高中數學 加練 專題5　第48練　等和(高)線定理

第48練等和(高)線定理(分值：31分)等和(高)線定理(1)由三點共線結論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結論可知，若OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，則λ+μ=1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個常數k，k∈R，使得OP'=kOP，則OP'=kOP=kλOA+kμOB，又OP'=xOA+yOB(x，y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立.(2)平面內一個基底{OA，OB}及任一向量OP'，OP'=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若點P'在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線①當等和線恰為直線AB時，k=1；②當等和線在O點和直線AB之間時，k∈(0，1)；③當直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，+∞)；④當等和線過O點時，k=0；⑤若兩等和線關于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數；⑥定值k的絕對值與O點到等和線的距離成正比.一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，AN=λAB+μAC，則λ+μ的值為()A.12 B.13 C.14答案A解析方法一(常規方法)設BM=tBC，則AN=12AM=12(AB+BM)=12AB+t2BC=12∴λ=12-t2，μ=t2，∴λ+μ方法二(等和線法)如圖，BC為值是1的等和線，過N作BC的平行線，設λ+μ=k，則k=|AN由N為AM的中點知，|AN||AM|=12，即λ+2.已知四邊形ABCD是矩形，動點P在以C為圓心且與BD相切的圓上，若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為()A.3 B.22 C.5 D.2答案A解析根據圖形可知，當點P在圓上運動到與BD距離最大時，λ+μ有最大值，設圓C的半徑為r，連接AP，交BD于Q，則λ+μ=APAQ，過P點作BD的平行線PM，過A點作PM，BD的垂線，如圖所示，垂足分別為M，N，易知AN=r，AM=3r，則λ+μ=APAQ=AM3.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若AP=xAB+yAC，則2x+2y的最大值為()A.83 B.2 C.43 D答案A解析如圖，作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設AP=λAE+μAF，則λ+μ=1，∵BC∥EF，∴設AEAB=AFAC=k，則k∈∴AE=kAB，AF=kAC，AP=λAE+μAF=λkAB+μkAC，∴x=λk，y=μk，∴2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤834.如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點P是區域ABDC內的任一點(含邊界)，且AP=λAB+μAC，則λ+μ的取值范圍是()A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4]答案C解析如圖，過點P作GH∥BC，分別交AC，AB的延長線于點G，H，設AP=xAG+yAH，則x+y=1，當點P位于點D時，G，H分別位于點C'、點B'，∵△BCD與△ABC的面積之比為2∶1，∴AC'=3AC，AB'=3AB，∴AP=xAC'+yAB'=3xAC+3yAB=λAB+μAC，∴λ=3y，μ=3x?λ+μ=3x+3y=3.當點P位于A點時，顯然有λ+μ=0，綜上，λ+μ的取值范圍是[0，3].二、多項選擇題(共6分)5.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為AB上的一個動點，若OC=xOA+yOB，則3x+y的取值可以是()A.23 B.1 C.32 D答案BC解析如圖，取點D使得OD=13OA，OC=xOA+yOB=3xOD+yOB，作一系列與BD平行的直線與圓弧相交，當點C與點B重合時，3x+y取得最小值1；當點C與點A重合時，3x+y取得最大值3，故3x+y的取值范圍是[1，3三、填空題(共5分)6.在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(包括邊界)的動點，設AP=αAB+βAF(α，β∈R)，則α+β的取值范圍是.答案[3，4]解析如圖，直線BF為k=1的等和線，當P在△C