2026-2027學年北師大版數學九年級上冊期中模擬測試鞏固卷

北師大版數學九年級上冊期中模擬測試鞏固卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．用配方法解一元二次方程x2A．x+52=20 B．x?52=30 C．2．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數最多為（）.A．7個 B．8個 C．9個 D．10個3．若關于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有實數根，則實數a的取值范圍是（）A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠14．如圖，矩形ABCD的四個頂點分別在直線l3，l4，l2，l1上．若直線l1∥l2∥l3∥lA．38 B．34 C．525．如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O．E是BC邊上一點，F是BD上一點，連接DE,EF．若△DEF與△DEC關于直線DE對稱，則△BEF的周長是（）A．22 B．2+2 C．4?226．如圖，在?ABCD中，E是CD的中點，AE,BD相交于點F，S△DEFA．1:2 B．1:2 C．1:3 D．7．如圖，在菱形ABCD中，AC，BD交于點O，AB=5，BD=8，AE⊥BC于點E，則OE的長為()A．52 B．83 C．3 8．如圖，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點F在DB上，DF=2BF.連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M.若BC=8，則線段BM的長為()A．8 B．6 C．4 D．29．匾額是巴渝文化的重要標識，它既傳遞吉祥祈福的美好愿景，又承載忠孝節義、崇文重教的傳統價值觀，是巴渝民俗文化的活化石”．如圖，一塊匾額長1.8m，寬0.8m，現在準備在它的四周加一個外框（外框寬度相同，外框與匾額銜接處忽略不計），制成后總面積為2m2．設外框的寬度為xmA．1.8+x0.8+x=2 C．1.8+2x0.8+2x=2 10．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長BC到E，在∠DCE內作射線CM，使得∠ECM=30°，過點D作DF⊥CM，垂足為F，若DF=2A．2 B．22 C．23二、填空題（每題3分，共18分）11．已知一元二次方程x2+4x-3=0的兩根是x1，x2，則x12+12．如圖，點D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點，且DE∥BC，若DEBC＝23，則AEEC13．我國古代數學家曾經研究過一元二次方程的幾何解法，以方程x2+5x＝14為例，三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載：構造大正方形ABCD的面積是（x+x+5）2，它由四個全等的矩形和中間一個小正方形組成，根據面積關系可求得AB的長，從而解得正數解．小剛用此方法解關于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為144，小正方形的面積為4，則關于x的方程x2+mx﹣n＝0的正數解為．14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，若S△ABDS△BCD=15．我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖，它是由四個全等的直角三角形(△ABF，△BCG，△CDH，△DAE)和中間一個小正方形拼成的大正方形，連結EG并延長，交CD于點M.若ED=EM，則∠ADE的度數為.16．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E，F分別在AD，BC上，連接BE，DF，EF，BD.若四邊形BEDF是菱形，則EF的長為.三、解答題（共7題，共72分）17．解方程：（1）x（2）218．關于x的一元二次方程x（1）求證：方程有兩個不相等的實數根。（2）已知方程的兩個實數根分別為x1，x2，且x1＝2x19．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3，4)，B(-4，1)，C(-1，2).（1）以x軸為對稱軸，畫出△ABC的軸對稱圖形△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，在第四象限內將△ABC放大到原來的2倍，畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2；（3）求△A1B1C1與△A2B2C2的面積之比.20．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB<BC，點E在AD的延長線上.（1）求作點F，使點F在AD邊上，且∠AFB=2∠EBC；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在(1)的條件下，若AB=4，BC=6，DE=2，求AF的長.21．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經調查發現：每降價2元，平均每周可多售出40頂．設每頂頭盔降價x元，平均每周的銷售量為y頂．（1）每頂頭盔降價x元后，每頂頭盔的利潤是元（用含x的代數式表示）；（2）平均每周的銷售量y（頂）與降價x（元）之間的函數關系式是；（3）若該商店希望平均每周獲得4000元的銷售利潤，則每頂頭盔應降價多少？22．如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，DB和CE交于點F，DF=FB，AF∥DC．（1）求證：△BEF∽△BAD；（2）求證：四邊形ADCF為平行四邊形；（3）若DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，求BC的長．23．（1）如圖①在Rt△ABC內，∠ABC=90°，AB=BC，D是△ABC內一點，將（2）在(1)的條件下，如圖②，當BD//AE，延長CD交AE于點F，若BC=3，（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，①線段AE與CD的數量關系是；②當∠BAE=45°時，點E到AB的距離EF的長為2，則線段CD的長為

答案解析部分1．【答案】C【知識點】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解：原方程為x2移項得x2方程兩邊同時加25得x2配方得(x?5)2=20.

故答案為：C.2．【答案】A【知識點】由三視圖判斷小正方體的個數【解析】【解答】如圖所示，小正方形中的數字表示在該位置小正方體最多的個數，則搭成該幾何體的小正方體最多是1+1+1+2+2=7(個).

故選A.【分析】根據視圖分析每個位置的可能層數和對應的正方形的個數解答即可.3．【答案】C【知識點】一元二次方程的定義及相關的量；一元二次方程根的判別式及應用【解析】【解答】解：

∵關于x的一元二次方程a?1x2+2x+1=0有實數根

∴△=22?4a?1=4?4a+4?0

∴a?2

∵a?1≠0

∴a?2且a≠1

故選：C

【分析】由于關于x的一元二次方程a?1x4．【答案】A【知識點】矩形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例【解析】【解答】解：如圖，過點D作DF⊥l3于點F，交l2∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，AD=BC=3．∵l2∴AG∴AG=1∴AGCD=【分析】由矩形的性質得出CD=AB=4，AD=BC=3，根據平行線分線段成比例定理，即“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”，列式并變形得出AG=15．【答案】A【知識點】勾股定理；正方形的性質；軸對稱的性質【解析】【解答】解：正方形ABCD的邊長為2，∴BC=DC=2,∠BCD=90°,∠CBD=45°,∴BD=B∵△DEF與△DEC關于直線DE對稱，∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，∴BF=BD?DF=22?2，∴∠FBE=∠FEB=45°，∴EF=BF=22∴BE=2∴△BEF的周長是BE+EF+BF=4?22故答案為：A．

【分析】由正方形性質得BC=CD=2，∠ACD=90°，∠CBD=45°，在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BD的長，由軸對稱的性質得出DF=CD=2，∠EFE=∠DCB=90°，然后根據線段和差算出BF，進而根據等腰直角三角形的性質求出EF、BE的長，最后根據三角形面積計算公式列式計算即可.6．【答案】D【知識點】平行四邊形的性質；相似三角形的性質-對應面積；相似三角形的判定預備定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是CD的中點，

∴DE=12∴DEAB∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF故答案為：D.

【分析】由平行四邊形的對邊平行且相等得出AB∥CD，AB=CD，由中點定義可求出DEAB7．【答案】C【知識點】菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】∵菱形ABCD中，AC，BD交于點O，BD=8，

∴OA=OC，OB=4，

AC⊥BD，

∴∠AOB=90°，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：OA=3，

∴AC=2OA=6，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴OE=12AC=3，

故答案為：C.

8．【答案】D【知識點】三角形的中位線定理；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的判定預備定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵DF=2BF，∴BFDF∵點D,E分別是邊∴DE∥BC，DE=1∴△DEF∽△BMF，∴BFDF∴BM=1故答案為：D.

【分析】根據三角形的中位線定理得到DE∥BC，DE=12BC=49．【答案】C【知識點】列一元二次方程【解析】【解答】解：∵匾額原長為1.8m，寬為0.8m，且在四周加寬度為xm的外框，∴制成后的總長度為(1.8+2x)m，總寬度為(0.8+2x)m，∵制成后的總面積為2m∴根據矩形面積公式可列方程：(1.8+2x)(0.8+2x)=2．

故答案為：C【分析】設外框的寬度為xm，根據題意建立方程即可求出答案.10．【答案】B【知識點】菱形的性質；三角形全等的判定-AAS；角平分線的概念；全等三角形中對應邊的關系【解析】【解答】解：如圖，連接AC交BD于點H，由菱形的性質得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，

又∵∠ECM=30°

∴∠DCF=50°

∵DF⊥CM，

∴∠CFD=90°

∴∠CDF=40°

又∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ADC.

∴∠HDC=40°

在△CDH和△CDF中，

∠CHD=∠CFD∠HDC=∠FDCDC=DC

∴△DCH≌△DCF(AAS)，

∴DH=DF=2，

∴【分析】連接AC交BD于H，證明△DCH≌△DCF，得出DH的長度，再根據菱形的性質得出BD的長度.11．【答案】22【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+4x?3=0的兩根為x1，x2，其中a=1∴x1+∴x1故答案為：22.

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x12．【答案】2【知識點】相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的判定預備定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵DE‖BC,∴△ADE∽△ABC,∴∴故答案為：2.【分析】根據平行得到△ADE∽△ABC,利用相似三角形的對應邊成比例求解即可.13．【答案】5【知識點】解一元二次方程的其他方法【解析】【解答】解：關于x的方程x2+mx?n=0可轉化為x2則小剛構造的大正方形的面積是(x+x+m)2，它由四個全等的矩形和中間一個小正方形組成，其中矩形的長為x+m、寬為x，中間小正方形的邊長為m∵小剛構造的大正方形的面積為144，小正方形的面積為4，∴x+x+m=144=12，∴2x+2=12，解得x=5，則關于x的方程x2+mx?n=0的正數解為故答案為：x=5．

故答案為：5.【分析】先得出小剛構造的大正方形、中間小正方形的邊長，然后列方程求出x的值解答即可．14．【答案】1【知識點】三角形的面積；相似三角形的性質【解析】【解答】解：∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴S△AODS△BOC=(ADBC)2，

∵S△ABDS△BCD故答案為：19【分析】首先根據等高三角形的性質，得出S△AODS15．【答案】22.5°【知識點】正方形的性質；“趙爽弦圖”模型【解析】【解答】解：過E作EN⊥CD，

∴EN//AD

∵四邊形EFGH是正方形，

∴∠HEG=45°.

∵ED=EM，EN⊥CD

∴∠DEN=12∠DEM=22.5°

∵EN//AD

∴∠ADE=∠DEN=22.5°

故答案為：22.5°.

【分析】依據題意，過E作EN//CD，則EN//AD，結合ED=EM，EN⊥CD，可得16．【答案】15【知識點】勾股定理；菱形的性質；矩形的性質【解析】【解答】解：連接AC，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴AC=AB2+BC2=10，

∴AO=5，

∴OB=5，

∵四邊形BEDF是菱形，

∴DE=BE=BF，∠EOB=90°，

∵BE2=AE2+AB2，

∴BE2=（8-BE）2+36，

∴BE=254，

∴EO2=BE2-BO2=22516，

∴EO=154，17．【答案】（1）解：1x（x-2）（x-3）=0，則x-2=0或x-3=0，所以：x1=2，x2=3.（2）因為a=2，b=-4，c=1，所以△=(?4則x所以x【知識點】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）先移項，提取公因式(x-2)，利用分解因式解方程即可；

（2）得到a，b，c的值，計算b2-4ac的值，然后代入求根公式解方程即可.18．【答案】（1）證明：∴△＝[?(2k＋1)]＝4∴該方程有兩個不相等的實數根.（2）解：由根與系數的關系得x{x12k＋1整理得k2即k的值為4或－5【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）【解析】【分析】（1）計算方程的根的判別式得到Δ=9>0，即可得到方程根的情況；（2）根據根與系數的關系得到x1＋x2＝2k＋1,x119．【答案】（1）解：△A1B1C1即為所求

（2）解：△A2B2C2即為所求

（3）解：因為△A1B1C1與△ABC軸對稱，所以△A1B1C1≌△ABC又因為△ABC∽△A2B2C2關于點O位似，所以△ABC∽△A2B2C2，且相似比為1：2所以△A1B1C1∽△A2B2C2，.且相似比為1：2所以S【知識點】軸對稱的性質；坐標與圖形變化﹣對稱；作圖﹣軸對稱；作圖﹣位似變換；位似圖形的性質【解析】【分析】本題考查坐標與圖形變換中的軸對稱和位似變換，以及圖形面積比的計算。

（1）畫關于x軸的軸對稱圖形，需依據軸對稱性質：關于x軸對稱的點橫坐標不變，縱坐標互為相反數，分別求出A、B、C三點的對稱點A1、B1、C1，再順次連接得到ΔA1B1C1；

（2）畫以原點為位似中心、放大2倍且在第四象限的位似圖形，根據位似性質：位似圖形對應點的坐標比等于位似比，將A、B、C三點的橫縱坐標都乘以2，且根據第四象限坐標特征（橫坐標為正、縱坐標為負）確定A2、B2、C2的坐標，順次連接得到圖形；

（3）計算面積比時，由軸對稱的性質可知ΔA1B20．【答案】（1）解：如圖，F是所求作的點.（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，BC=6，∴∴∵∴∴∵DE=2，∴AE=AD+DE=8.設AF=x，則BF=EF=8-x.在Rt△ABF中，∠A=90°，AB=4，由勾股定理得A∴x∴AF=3.【知識點】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性質；尺規作圖-作一個角等于已知角【解析】【分析】（1）作∠FBE=∠EBC，邊BF與AD的交點F即為所求；（2）根據矩形的性質可得∠E=∠EBC,∠AFB=∠FBC、進而可得∠FBE=∠E，利用等角對等邊可得BF=EF，即可求得AE的長；設21．【答案】（1）(28?x)（2）y=100+20x（3）解：根據題意得：(28?x)(100+20x)=4000，解得：x1=3，當x=3時，68?x=68?3=65>58，不符合題意，舍去；當x=20時，68?x=68?20=48<58，符合題意．答：每頂頭盔應降價20元．【知識點】一元二次方程的實際應用-銷售問題；用代數式表示實際問題中的數量關系【解析】【解答】解：（1）∵進價為每頂40元，售價為每頂68元，每頂頭盔降價x元，

∴每頂頭盔的利潤為：68-40-x=28-x（元）.

故答案為：（28-x）.

（2）每周的銷售量y=100+x2×40=100+2x.

故答案為：y=100+20x.

【分析】（1）根據利潤=售價-進價，列出代數式即可；

22．【答案】（1）證明：∵DF=FB，∴點F是DB的中點，∵點E是AB的中點，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，EF=1∴∠BEF=∠BAD，∠BFE=∠BDA，∴△BEF∽△BAD；（2）證明：由（1）知：EF∥AD，即CF∥AD，又∵AF∥DC，∴四邊形ADCF為平行四邊形；（3）解：∵DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，∴∠ADB=90°，由（1）知：EF∥AD，EF=1∴∠BFE=∠ADB=90°，EF=1∴∠BFC=180°?∠BFE=90°，BF=3EF=3×2=6，∵四邊形ADCF為平行四邊形，∴CF=AD=4，在Rt△BCF中，BC=C∴BC的長為213【知識點】勾股定理；平行四邊形的性質；平行四邊形的判定；三角形的中位線定理；相似三角形