現代信號處理教程（第三版）課件 第8、9章 M通道濾波器組、小波變換基礎-1

第8章通道濾波器組8.1

通道濾波器組的基本關系8.2

通道濾波器組的多相結構8.3混疊抵消和PR條件的多相表示8.4通道濾波器組的設計8.5

調制濾波器組8.6濾波器組的應用簡介

仿照兩通道濾波器組的討論，對M通道濾波器組，應討論：1.濾波器組輸入、輸出關系；2.去除混疊失真的條件；3.濾波器組輸入、輸出關系的多相表示；4.實現PR的條件；5.2M個濾波器的設計問題；6.M通道濾波器組的特殊問題－－余弦調制濾波器組8.1

通道濾波器組的基本關系混迭分量去除混迭分量要求：最后：去除了混迭失真失真傳遞函數問題的關鍵，如何保證？取決于的性質

混迭分量（AC）矩陣第1行，個濾波器每一列，每個濾波器及移位混迭分量要求：伴隨矩陣

上式給出了M通道濾波器組中綜合濾波器組和分析濾波器組的關系，其分析方法可以參照兩通道濾波器組。但是，該分析方法不容易看出濾波器之間的關系。下面從多相結構的角度來討論。8.2

通道濾波器組的多相結構

個濾波器的多相結構AC矩陣的第1行多相矩陣延遲鏈第2類多相結構若為單位陣，那么該濾波器組一定可以實現準確重建。這一分析思路如同兩通道濾波器組同一個通道濾波器組，它可以用混迭分量（AC）矩陣來表示，也可以用多相矩陣來表示，二者有何關系？二者關系8.3混迭抵消和PR條件的多相表示

定理8.1

一個M通道最大抽取濾波器組混迭抵消的充要條件是兩個多相矩陣的積循環矩陣為偽循環矩陣偽循環矩陣時域關系證明：由：有：輸出：交換求和次序，得混迭分量去除之去除的方法定義：去除混迭可表為因為欲證明是偽循環矩陣，需要先分析 的特點由上一頁和之間的關系，可得：證畢！定理8.2證明：PR的首要條件是去除混迭失真，即定義：

一個通道最大抽取濾波器組實現準確重建的充要條件是定義：

則：希望：需要：所以：只能包含1項設處不為零，該項是證畢！8.４通道濾波器組的設計

為偽循環矩陣去除混迭失真實現PR分塊偽“單位陣”直接求有困難放棄！先設計求假定是仿酉矩陣于是實現PR由求出分析和綜合濾波器組現在的問題是：如何設計出仿酉、且使具有所要求的性質的

？方法：將分解成一系列簡單 仿酉矩陣的積。目的：將分解為的級聯

的實現定義：仿酉矩陣常數陣

的實現將進一步分解：對角陣常數陣的實現

范數＝1的向量矩陣的實現分解的思路：設計出仿酉、且使具有所要求的性質的

總結分解的過程如下：由此，最后由如下兩組向量來決定：如何求？最優化M個分析濾波器阻帶能量的和三通道濾波器組的幅頻響應例8.5調制濾波器組

8.5.1DFT濾波器組8.5.2DFT濾波器組解釋8.5.3DFT濾波器組的多相結構8.5.4余弦調制濾波器組

前面介紹的設計方法是在最優的準則下分別設計出個分析濾波器，然后再得到個綜合濾波器。實際上可由一個低通原型濾波器通過調制來得到整個的通道濾波器組，從而簡化設計并減少計算復雜性。復數調制濾波器組，又稱DFT濾波器組；實數調制濾波器組，又稱余弦調制濾波器組。8.5.1DFT濾波器組

信號處理中的常用運算令為一低通濾波器，單位抽樣響應為其頻帶在帶寬為設一組濾波器均來自的移位相互關系DFT濾波器組中的計算問題：

通道濾波器組的一條支路如何高效的求出？令則再令則標準DFT點DFT矩陣計算量分析：1.由于，，故只需設計一個原型低通即可;2.假定，的長度為48，直接求，對一條支路，計算出一個需要48次乘法，將時刻的 全部求出需48*8=384次乘法。3.按上圖，由于的長度都等于48/8＝6，所以將時刻的全部求出所需的乘法是6*8=48次。將再作一個8點的DFT，所需乘法是12次。這樣，完成上圖的運算所需的乘法總共是48+12=60次，這比384次大大減少。8.5.2DFT濾波器組的解釋

令：則：即：在圖中由至之間存在著一個分析濾波器組， （圖中未畫出）。該濾波器組一是由原型低通濾波器作均勻移位而得到的。8.5.1節的濾波器組是通過復數調制得到的濾波器組，而上式是DFT中隱含的濾波器組；它們的區別還在與原型低通濾波器的性質，8.5.1節原型低通濾波器的長度沒有限制，且我們希望它有著特別好的幅頻特性，而上式中的原型低通濾波器是一個點的平均器，或點的梳狀濾波器，其頻率響應是，8.5.3DFT濾波器組的多相結構直接由DFT導出：現在的，更具一般性，即濾波器的性能更自由，更好。8.5.4余弦調制濾波器組

DFT濾波器組的優點：只需設計一個低通原型；可以用FFT來計算M個濾波器的輸出DFT濾波器組的缺點：是復數調制。即使是實的，也是復值的。實數據濾波后變成復的。解決辦法：余弦調制濾波器組實調制，所以濾波器系數是實的；通過快速DCT算法來實現（MPEG音頻標準即是使用余弦調制濾波器組）均勻通道DFT濾波器組：是原型低通濾波器截止頻率帶寬：均勻移位，移余弦調制濾波器組的基本思路：以下是詳細步驟截止頻率帶寬：注意：余弦調制時，原型濾波器的截止頻率和帶寬比DFT濾波器組時減少了一半。Step1:原型低通濾波器的指定實序列Step2:令復序列將和結合起來Step3：為保證結合后每一個濾波器都有著相同的帶 寬，將結合方式稍作變化令則Step4：實現和的結合令幅度為1；保證混迭抵消；保證失真傳遞函數具有線性相位保證是實的也是FIR濾波器幅度為1；保證混迭抵消；保證失真傳遞函數具有線性相位保證是實的,并且是FIR的Step5：綜合濾波器的選擇由前面已選擇Step6：混疊失真去除的討論的輸出包含：都是混疊分量但是，只要在阻帶內有足夠高的衰減，那么只有和頻譜相鄰近的分量才對混疊起到有意義的貢獻，需要去除，故稱為“偽QMF”Step7：混疊抵消對參數的制約出現在的混疊分量是：出現在的混疊分量是：想辦法保證：由由制約關系Step8：去除相位失真對參數的制約

通道濾波器組的失真傳遞函數要求：具有線性相位，全通，實現PR

分析、綜合濾波器也都具有線性相位？如何做到選擇：于是，分析和綜合濾波器都具有線性相位由選擇

和具有相同的相位， 也是如此再選擇可保證具有線性相位，這時，分析濾波器組和綜合濾波器組也都具有線性相位已選擇為了去除在和可能存在的混疊失真，進一步需選擇這樣，參數的值均可確定Step9：的閉合表達式可最后導出：系統的延遲Step10：上述濾波器組的設計關鍵是設計低通原型截止頻率帶寬：線性相位并滿足：保證實際上只能做到近似滿足，優化例設計一個8通道余弦調制濾波器組

余弦調制濾波器組準備重建的條件

上一節討論的CMFB是偽QMFB，它不具備準確重建（PR）的性質，只是接近于準確重建。因此，從CMFB提出開始，人們就在探討如何設計具有準確重建性質的CMFB。由于在通道情況下不像兩通道時有著成熟的譜分解理論，因此實現通道的準確重建有著相當的難度。有關內容可參看講義及文獻

[Hel99]P.N.Heller,T.Karp,etal.Ageneralformulationofmodulatedfilterbanks.IEEETrans.onSignalProcessing,47(4):986—1002,1999有關多抽樣率信號處理的詳細內容，可參看文獻：P.P.Vaidyanathan.MultirateSystemsandFilterBanks.Prentice-Hall,EnglewoodCliffs,NJ.1993.SanjitK.Mitra.DigitalSignalProcessing:AComputer-Based Approch

清華大學出版社2001有關多通道余弦調制濾波器組設計的MATLAB程序，可參看文獻：8.6濾波器組的應用簡介-MP3編碼器

濾波器組的應用即是多抽樣率信號處理的應用，其應用的領域非常廣泛，如通信、音頻和視頻的壓縮編碼、圖像處理與識別、·高速A/D、生物醫學信號處理，等等。現在以MP3編碼器為例介紹濾波器組的應用。MP3是”MovingPicturesExpertGroupAudioLayerIII”的縮寫，即“動態圖像專家組標準音頻層面3”。MP3是一種音頻壓縮標準，或壓縮格式，它是有損壓縮，壓縮比可達1：8至1：12，對應于192至128kb/s的比特率，但其播放出的音樂質量聽起來比沒有壓縮之前沒有明顯的區別。MP3輸出的比特率最低是32kb/s，但它只是對應一般的語音信號，最高可達320kb/s。一般情況下默認128kb/s。以MP3格式壓縮后的文件以.mp3為后綴。MP3也是一個解碼器，或一個硬件的播放器，火柴盒大小的一個MP3可以存儲幾百首歌曲（取決于存儲介質的容量）。因此，由于其音質好、體積小、價位低而獲得人們的喜愛。MP3編碼器主要由四部分組成，即32通道濾波器組，改進的離散余弦變換（MDCT），心理聲學模型，非均勻量化器及霍夫曼編碼，如圖8.6.1所示。現對他們給以簡要的解釋。輸入到濾波器組的音頻信號的抽樣頻率可能是32,44.1或48kHz。考慮是48kHz，經32通道濾波器組分頻后，每一個通道輸出帶寬是24kHz/32=750Hz。音頻信號進入濾波器組前被分成長度為1152點的一系列小段（又稱為幀），濾波器組輸出后再經過32倍的抽取，這樣每一小段的長度變成36點。MDCT是modifiedDCT的縮寫，又稱重疊正交變換（LappedOrthogonalitytransform，LOT），與DCT的區別是加長每一幀變換的長度并在幀與幀之間有部分重疊，此即的又一稱呼。眾所周知，DCT具有去除信號中的相關性并將信號的能量集中在少數變換系數上以達到數據壓縮的能力。但DCT變換的長度受到限制，一般是8或16。這樣，變換后必然產生“塊效應“，反映到語音信號里就是周期性的噪聲，這是不允許的。重疊DCT，就是將要變換的每一段數據由

點擴展為

點，DCT變換，依此類推，這樣可有效去除塊效應。且每一小段的前

點和上一段的后

點點相重疊，然后取心理聲學包括聽覺閾值、臨界帶寬及聽覺掩蔽等內容。聽覺閾值是指人耳聽到某一個頻率的聲音需要的最小聲強，其單位是dB。人耳可以聽到的聲音頻率一般為20-20000HZ。但在不同頻率處對聲音的感覺不同，即需要的聲強不同。將不同頻率處所需要的聲強畫出來就可以得到聽力曲線。聽力曲線在網上很容易找到，此處不再給出。實驗發現，聽力好的人能聽到的最安靜的聲音對應于聽力曲線的最小值，略低于0dB，發生在3kHz附近。相比之下，耳語的聲強約為30dB，安靜房間的正常對話在60dB范圍內，不適閾值為120dB。20HZ以下和20000HZ以上的聲音強度再大，人耳也不能感受。顯然，對20-20000HZ頻率范圍內的信號，如果其幅度在聽覺閾值以下，對它們編碼就毫無意義。心理聲學模型根據這一特點指導對DCT輸出的量化和變換的幀長。臨界帶寬（criticalband）聽覺器官的自然屬性。在人和動物的內耳有一個被稱為耳蝸（Cochlea）的器官，負責聲音的感受和傳遞。人們發現，耳蝸對聲音的感受行為是一組具有頻率選擇的帶通濾波器。通過對動物耳蝸中神經纖維頻率響應的測量，發現這些神經濾波器的有效帶寬是不均勻的，并且依賴于聲音的頻率和強度。對人的心理聲學實驗也發現了類似的結果。耳蝸的一個個濾波器的帶寬實際上就是臨界帶寬。在臨界帶寬內，一個純音的感知度往往會受到另一個純音的影響，即掩蔽效應，能量大且頻率相近的純音容易掩蔽另一個。1940年，Fletcher做了一個有名的實驗，即用可變帶寬的窄帶噪聲來掩蔽一個純音。通過調整，令窄帶噪聲的聲強和處在其中心頻率處的一個純音的聲強相同，即感知度一樣。然后不斷增加窄帶噪聲的帶寬，這時噪聲和純音的感知度保持不變，直到噪聲的帶寬達到臨界值，純音的感知度會發生變化，即聲音變響。這表明噪聲對純音的掩蔽效應變小。這一臨界值即是臨界帶寬。因此，也可簡單的說：臨界帶寬是“主觀反應突然變化的帶寬”。

由于在一個臨界帶寬內不同純音的感知響度是一樣的，人們提出了將聽覺范圍20-20000HZ分成了25個臨界頻帶，每一個臨界頻帶的寬度等于一個Bark（又稱BarkScale）。粗略的說，當頻率低于500Hz時，臨界帶寬約為100Hz，當頻率大于500Hz時，臨界帶寬約為100Hz的倍數線性增加。例如，頻率為1000Hz時，臨界帶寬約為200Hz，有關Bark尺度頻率的中心頻率與臨界帶寬的數據很容易在互聯網是查到，此處不再詳述。聽覺掩蔽使得一種聲音（純音或帶限噪聲）會因另一種在其頻率附近且聲強較大的聲音的存在而變得聽不見（即“掩蔽”）。聽覺掩蔽有兩種，一是同時（simultaneousmasking，又稱頻域掩蔽，另一種是不同時掩蔽(temporalmasking，又稱時間掩蔽)。人們進行了如下實驗：在臨界帶寬12處，播放一個頻率為1450Hz、強度為80dB的純音，我們稱它為掩蔽音（又稱掩蔽器），然后再播放另一個純音（試驗音），并不斷調整其頻率和強度，直到它被聽見。試驗音和掩蔽音能區分開的頻率位置和聲音強度稱為掩蔽閾值。在同樣的聲強下，如80dB，其掩蔽閾值隨頻率的變化而變化，將這些掩蔽閾值連起來就得到掩蔽曲線。掩蔽器頻率較低時，其掩蔽范圍可能會覆蓋多個臨界頻帶。顯然，若一個聲音的強度在掩蔽曲線以下，它將不會被聽到，對這樣的聲音將不需要編碼，這正是MP3編碼器所依據的聽覺原理。音頻信號在進入濾波器組的同時被加窗變為1024點，然后做FFT，以得到該幀信號的功率譜估計。心理聲學（模型的主要任務就是識別疊加在音樂信號中的純音掩蔽器和噪聲掩蔽器的頻率位置及它們的強度，并得到掩蔽曲線。與此同時，心理聲學模型根據人的聽力特性調整MDCT每一幀的長度，并將32個通道的MDCT系數重新組合為25個帶，以匹配聽覺的臨界帶寬。

非均勻量化器及霍夫曼編碼模塊再一次實現信號的壓縮。MDCT是有損壓縮，得到的變換系數在心理聲學模型的指導下被量化，量化的原則是對每一個變換系數賦予盡可能少的bit數，并保證量化噪聲要在掩蔽曲線以下而不混入音樂信號。當然，在聽覺曲線下的聲音也將不會被編碼。霍夫曼編碼是一種無損編碼，其原則是對出現概率大的“事件“給以少的bit，反之給以多的bit。由上面的討論可知，MP3在編碼端的算法是相當復雜的，且計算量也是非常大的。但在解碼端的算法卻較為簡單，因此MP3播放器可以用便宜的芯片來實現，因此，不但體積小而且價格低廉，因此受到人們的歡迎。由上面的討論可以看出，MP3編碼器的確是生理學、心理學和信號處理完美結合的一個范例。Historically,avarietyofaudiocompressiontechniqueshavebeendevelopedthathavebeenfoundtobeacceptableforencodingspeechatbitratesbelow5kb/s,forexample,linearpredictivecoding(LPC)andCodeExcitedLinearPrediction(CELP)butthesetechniquesarenotadequatetoencodehigh-qualitymusic.Beginninginthemid1980s,KarlheinzBrandenburg,thenagraduatestudentattheUniversityErlangen-Nuremberg,beganworkingontheapplicationofhumanpsychoacoustics–thatis,modelsofhumanauditoryperceptionofsounds–tothedevelopmentofhigh-qualitydigitalaudiocodingalgorithms.Theresultsofhisresearch,forwhichhereceivedhisPh.D.in1989,formthebasisofthecurrentMP3algorithmaswellasmostothermodernadvancedcodecsinusetoday.第三篇小波變換小波變換第9章小波變換基礎第10章離散小波變換的多分辨率分析第11章正交小波構造第12章雙正交小波、小波包及小波提升方案第13章基于小波變換的信號奇異性檢測及去噪第9章小波變換基礎9.1小波變換的定義9.2小波變換的特點9.3連續小波變換的計算性質9.4小波變換及小波容許條件9.5重建核與重建核方程9.6小波的分類9.7連續小波變換的計算9.8尺度離散化的小波變換及小波標架9.1小波變換的定義

定義：給定

小波變換（WaveletTransform）

可得到一族函數

令：

及：

基本函數，母小波伸縮和移位變量給定信號

定義

幾點說明：1.

母小波和信號都應當是能量信號；2.可以是實函數，也可以是復函數；為信號

的小波變換。

是尺度變量，是移位變量，二者都可是連續的，也可以是離散的。的范圍是；的范圍是可以看作是一族基函數，因此，信號的小波變換可以看作是信號在這一族基函數上的分解；小波變換是雙變量和的函數，由后面的討論可知，小波變換也是時頻分布的一種表示形式。6.的作用是保證作伸縮和位移后，能量不變：的作用是把基本小波作伸縮，從而改變分析的頻率中心，同時也決定了頻域分析的分辨率；的作用是決定對分析的時間中心，如下圖所示：8.由上面的討論可知，小波分析猶如用一個顯微鏡觀察一個物體，如圖所示。小波：“數學顯微鏡”。鏡頭推進方向鏡頭平移方向以較高頻率進行分析以較低頻率進行分析9.小波變換也可以從頻域來定義：證明：Parsevals定理結論得證！10.小波，顧名思義，是一個“小的波”，我們希望它在時域和頻域都是緊支撐（compactlysupported)的，當然，還希望它有著一系列其他好的性質，后面討論。墨西哥草帽小波Haar小波11.小波理論是80年代后期發展起來的應用數學分支。法國地球物理學家：J.Morlet于1984年提出了將地

震波以一個確定性函數的伸縮和位移作分解；法國地球物理學家：A.Grossmann關于小波標架；法國地球數學家：Y.Meyer中的正交基法國學者：S.Mallat多分辨率分析；法國學者：I.Daubechies:

正交、雙正交小波構造；1988NSF/CBMS:“小波十講”小波發展的“法國學派”有關小波發展的歷史，請參看：I.Daubechis.Wheredowaveletcomefrom?—Apersonalofview.Proc.IEEE,84(5),p510~513,1996有關小波軟件：MATLAB“WaveletToolbox”,有關小波的主要參考文獻：

I.Daubechies.TenLecturesonWavelets.SIAM, I.Daubechies.Thewavelettransform,time-frequency localization andsignalanalysis.IEEETrans.Info. Theory,.36(5):961—1005,1990A.Cohen,I.Daubechies.Biorthogonalbasesof compactly supportedwavelets.Commun.OnPureandAppl.Math., 45:485—560.1992

A.Mertins.SignalAnalysis:Wavelet,FilterBanks,Time- FrequencyTransformsandApplications. S.Mallat.AWaveletTourofSignalProcessing.1997（1999年 第2版，有中文譯本）C.K.Chui.AnIntroductiontoWavelets.Academic Press,New York,1992（有中文譯本）楊福生.小波變換的工程分析與應用，北京：科學出版社，19999.2小波變換的特點

如果在時域是有限支撐的，那么

在時域也是有限支撐的。如果在頻域是帶通的，且是有限支撐的，那么在頻域也是有限支撐的。

這是所希望的。能否找到這樣的小波？時間中心時寬頻率中心帶寬伸縮前：伸縮后：伸縮前后時寬－帶寬積不變定義：母小波的品質因數帶寬/頻率中心不論取何值，和具有相同的品質因數，這一性質稱為小波變換的恒性質。在中間頻段在低頻段頻域范圍變窄，頻率分辨率提高在高頻段頻域范圍變寬，頻率分辨率變差時窗變寬，時間分辨率變差時窗變窄，時間分辨率變好對快變信號，一般持續時間短，我們希望有好的時間分辨率，對頻率分辨率不作強求；反之，對慢變信號，我們希望有好的頻率分辨率，對時間分辨率不作強求；快變信號，其頻率成分自然在高頻處；慢變信號，其頻率成分自然在低頻處。由此可以看到，小波變換可自動滿足這一要求。

注意圖中，矩形的面積不變，即小波變換的時寬－帶寬積保持不變，一方面說明小波變換可根據實際需要調整時－頻分辨率，另一方面也說明，小波變換也要遵循信號時寬－帶寬積的基本原理（或不定原理）。小波變換和其它信號分析方法的區別：

傅立葉變換：基函數：時域無窮長正弦，頻域函數基函數：頻域無窮長正弦，時域函數無定位功能，也不能根據實際需要（快變與慢變）調整分辨率。短時傅立葉變換：在STFT中，只有窗函數的移位，沒有時間的伸縮。位移的大小不會改變基函數，即復指數的頻率中心及帶寬；沒有影響窗函數，所以STFT不具備恒性質。反之，當基函數的頻率變化時，如由調制頻率變快影響頻率中心，不影響帶寬STFT不具備恒

性質，也不具備隨著分辨率變化而自動調節分析帶寬的能力2Ω0Ω0/2Ω0

譜圖（Spectogram)尺度圖（Scalogram）尺度圖是隨位移和尺度的能量分布，實質上也是一種時－頻分布。因為小對應高頻，大對應低頻。Wigner分布Wigner分布和小波變換的關系通道濾波器組和小波有著密切的關系，其思想都是對信號做子帶分解。通道均勻濾波器組強調每一個子帶信號有著相同的帶寬，這和小波不同。但是，樹狀濾波器組和離散小波的概念非常類似。WVD1．時移性質9.3連續小波變換的計算性質

2．尺度轉換性質3．

微分性質4.兩個信號卷積的CWT

5．

兩個信號和的CWT線性變換，不是能量分布

分別是和的幅角

有交叉項

在Cohen類時頻分布中，交叉項出現在兩個自項的時頻中心，而尺度圖中交叉項出現在兩個分量都不為零處。6.小波變換的內積定理

Parseval定理的各種表現形式：小波變換的Parseval關系？

設定理9.3.1則式中：如果：則：小波變換Parseval定理的表示形式在上面的關系中定理9.3.1的證明：由代入假定積分存在則9.4小波反變換及小波容許條件定理9.4.1則可由其小波變換來恢復，即

容許條件（admissibilitycondition）

如果令

證明：證畢！由幾個重要結論：并不是任一滿足的時域函數都可以充當小波；可以充當小波的必要條件是其傅立葉變換滿足容許條件；結論：小波一定是帶通函數！2.由要求：必有？3.由于所以另外：窗函數的基本要求？以上幾條大致勾畫出了小波的特點，即是帶通函數，是正、負振蕩的，當然，我們還希望它在時域與頻域都是有限支撐，故稱“小波（Wavelet)”是振蕩的小波變換的穩定性條件：尺度離散化FT上式即是小波變換的穩定性條件

滿足此式的小波稱為“二進制（dyadic)小波即傅里葉變換有界要求在任一尺度下：當9.5重建核與重建核方程

問題的提出：前面已指出，并不是任一滿足的時域函數都可以充當小波；可以充當小波的必要條件是其傅立葉變換滿足容許條件；反過來，并不是平面上的任一個二維函數都對應某一時域信號的小波變換。如果是，它應滿足如下的重建核方程。定理9.5.1

上的二維函數是某一函數的小波變換的充要條件是它必須滿足重建核方程:重建核

重建核方程的含意：若是的小波變換，那么在平面上某一點處小波變換的值可由半平面上的值來表示，即是半平面上的總貢獻。既然平面上各點的可由重建核方程互相表示，因此這些點上的值是相關的，因此小波反變換是存在信息冗余的。這一結論告訴我們