2027金版教程一輪復習數學基礎版第3章第10節 函數模型及其應用

第三章函數與基本初等函數第十節

函數模型及其應用課標解讀考向預測1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具．在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律．2.結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義．3.收集、閱讀一些現實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何借助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現實意義.近幾年高考對函數模型及其應用的考查，一般出現在選擇題和填空題中，難度中檔偏上．預計2027年高考會考查指數函數模型或對數函數模型在實際生活中的應用，以選擇題的形式出現.必備知識強基礎考點探究提素養課時作業目錄必備知識強基礎1．幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)與指數函數相關的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)與對數函數相關的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數相關的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)2.指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調_______單調_______單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與_____平行隨x的增大逐漸表現為與_____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax遞增遞增y軸x軸

“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小．題組一走出誤區——判一判(1)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大．(

)(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．(

)(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型．(

)√××題組二回歸教材——練一練(1)(人教B必修第二冊4.5例2改編)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列結論中正確的是(

)A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：在同一平面直角坐標系內，根據函數圖象的變化趨勢，當x∈(4，＋∞)時，增長速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x)．故選B.(2)(人教A必修第一冊復習參考題3T6改編)已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(

)A．40萬元B．60萬元C．80萬元 D．120萬元解析：當甲商品的價格為6元時，該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×2＝40(萬元)；當乙商品的價格為4元時，該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×2＝80(萬元)．故該商人共獲利40＋80＝120(萬元)．故選D.75考點探究提素養考點一用函數圖象刻畫實際問題(1)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據所得數據做出如圖所示的散點圖．觀察散點圖的分布情況，下列函數模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規律的是(

)A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)解析：由函數圖象可知符合條件的只有指數函數模型，并且m>0，0<a<1.故選B.(2)(2026·山東臨沂模擬)青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一．如圖是景德鎮青花瓷，現往該青花瓷中勻速注水，則水的高度y與時間x的函數圖象大致是(

)解析：由題圖可知，該青花瓷上、下細，中間粗，則在勻速注水的過程中，水的高度先一直增高，且開始時水的高度增高的速度越來越慢，到達瓷瓶最粗處之后，水的高度增高的速度越來越快，直到注滿水，結合各項所給圖象，只有C符合題意．故選C.(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象；當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案．(2)圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數學直觀想象核心素養．考點二給定函數模型解決實際問題血氧飽和度是呼吸循環的重要生理參數．人體的血氧飽和度正常范圍是95%～100%，當血氧飽和度低于90%時，需要吸氧治療，在環境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型S(t)＝S0eKt描述血氧飽和度S(t)隨著給氧時間t(單位：小時)的變化而變化的規律，其中S0為初始血氧飽和度，K為參數．已知S0＝60%，給氧1小時后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達到90%，則至少還需要的給氧時間為(精確到0.1，參考數據：ln2≈0.69，ln3≈1.10)(

)A．0.3小時B．0.5小時C．0.7小時 D．0.9小時(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)根據已知，利用待定系數法確定模型中的待定系數．(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040考點三構建函數模型解決實際問題A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城xkm處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費用等于供電距離(單位：km)的平方與供電量(單位：億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用最少？解答函數應用題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：4．(2026·陜西西安模擬)凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質，假設每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，若過濾前水中大顆粒雜質含量為80mg/L，現要滿足過濾后水中大顆粒雜質含量不超過2mg/L，則PP棉濾芯的層數最少為(參考數據：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(

)A．9 B．8C．7 D．6課時作業基礎題(占比60%)中檔題(占比30%)拔高題(占比10%)題號1234567難度★★★★★★★★考點構建一次函數模型解決實際問題選擇對數型函數模型解決實際問題根據給定的冪函數模型解決實際問題根據給定的分式函數模型解決實際問題根據給定的指數型函數模型解決實際問題根據給定的指數型函數模型解決實際問題根據給定的對數型函數模型解決實際問題題號891011121314難度★★★★★★★★★★★★考點構建指數型函數模型解決實際問題用函數圖象刻畫實際問題利用反比例函數模型、二次函數模型解決實際問題根據給定的冪函數模型解決實際問題根據給定的分段函數模型解決實際問題根據給定的指數型函數模型解決實際問題根據給定的對數型函數模型解決實際問題一、單項選擇題1．某中學體育課對女生立定跳遠項目的考核標準為：立定跳遠距離1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，滿分為120分．若某女生訓練前的成績為70分，經過一段時間的訓練后，成績為105分，則該女生訓練后，立定跳遠距離增加了(

)A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米2．視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數記錄與五分記錄，其部分數據如下表：小數記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3解析：由表格中的數據可知，函數單調遞增，故合適的函數模型為y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故選B.小數記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.36．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝eax＋b(a，b為常數)，若該果