現代信號處理教程（第三版）課件 第1章 信號分析基礎

第1篇

時頻分析第1章信號分析基礎1.1信號的時間和頻率1.2克服傅里葉變換不足的一些主要方法1.3信號的時寬與帶寬1.4不定原理1.5信號的瞬時頻率1.6信號的分解1.7信號的正交分解1.8標架的基本概念1.9

Poisson和公式1.10

Zak變換1.1信號的時－頻聯合分析前言：對一個給定的信號，我們可以用眾多的方法來描述它。在這些眾多的描述方法中，有兩個最基本的物理量，即時間和頻率。顯然，時間和頻率與我們的日常生活關系最為密切，我們時時可以感受到它們的存在。時間自不必說，對頻率，如夕陽西下時多變的彩霞，音樂會上那優美動聽的旋律以及在一片寂靜中突然冒出的一聲刺耳的尖叫等，這些都包含了豐富的頻率內容。正因為如此，時間和頻率也成了描述信號行為的兩個最重要的物理量。傅里葉變換的不足：1.不具有時間和頻率的“定位”功能;2.傅里葉變換對于非平穩信號的局限性3．傅里葉變換在分辨率上的局限性傅立葉變換：為克服傅里葉變換的不足，人們提出了很多方法，這些方法構成了現代信號處理的豐富內容。聯系了時間和頻率1.傅里葉變換在時間、頻率“定位”的不足：反之，如果我們想求某一個時刻，如處的值，需要；需要；如果我們想求一個信號，如，在某一個頻率，如處的值，則例信號x(n)由三個不同頻率的正弦組成，即思考：的頻譜是什么樣子？我們希望知道：在哪一個時刻（或哪一段時間）產生了我們所要考慮的頻率，或反之，如下例：信號的時－頻聯合分析：(a)信號，（b）的頻譜；(c)的時頻分布；（d）時頻分布的三維表示

2.傅里葉變換對于非平穩信號的局限性：頻率不隨時間變化的信號稱為時不變信號。即對該信號的一次記錄（或一次觀察）得到的信號所做的傅里葉變換和過一段時間后再記錄該信號所做的傅里葉變換基本上是一樣的。這樣，信號的傅里葉變換與時間無關。傅里葉變換只適合于時不變的信號。在時不變的情況下，信號可展開為無窮多復正弦的和，而這無窮多復正弦的幅度、頻率和相位都不隨時間變化。常數。頻率隨時間變化的信號又稱為時變信號，又稱這一類信號為“非平穩”信號，而把頻率不隨時間變化的時不變信號稱為“平穩”信號。傅里葉變換反映不出信號頻率隨時間變化的行為，因此，它只適合于分析平穩信號，而對頻率隨時間變化的非平穩信號，即時變信號，它只能給出一個總的平均效果。最常用的是：瞬時頻率時間的函數

圖(a)是時域波形，圖(b)是頻譜。圖(c)是時－頻分布表示,圖(d)是圖(c)的立體表示。例chirp信號3.傅里葉變換在分辨率上的局限性：“分辨率（resolution）”是信號處理中的基本概念，它包括頻率分辨率和時間分辨率，其含義是指對信號能作出辨別的時域或頻域的最小間隔（又稱最小分辨細胞）。頻率分辨率是通過一個頻域的窗函數來觀察頻譜時所看到的頻率的寬度，時間分辨率是通過一個時域的窗函數來觀察信號時所看到的時間的寬度。顯然，這樣的窗函數越窄，相應的分辨率就越好。分辨能力的好壞一是取決于信號的特點，二是取決于信號的長度，三是取決于所用的算法。希望既能得到好的時間分辨率又能得到好的頻率分辨率，然而，由不定原理可知，二者不可能同時達到最好。不定原理是信號處理中的基本原理，不可能違背，但是在實際工作中可以根據信號的特點及信號處理任務的需要選取不同的時間分辨率和頻率分辨率。例如，對時域快變的信號，希望時域的分辨率要好（即觀察間隔盡量短），以保證能觀察到該瞬變信號發生的時刻及瞬變的形態，這時要忽視頻率分辨率；反之，對時域慢變的信號，沒有必要強調時域分辨率而轉而強調頻率分辨率。好的信號分析算法，應能適應信號的特點自動調節時域分辨率和頻域分辨率。以前我們只強調頻域分辨率，而基本上沒有考慮時域分辨率，更沒有把二者結合起來考慮。實際上，二者都是需要的。傅里葉變換：基函數在頻域是位于處的函數。因此，用傅里葉變換來分析信號的頻域行為時，它具有最好的頻率分辨率。但是，在時域對應的是正弦函數，時域的持續時間是從，因此，在時域有著最壞的時間分辨率。對傅里葉反變換，分辨率的情況正好相反。基函數信號截短是信號處理中的基本問題，等效使用矩形窗。矩形窗的寬度和其頻譜主瓣的寬度成反比。時域取得越短，即保持在時域有高的分辨率，其頻譜的主瓣變寬導致頻域的分辨率下降。這既體現了不定原理的制約關系也體現了傅里葉變換在時域和頻域分辨率方面所固有的矛盾。顯然，傅里葉變換無法根據信號的特點來自動的調節時域及頻域的分辨率。方法一:STFT(ShortTimeFourierTransform)基函數

1.2克服傅里葉變換不足的一 些主要方法加窗傅里葉變換二維函數方法二：聯合時頻分析Cohen分布：

二維函數Cohen類分布變成Wigner-Ville分布Gabor變換與信號的Gabor離散展開：Gabor展開Gabor展開系數Gabor展開的核 函數該二維函數：1.應是時間和頻率的聯合函數；2.可反映信號能量隨時間和頻率變化的形態；3.應既具有好的時間分辨率，同時又具有好的頻率分辨率。給定一維信號找到二維函數方法三：小波變換找到一個基本函數

并記的伸縮與位移

a:是尺度定標常數，決定頻率中心及帶寬;b:是位移，決定分析位置；又稱為基本小波或母小波。

和這一族函數的內積即定義為的小波變換方法四、信號的子帶分解將信號的頻譜均勻或非均勻地分解成若干部分，每一個部分都對應一個時間信號，我們稱它們為原信號的子帶信號。對信號x(n)，我們欲將其傳輸，若用數字方法，其傳輸過程包括數字化、量化、編碼及調制等步驟。若對該信號用抽樣頻率fs進行抽樣，每一個抽樣數據為16bit，那么其1秒數據所需要的bit數是16fs。例

能否保證在傳輸信號不失真的情況下，減少所用的bit數？我們發現x(n)的頻譜集中在歸一化頻率0.08及0.15處，而從0.25～0.5處的能量很小。解決方法分別用一個低通濾波器H0(z)和一個高通濾波器H1(z)進行濾波H0(z)↓2H1(z)↓2方法五、信號的多分辨率分析上述方法是將信號的頻譜均勻地分成M等分，為了適應在不同頻段對時域和頻域分辨率的不同要求（快變信號要求好的時間分辨率，降低頻率分辨率；慢變信號要求好的頻率分辨率，降低時間分辨率），我們可以將信號的頻譜做非均勻分解。下面的分解過程就形成了多分辨率分析的基本內容。

其中f1=1Hz,f2=20Hz，f3=40Hz,fs=200Hz,這樣保證了對每一個正弦分量都可采到整周期。設數據長度取400點，現希望能將的抽樣中的三個正弦信號分離出來。例設信號信號二進制分解的實現現在我們用二等分的方法將其頻帶逐級分開

在信號處理中，信號的“時間中心”“時間寬度（time-duration）”“頻率中心”“頻帶寬度（frequence-bandwidth）是非常重要的概念。它們分別說明了信號在時域和頻域的中心位置以及在兩個域內的擴展情況。是討論各種信號處理算法的基礎。1.3信號的時寬與帶寬

概念：信號能量：時間中心：頻率中心：

瞬時頻率(IF)復信號x(t):實信號x(t):的Hilbert變換：直接求出“頻率中心”:則：時間寬度：頻率寬度：時寬和帶寬：

時寬－帶寬積：又一定義

令：實高斯信號，可求出，歸一化高斯信號。可求出：例高斯信號的傅里葉變換仍然是高斯的，中心在例記上例中的高斯信號為，令則x(t)為一高斯幅度調制信號，調制頻率為。由此可以看出，該例和上例不同的是頻率中心變成了，但由于該例是純正弦調制，故信號的帶寬、時寬及時寬－帶寬積沒有改變。該例和上例不同的是頻率中心變成了，但由于該例是純正弦調制，故信號的帶寬、時寬及時寬－帶寬積沒有改變。

圖(a)是一個高斯信號與一chirp信號的乘積稱之為“高斯幅度調制chirp信號”，圖(b)是其頻譜。可求出：例該信號的時寬－帶寬積大于1。

給定信號，設其能量為，時間中心，頻率中心分別是和，時寬和帶寬分別是和，令其中為常數，現研究的能量,時、頻中心及時寬與帶寬。例Q為信號的“品質因數”：

品質因數＝信號的帶寬/信號的頻率中心1．4 不定原理

（UncertaintyPrinciple）

給定信號x(t)，若，則

當且僅當x(t)為高斯信號，即等號成立。定理1.1證明：不失一般性，假定：則于是由于是的傅里葉變換再由Schwarz不等式，有由Parseval定理，有由于及假定，故上式所以，即當時等號成立，信號具有高斯形式。不定原理是信號處理中的基本定理，又稱Heisenberg測不準原理，該定理指出:對給定的信號，其時寬與帶寬的乘積為一常數。當信號的時寬減小時，其帶寬將相應增大，當時寬減到無窮小時，帶寬將變成無窮大，反之亦然。這就是說，信號的時寬與帶寬不可能同時趨于無限小，這一基本關系是時間分辨率和頻率分辨率的制約關系。在這一基本關系的制約下，人們在竭力探索既能得到好的時間分辨率又能得到好的頻率分辨率的信號分析方法。令代表對的變換，為變換的基函數。如果在時域和頻域都是緊支撐（Compactsupport)，則稱是一個“時頻原子（atom）”。在時域分析的寬度（分辨率），受到時寬的限制；在頻域分析的寬度（分辨率），受到帶寬的限制；對做時頻聯合分析，其在時域和頻域的分辨率受由,所決定的矩形面積的限制。該矩形稱為HeisenbergBoxes.1.5 信號的瞬時頻率

瞬時頻率？傅里葉頻率？如果是復信號，可把它寫成的形式，若是實信號，可通過Hilbert變換得到與相對應的解析信號,也可寫作的形式，瞬時頻率定義為

傅立葉頻率是一獨立的量，瞬時頻率是時間的函數；傅立葉頻率和瞬時頻率有如下幾方面的區別：信號的均值頻率（中心~）是其IF在整個時間軸上的加權平均，權函數是，只有當信號為純正弦時，其均值頻率才等于其瞬時頻率。傅立葉頻率是“全局性”的量，是信號在整個時間區間內的體現，IF是信號的“局部”體現，理論上講，它應是信號在該時刻所具有的頻率。傅立葉頻率傅立葉變換，瞬時頻率Hilbert變換是時間的函數若在任意時刻，都是單值的，則稱該信號為：

“單頻率分量（mono-component)”信號否則，稱為：

“多頻率分量（multi-component)”信號？瞬時頻率的定義是否適用于多分量信號？

設由兩個chirp信號相加而成，它們有著相同的幅度，第一個chirp信號的頻率在0～0.3之間線性變化，第二個在0.2～0.5之間線性變化。例圖(a)是信號的時域波形，(c)是實際的瞬時頻率。顯然，在任一時刻，該信號都包含兩個頻率分量。圖(b)是按定義計算出的瞬時頻率，它在任一時刻都是單值的，其形狀不能反映該信號頻率變化的實際內容。實際上，對瞬時頻率的定義只是對單分量信號適應，而對多分量信號，該定義給出的結果是在該時刻其瞬時頻率的平均值，更確切地說，應是信號的“平均瞬時頻率”。解析信號的解釋:總有意義？只有當和的頻譜能完全分開時，這樣的解析信號才有意義，才能用（1.5.5）式去求信號的IF。互為正交分量？什么條件下：①如果的頻譜只在區間的范圍內有值，即是低通信號；②如果的頻譜在的范圍內，即處在高頻率端，那么：上述結論給出了一個實信號和其Hilbert變換構成正交分量的條件，實際上也是將一個實信號構成解析信號是否有物理意義的條件。1.6信號的分解

設空間N維向量可將x

按這樣一組向量作分解，即稱為信號的離散表示（discreterepresentation）。是分解系數

如何求求分解系數？:

設想在空間中另有一組向量，

滿足如下關系：Step1Step2做內積：如果是完備的、線性相關的，那么，由上式的表示必然會存在信息的冗余，對偶向量也不唯一。這時，我們稱有可能構成空間的一個“標架（frame）”。如果空間中的任一元素都可按下式作分解，那么稱這一組向量是“完備complete）”的；可能的幾種情況：如果是完備的，且是線性無關的，則是中的一組基向量，這時，存在且唯一，即存如下雙正交關系：互為雙正交基則構成空間的一組正交基。如果不是正交的,也不是正交的，但如何求出對偶基？由于和都假定是N維空間中的基向量，所以可表為的線性組合：令由于雙正交則注意：上述求解方法只適用于雙正交基，對 標架的情況不適用。再令：由：可求出1.7 正交變換

正交變換的重要性質：性質2：展開系數是信號在基向量上的準確投影。性質1：正交變換的基向量即是其對偶基向量，因 此在計算上最為簡單。滿足最小的條件：性質3：正交變換保證變換前后信號的能量不變， 此性質又稱為“保范(數)變換”。性質4：信號正交分解具有最小平方近似性質。性質5：正交變換的系數具有去除相關和集中能 量的性質。

若，是一組正交基，則定理1.7.1是一個原型函數，其傅立葉變換為若是兩組正交基，即證明：因為，是一組正交基，所以線性組合FTDTFTParseval關系Parseval關系小波變換將用到該性質正交變換的實例：FSDFTDCT，DST,DHT，K-L正交基的選擇

原則具有所希望的物理意義或實用意義。正交基函數應盡量簡單，計算量小。最大限度濃縮信號能量，去除相關性。基函數應能同時具有頻域和時域的定位功能。1.8標架(frame)的基本概念問題的提出：1.對信號一維分解，用于分解的一組函數，可能是線性相關的、線性獨立的或是正交基，在非正交基的情況下存在信號分解的完備性和重建的穩定性問題；2.本課要重點討論的多是時間－頻率的二維聯合分布，如短時傅里葉變換、Gabor變換、Wigner分布及小波變換等，即找到實現時頻聯合分析①

如何找到二維的正交基函數？

②

當實現上述內積時,應離散化，得到時頻柵格:構成一組正交基？構成一組基？如果不能構成一組基，那么在什么條件下可保證對信號的分解是完備的、并可穩定實現信號的重建？如何保證？在二維平面的離散柵格上，求得正交基較為困難，有時，信息冗余對分解的穩定性有好處。因此，一般性地討論在非正交基的情況下信號分解的完備性和重建的穩定性有著重要的意義。標架的基本概念

設是Hilbert空間H中的一組向量（或一組函數），對任一信號，如果存在常數，滿足 ，并使下式成立

定義1.8.1：注意范數和絕對值的應用則稱構成一個標架。顯然，標架是Hilbert空間中的一組向量。關于標架定義的說明：標架是Hilbert空間中的一組向量,或一組函數，或二維向量或函數。2.由：信號能量：變換域能量，為保證重建原信號，它必須是有界的。因此3.如果是正交基，則，現僅要求，所以可能線性相關4.令（1）如果，則應有；反之亦然，這一性質稱為變換的唯一性（2）如果

和很接近，那么和也 應很接近，此性質稱為變換的連續性。則令（3）如果和很接近，那么和也應很接近，此性質稱為反變換的連續性。即將上面兩個式中合起來，即是標架的定義。如果則稱構成一個“緊（tight）標架”冗余度測量；緊標架時

如果構成一緊標架,且， 則是一正交基。標架理論于1952年提出，后被引入信號處理領域。用來研究信號離散表示的完備性、穩定性、冗余性。總之，滿足標架條件的一組向量在用于信號的分解時，可以給出完備的、穩定的信號分解，但是，這種分解很可能是有冗余的。在緊標架的情況下，其冗余的程度由參數

來度量。定理1.8.1是二維平面中互相垂直的單位向量。顯然

并不正交，且是線性相關的。用來分解信號，在分解系數上必然存在冗余。例：令：設在該二維平面中有一向量，所以構成緊標架，它用它們來表示信號，將產生冗余。設是一個標架，定義標架算子為：

定義1.8.2：即標架算子將映射為。思考：正交基情況？

如果是標架算子，則可證明如下結論：（1）是有界的，即定理1.8.2：恒等算子，即標架問題主要討論信號的重建問題，即如何由求出，為此，需要引入標架算子的概念：（2）．若可逆，則逆算子 也有