手的單價為6萬元，B型機械手的單價為4萬元；（2）設購買A型機械手m臺，則購買B型機械手（30﹣m）臺，所需費用為w萬元，，解得：20≤m＜30，由題意得：w＝6m+4（30﹣m）＝2m+120，∵2＞0∴w隨m的增大而增大，且m取正整數，∴當m＝20時，w最小＝2m+120＝2×20+120＝160（萬元），此時B型機械手：30﹣m＝30﹣20＝10（臺），答：購買A型機械手20臺，B型機械手10臺，此時所需費用最少，費用最少為160萬元；（3）①乙機械手的工作速度為20件/分鐘，甲機械手的工作速度為15件/分鐘，（2250﹣450）÷15＝120（分鐘），故a＝180﹣120＝60，故答案案為：20；60；②設BC所在直線的函數表達式為yBC＝kx+b，將點（60，450），（180，2250）代入yBC＝kx+b，得，解得，∴BC所在直線的函數表達式為yBC＝15x﹣450，故答案為：y＝15x﹣450；③設乙機械手分揀快遞的數量y（件）與甲機械手工作時間x（分鐘）之間的函數關系為y＝ax+c，將點（30，0），（180，3000）代入y＝ax+c，即，解得，∴乙機械手分揀快遞的數量y（件）與甲機械手工作時間x（分鐘）之間的函數關系為y＝20x﹣600，結合函數圖象可知，甲、乙兩臺機械手分揀快遞的數量相同時為450件，令y＝450代入y＝20x﹣600，即450＝20x﹣600，解得x＝52.5∴當乙機械手工作52.5﹣30＝22.5分鐘時，甲、乙兩臺機械手分揀快遞的數量相同，故答案為：22.5．26．（9分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P，連接BD，過點C作BD的垂線，垂足為E，交直徑AB于點F，交過點B的直線于點M，連接AC并延長，交MB于點N，且CN＝CM．（1）求證：BM是⊙O的切線．（2）若，OF＝4，求線段CE的長．【解答】（1）證明：連接BC∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠BCN＝90°，在△BNC中，∠CNB+∠NBC＝90°，∵CM⊥BD，∴∠CED＝∠BEM＝90°，在△BME中，∠EMB+∠MBE＝90°，∵CN＝CM，∴∠CNB＝∠EMB，∴∠NBC＝∠MBE；∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴BC＝BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠CBP＝∠DBP；∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°，∴2∠NBC+2∠CBP＝180°，∴∠NBC+∠CBP＝90°，∴∠ABN＝90°，∵OB為⊙O的半徑，∴BM是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90，∵，∴，；由（1）可知，∠ACP＝∠DCE，∵PC＝PC，∴△ACP≌△FCP（ASA）；∴PA＝PF，設⊙O的半徑為r，∵OF＝4，∴FA＝OA+OF＝r+4，∴，；∵∠A＝∠CDB，∠ACP＝∠DBP，∴△ACP∽△DBP，∴，∴，解得，r2＝﹣8，∴；∴，在Rt△ACP中，；∵∠ACP＝∠DCE，∠A＝∠CDB，∴△ACP∽△DCE，∴，∴，解得．27．（10分）綜合與探究已知拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，點O為坐標原點，作直線BC．（1）求該拋物線的解析式．（2）在拋物線上有兩個動點P，Q，點P在第一象限，橫坐標為m，過點P作x軸的垂線，垂足為N，交BC于點M，點Q的橫坐標為．若△MCN的面積記作S1，△PMQ的面積記作S2，當S＝S1+S2有最大值時，求點P的坐標．（自行完成作圖并解答）（3）把拋物線y＝ax2+bx+4沿射線BC方向平移，平移后，新拋物線y′過點C，點E是新拋物線y′對稱軸與x軸的交點，點F是新拋物線y′對稱軸上的動點，連接FC，FO．若FO平分∠CFE，請直接寫出符合條件的點F坐標．（自行完成作圖并作答）【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+4經過點A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）當x＝0時，y＝4，∴C（0，4），設直線BC的解析式為y＝k1x+b1，則，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，∴M（m，﹣m+4），∴MN＝﹣m+4，PM＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∴S＝S1+S2，∵，當m＝2時，面積有最大值．此時，﹣