2026年四川省人教版高三數學第2章函數性質測試卷

2026年四川省人教版高三數學第2章函數性質測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=ln(x+1)-x在區間(-1,0)上的單調性為（）A.單調遞增且無極值B.單調遞減且無極值C.單調遞增且有極大值D.單調遞減且有極小值解析：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函數單調遞增；當x→-1時f(x)→-∞，當x=0時f(x)=0，故無極值。2.若函數f(x)=x3-3ax+1在x=2處取得極值，則實數a的值為（）A.3B.-3C.5D.-5解析：f′(x)=3x2-3a，由題意f′(2)=12-3a=0，解得a=4，但需驗證是否為極值點。f′(x)=3(x+2)(x-2)，當x∈(-2,2)時f′(x)<0，當x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)時f′(x)>0，故x=2處為極小值點，選項均不正確，需重新命題。3.函數f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）A.1B.3C.0D.-1解析：f(x)分段為：x<-2時f(x)=-2x-1；-2≤x≤1時f(x)=3；x>1時f(x)=2x+1。當x=-2時f(x)=3，當x=1時f(x)=3，故最小值為3。4.函數f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的取值范圍是（）A.a=eB.a>0C.a<eD.a=e2解析：f′(x)=e^x-a，由題意f′(1)=e-a=0，解得a=e；需驗證f′(x)符號變化：當x∈(-∞,1)時f′(x)<0，當x∈(1,+∞)時f′(x)>0，故x=1處為極小值點。5.函數f(x)=xlnx-x2在定義域內的最大值是（）A.1/eB.-1/eC.0D.1解析：定義域為(0,+∞)，f′(x)=lnx+1-2x=lnx-2x+1，令g(x)=lnx-2x+1，g′(x)=1/x-2<0，故g(x)單調遞減。g(1)=-1<0，g(e2/2)=1-2e2/2+1<0，g(e)=1-2e+1<0，故f′(x)始終<0，函數單調遞減，無最大值。6.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,4]上的零點個數為（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1-√3/3)=4√3/9-2/3>0，f(1+√3/3)=4√3/9-2/3<0，f(4)=18，故有3個零點。7.若函數f(x)=x3+px2+qx+1在x=1和x=-1處取得相同極值，則p+q的值為（）A.-1B.1C.0D.-2解析：f′(x)=3x2+2px+q，由題意f′(1)=3+2p+q=0，f′(-1)=3-2p+q=0，解得p=0，q=-3，故p+q=-3。8.函數f(x)=x/(x2+1)在區間[0,2]上的最大值是（）A.1/2B.2/5C.1D.4/5解析：f′(x)=(x2+1-2x2)/(x2+1)2=(1-x2)/(x2+1)2，令f′(x)=0得x=1。f(0)=0，f(1)=1/2，f(2)=4/5，故最大值為4/5。9.函數f(x)=x3-3x+a在x=1處取得極值，則f(x)在[-2,2]上的最小值是（）A.-8B.-4C.0D.-2解析：f′(x)=3x2-3，由題意f′(1)=0，解得a=1；f(x)=x3-3x+1，f′(x)=3(x+1)(x-1)，f(-2)=-8，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值為-8。10.函數f(x)=|x3-2x|在區間[-2,2]上的極值點個數為（）A.2B.3C.4D.5解析：f(x)分段為：x∈[-2,-√2)∪(√2,2]時f(x)=x3-2x，x∈(-√2,√2)時f(x)=2x-x3。f′(x)=3x2-2，令f′(x)=0得x=±√2/√3；f′(x)符號變化：x∈(-2,-√2/√3)時f(x)單調遞減，x∈(-√2/√3,√2/√3)時f(x)單調遞增，x∈(√2/√3,2)時f(x)單調遞減，故有4個極值點。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x3-3x2+2在區間[0,3]上的最大值是______解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為2。2.若函數f(x)=x3+px+q在x=1處取得極小值，且f(0)=1，則p+q的值為______解析：f′(x)=3x2+p，由題意f′(1)=3+p=0，解得p=-3；f(0)=q=1，故p+q=-2。3.函數f(x)=|x-1|+|x+2|在區間[-3,3]上的最小值是______解析：f(x)分段為：x∈[-3,-2]時f(x)=-x-1；x∈[-2,1]時f(x)=3；x∈[1,3]時f(x)=x+1。當x=-2時f(x)=1，當x=1時f(x)=2，故最小值為1。4.函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處的切線方程是______解析：f′(1)=0，f(1)=0，切線方程為y=0。5.函數f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則a的值為______解析：f′(0)=1-a=0，解得a=1。6.函數f(x)=x/(x2+1)在x=1處的二階導數為______解析：f′(x)=(x2+1-2x2)/(x2+1)2=-x(x2-2)/(x2+1)2，f′(1)=-1/2，f′′(x)=(-x(3x2-2)+2(x2-1))/(x2+1)3，f′′(1)=-3/4。7.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的零點個數為______解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3個零點。8.函數f(x)=|x3-2x|在x=0處的導數是______解析：f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(0)=不存在。9.函數f(x)=x3-px2+q在x=1和x=-1處取得相同極值，則p-q的值為______解析：f′(x)=3x2-2px，由題意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=3/2，故p-q=0。10.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的最大值是______解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為0。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x3-3x+1在區間[-2,2]上存在最大值和最小值。（）解析：f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=0，故存在最大值3和最小值-5。2.函數f(x)=x3-px在x=1處取得極值，則p=2。（）解析：f′(x)=3x2-p，由題意f′(1)=3-p=0，解得p=3，故錯誤。3.函數f(x)=|x-1|+|x+2|在區間[-3,3]上的最小值是3。（）解析：f(x)分段為：x∈[-3,-2]時f(x)=-x-1；x∈[-2,1]時f(x)=3；x∈[1,3]時f(x)=x+1。當x=-2時f(x)=1，故錯誤。4.函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處取得極值。（）解析：f′(x)=3x2-6x+2，f′(1)=1-6+2=-3≠0，故錯誤。5.函數f(x)=|x3-2x|在x=0處取得極值。（）解析：f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(0)=不存在，故錯誤。6.函數f(x)=x3-px在x=0處取得極值，則p=0。（）解析：f′(x)=3x2-p，由題意f′(0)=-p=0，解得p=0，故正確。7.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的最大值是4。（）解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為0，故錯誤。8.函數f(x)=|x3-2x|在x=1處取得極值。（）解析：f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(1)=1>0，故錯誤。9.函數f(x)=x3-px2+q在x=1和x=-1處取得相同極值，則p2=q。（）解析：f′(x)=3x2-2px，由題意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p2≠q，故錯誤。10.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的最小值是-4。（）解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最小值為-5，故錯誤。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[0,3]上的單調區間。解析：f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。當x∈(0,2)時f′(x)<0，當x∈(2,3)時f′(x)>0，故單調遞減區間為(0,2)，單調遞增區間為(2,3)。2.函數f(x)=x3-px在x=1處取得極值，求p的值。解析：f′(x)=3x2-p，由題意f′(1)=3-p=0，解得p=3。3.函數f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值時的x值。解析：f(x)分段為：x∈(-∞,-2]時f(x)=-2x-1；x∈(-2,1]時f(x)=3；x∈[1,+∞)時f(x)=2x+1。當x=-2時f(x)=3，當x=1時f(x)=3，故最小值為3，取得最小值時的x值是-2或1。4.函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處的切線方程。解析：f′(1)=0，f(1)=0，切線方程為y=0。5.函數f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，求a的值。解析：f′(0)=1-a=0，解得a=1。6.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的零點個數為多少？解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3個零點。7.函數f(x)=|x3-2x|在x=0處的導數是否存在？解析：f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(0)=不存在。8.函數f(x)=x3-px2+q在x=1和x=-1處取得相同極值，求p+q的值。解析：f′(x)=3x2-2px，由題意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p+q=15/4。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.求函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的最大值和最小值。解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為0，最小值為-5。2.函數f(x)=x3-px在x=1處取得極小值，求p的值及函數的單調區間。解析：f′(x)=3x2-p，由題意f′(1)=3-p=0，解得p=3。f′(x)=3(x+1)(x-1)，當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時f(x)單調遞增，當x∈(-1,1)時f(x)單調遞減。3.函數f(x)=|x-1|+|x+2|在區間[-3,3]上的最小值及取得最小值時的x值。解析：f(x)分段為：x∈[-3,-2]時f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]時f(x)=3；x∈[1,3]時f(x)=2x+1。當x=-2時f(x)=1，當x=1時f(x)=2，故最小值為1，取得最小值時的x值是-2。4.函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處的切線方程。解析：f′(1)=0，f(1)=0，切線方程為y=0。5.函數f(x)=e^x-ax在x=0處取得極大值，求a的值。解析：f′(0)=1-a=0，解得a=1；需驗證f′(x)符號變化：f′(x)=e^x-1，當x∈(-∞,0)時f′(x)<0，當x∈(0,+∞)時f′(x)>0，故x=0處為極大值點。6.函數f(x)=x3-3x2+2x在區間[-1,3]上的零點個數為多少？解析：f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3個零點。7.函數f(x)=|x3-2x|在x=1處的導數是否存在？解析：f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(0)=不存在。8.函數f(x)=x3-px2+q在x=1和x=-1處取得相同極值，求p2-q的值。解析：f′(x)=3x2-2px，由題意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p2-q=9/4-9/4=0。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.B2.D3.B4.A5.C6.C7.C8.D9.A10.C解析：2.f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故單調遞增；當x→-1時f(x)→-∞，當x=0時f(x)=0，故無極值。3.f′(x)=3x2-3a，由題意f′(2)=12-3a=0，解得a=4，但需驗證是否為極值點。f′(x)=3(x+2)(x-2)，當x∈(-2,2)時f′(x)<0，當x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)時f′(x)>0，故x=2處為極小值點，選項均不正確，需重新命題。4.f(x)分段為：x<-2時f(x)=-2x-1；-2≤x≤1時f(x)=3；x>1時f(x)=2x+1。當x=-2時f(x)=3，當x=1時f(x)=3，故最小值為3。5.f′(x)=e^x-a，由題意f′(1)=e-a=0，解得a=e；需驗證f′(x)符號變化：當x∈(-∞,1)時f′(x)<0，當x∈(1,+∞)時f′(x)>0，故x=1處為極小值點。6.f′(x)=lnx-2x+1，令g(x)=lnx-2x+1，g′(x)=1/x-2<0，故g(x)單調遞減。g(1)=-1<0，g(e2/2)=1-2e2/2+1<0，g(e)=1-2e+1<0，故f′(x)始終<0，函數單調遞減，無最大值。7.f′(x)=3x2-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1-√3/3)=4√3/9-2/3>0，f(1+√3/3)=4√3/9-2/3<0，f(4)=18，故有3個零點。8.f′(x)=3x2+2px+q，由題意f′(1)=3+2p+q=0，f′(-1)=3-2p+q=0，解得p=0，q=-3，故p+q=-3。9.f′(x)=(x2+1-2x2)/(x2+1)2=(1-x2)/(x2+1)2，令f′(x)=0得x=1。f(0)=0，f(1)=1/2，f(2)=4/5，故最大值為4/5。10.f′(x)=3x2-3，由題意f′(1)=0，解得a=1；f(x)=x3-3x+1，f′(x)=3x2-3，f′(x)符號變化：當x∈(-∞,1)時f′(x)<0，當x∈(1,+∞)時f′(x)>0，故x=1處為極小值點。f(-2)=-8，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值為-8。11.f(x)分段為：x∈[-2,-√2)∪(√2,2]時f(x)=x3-2x，x∈(-√2,√2)時f(x)=2x-x3。f′(x)=3x2-2，令f′(x)=0得x=±√2/√3；f′(x)符號變化：x∈(-2,-√2/√3)時f(x)單調遞減，x∈(-√2/√3,√2/√3)時f(x)單調遞增，x∈(√2/√3,2)時f(x)單調遞減，故有4個極值點。二、填空題1.22.-23.14.y=05.16.-3/47.38.不存在9.010.0解析：11.f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為2。12.f′(x)=3x2+p，由題意f′(1)=3+p=0，解得p=-3；f(0)=q=1，故p+q=-2。13.f(x)分段為：x∈[-3,-2]時f(x)=-x-1；x∈[-2,1]時f(x)=3；x∈[1,3]時f(x)=x+1。當x=-2時f(x)=1，當x=1時f(x)=2，故最小值為1。14.f′(1)=0，f(1)=0，切線方程為y=0。15.f′(0)=1-a=0，解得a=1。16.f′(x)=(-x(x2-2)+2(x2-1))/(x2+1)3，f′(1)=-3/4。17.f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3個零點。18.f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(0)=不存在。19.f′(x)=3x2-2px，由題意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p-q=-3/4。20.f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為0。三、判斷題1.√2.×3.×4.×5.×6.√7.×8.×9.×10.×解析：11.f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=-4，f(3)=0，故存在最大值3和最小值-5。12.f′(x)=3x2-p，由題意f′(1)=3-p=0，解得p=3，故錯誤。13.f(x)分段為：x∈[-3,-2]時f(x)=-x-1；x∈[-2,1]時f(x)=3；x∈[1,3]時f(x)=x+1。當x=-2時f(x)=1，故錯誤。14.f′(x)=3x2-6x+2，f′(1)=1-6+2=-3≠0，故錯誤。15.f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(0)=不存在，故錯誤。16.f′(x)=3x2-p，由題意f′(0)=-p=0，解得p=0，故正確。17.f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值為0，故錯誤。18.f(x)分段為：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時f(x)=x3-2x，x∈(0,0)時f(x)=0。f′(x)=3x2-2，f′(1)=1>0，故錯誤。19.f′(x)=3x2-2px，由題意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p2≠q，故錯誤。20.f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最小值為-5，故錯誤。四、簡答題1.解：f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。當x∈(0,2)時f′(x)<0，當x∈(2,3)時f′(x)>0，故單調遞減區間為(0,2)，單調遞增區間為(2,3)。2.解：f′(x)=3x2-p，由題意f′(1)=3-p=0，解得p=3。3.解：f(x)分段為：x∈[-3,-2]時f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]時f(x)=3；x∈[1,3]時f(x)=2x+1