高中數(shù)學(xué) 加練 專題7　第63練　幾何法求空間角

第63練幾何法求空間角(分值：42分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖，在正四面體A-BCD中，取BC的中點M，連接AM，則直線AM與直線CD所成角的余弦值為()A.26 B.C.36 D.答案C解析取N為BD的中點，連接MN，AN.因為M是BC的中點，所以MN∥CD，MN=12CD在正四面體A-BCD中，△ABD，△ABC，△BCD是等邊三角形，AM=AN=32CD則直線AM與直線CD所成的角為∠AMN(或其補角)，在△AMN中，cos∠AMN=AM2+MN因此直線AM與直線CD夾角的余弦值為362.在四棱錐P-ABCD中，△PAD為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，且AB=2BC，平面PAD⊥平面ABCD，則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為()A.12 B.22 C.32答案A解析∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD，則CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，故平面PCD⊥平面PAD，取PD的中點M，連接AM，CM，如圖所示，∵△PAD為等邊三角形，則AM⊥PD，又平面PCD∩平面PAD=PD，AM?平面PAD，故AM⊥平面PCD，則直線AC與平面PCD所成的角即為∠ACM，令BC=a，則AB=2a，AC=3a，AM=32a故sin∠ACM=AMAC=13.在三棱錐P-ABC中，PA⊥PC且PA=PC，底面△ABC是等邊三角形，平面PAC⊥平面ABC，若QA=2PQ，則二面角Q-BC-A的平面角的余弦值為()A.23 B.33 C.2答案D解析如圖，過點P作PD⊥AC，垂足為D，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，∴PD⊥平面ABC，作QO⊥AC于點O，則PD∥QO，則QO⊥平面ABC，作OE⊥BC于點E，連接QE，∵BC?平面ABC，∴QO⊥BC，又∵OE⊥BC，OE∩QO=O，OE，QO?平面QOE，∴BC⊥平面QOE，∵QE?平面QOE，∴BC⊥QE，∴∠QEO為二面角Q-BC-A的平面角.∵QA=2PQ，PA⊥PC且PA=PC，∴QO=23PD=13作AF⊥BC于點F，由△ABC是等邊三角形，得OE=23AF=33AC，又QO⊥∴tan∠QEO=QOOE=13AC∴cos∠QEO=324.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AC=AA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，A1C1上的點.記EF與AA1所成的角為α，EF與平面ABC所成的角為β，二面角F-BC-A的平面角為γ，則()A.α≤β≤γ B.β≤α≤γC.β≤γ≤α D.α≤γ≤β答案A解析如圖所示，過點F作FP⊥AC于P，過P作PM⊥BC于M，連接PE，F(xiàn)M，則α=∠EFP，β=∠FEP，γ=∠FMP，tanα=PEFP=PEAB≤1，tanβ=FPPE=ABPE≥1，tanγ=FPPM≥所以α≤β≤γ.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個命題中正確的是()A.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于πB.四棱錐C-ABC1D1的體積為1C.異面直線D1C和BC1所成的角為πD.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值為1答案ABC解析如圖，取BC1的中點H，連接CH，則CH⊥BC1，而AB⊥平面BCC1B1，CH?平面BCC1B1，得CH⊥AB，AB∩BC1=B，AB，BC1?平面ABC1D1，則CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直線BC與平面ABC1D1所成的角，為π4，故A點C到平面ABC1D1的距離為CH的長度，為22則V四棱錐C-ABC1D1=13×AB×BC1×CH=13×易證BC1∥AD1，所以異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1C(或其補角)，因為△ACD1為等邊三角形，所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3，故C連接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD為二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=62又CD=1，CH=22由余弦定理可得cos∠CHD=DH2+CH26.如圖，圓錐SO的底面圓O的直徑AC=4，母線長為22，點B是圓O上異于A，C的動點，則下列結(jié)論正確的是()A.SC與底面所成的角為πB.圓錐SO的表面積為42πC.∠SAB的取值范圍是πD.若點B為弧AC的中點，則二面角S-BC-O的平面角大小為π答案AC解析對于A，因為SO⊥平面ABC，所以∠SCO是SC與底面所成的角，圓錐的母線l=22，半徑r=OC=2，則在Rt△SOC中，cos∠SCO=OCSC=222=22，所以∠SCO=對于B，圓錐SO的側(cè)面積為πrl=42π，表面積為42π+4π，則B錯誤；對于C，當(dāng)點B與點A重合時，∠ASB=0為最小角，當(dāng)點B與點C重合時，∠ASB=π2又因為B與A，C不重合，則∠ASB∈0，又在等腰△SAB中，2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB的取值范圍是π4，π對于D，如圖所示，取BC的中點D，連接OD，SD，又O為AC的中點，則OD∥AB，因為AB⊥BC，所以BC⊥OD，又SO⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥SO，又SO∩OD=O，SO，OD?平面SOD，所以BC⊥平面SOD，故BC⊥SD，所以∠SDO為二面角S-BC-O的平面角，因為點B為弧AC的中點，所以AB=22，OD=12AB=2，則tan∠SDO=SOOD=2≠1，則D三、填空題(每小題5分，共10分)7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AD∶AB=1∶2，△PAB為等邊三角形，則直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.答案15解析取AB的中點O，連接PO，DO，由于△PAB是等邊三角形，所以PO⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABCD，其交線為AB，PO?平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，∠PDO是直線PD與平面ABCD所成的角.不妨設(shè)AD=1，AB=2，在等邊△PAB中，PO=3，又四邊形ABCD為矩形，所以DO=AD2+AO2=12+1故sin∠PDO=OPDP=35=155，故直線PD與平面ABCD8.如圖，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2，AD=AF=1，且二面角C-AB-F為60°，則異面直線AC與BF所成角的正弦值為.答案51解析連接CE，AE，AE∩BF=O，取CE的中點M，連接OM，BM，∵四邊形ABCD，ABEF為矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BE，平面ABC∩平面ABF=AB，BC?平面ABC，BE?平面ABF，∴∠CBE即為二面角C-AB-F的平面角，∴∠CBE=60°，又BC=AD，BE=AF，