高中數學 加練 專題3　第21練　三次函數的性質

第21練三次函數的性質(分值：40分)三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性質(1)奇偶性：f(x)不可能為偶函數；當且僅當b=d=0時，f(x)是奇函數.(2)對稱性：中心對稱，且對稱中心是-b3a，f-b3a.引申性質：若y=f(x)是可導函數.①若圖象關于點(m，n)對稱，則y=f'(x)的圖象關于直線x=m對稱；②若圖象關于直線x=m對稱，則y=f'(x)的圖象關于點(m，0)對稱；③奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數.(3)根與系數的關系設ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三個根分別為x1，x2，x3，則ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比較系數可得x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x(4)三次函數切線條數設f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在對稱中心N-b3a，f-b3a處的切線為l，函數f(x)及l把坐標平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個區域，如圖1(a<0①當定點P在對稱中心N或在Ⅰ和Ⅲ區域時，過點P的切線有且僅有一條；②當定點P在函數f(x)的圖象上(除去對稱中心)或在切線l上時，過點P的切線有兩條；③當定點P在Ⅱ和Ⅳ區域時，過點P的切線有三條.一、單項選擇題(每小題5分，共10分)1.已知函數f(x)=-x3+ax2-x-1在R上單調，則實數a的取值范圍是()A.(-∞，-3]∪[3，+∞B.[-3，C.(-∞，-3)∪(3，+∞D.(-3，答案B解析由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1，因為函數在R上單調，所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，則Δ=4a2-12≤0?-3≤a≤3所以實數a的取值范圍是[-3，32.過y軸上一點(0，a)可以作函數f(x)=x3+x2-x圖象的3條切線，則a的取值范圍是()A.-127C.-13答案A解析因為f(x)=x3+x2-x，所以f'(x)=3x2+2x-1，設切點為(x0，x03+x02則切線方程為y=(3x02+2x0-1)(x-x0)+x03+x而切線過點(0，a)，將(0，a)代入得a=-2x03令g(x)=-2x3-x2，g'(x)=-6x2-2x，令g'(x)<0，得x∈-∞，-13∪(0，+∞)，此時g(x)的單調遞減區間為-∞，-令g'(x)>0，得x∈-13，0，此時g故g(x)有極小值g-13=-127，有極大值g(0)=0，由題意可知g(x)的圖象與直線y=a有3個交點，則得到a的取值范圍為-二、多項選擇題(每小題6分，共12分)3.已知三次函數f(x)=x3+ax+2，下列敘述正確的是()A.當a=1時，函數f(x)無極值點B.函數f(x)的圖象關于點(0，2)中心對稱C.過點(0，2)的切線有兩條D.當a<-3時，函數f(x)有3個零點答案ABD解析對于A，當a=1時，f(x)=x3+x+2，f'(x)=3x2+1>0，f(x)單調遞增，無極值點，故A正確；對于B，因為f(x)+f(-x)=4，所以函數f(x)的圖象關于點(0，2)中心對稱，故B正確；對于C，設切點坐標為(x1，f(x1))，則切線方程為y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，因為切線過點(0，2)，所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1)，即2-x13-ax1-2=-3x13-ax1，解得即只有一個切點，即只有一條切線，故C錯誤；對于D，f'(x)=3x2+a，當a<-3時，令f'(x)=0，得x=±-當x∈-∞，--a3時，f'(x)>0當x∈--a3，-a3時，f'(x)當x∈-a3，+∞時，f'(x)>0，f則f(x)的極大值f

--a3>f(0)=2>0，所以若函數f(x)有則f(x)的極小值f

-a3=2a3-a3+2<0，4.已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上單調遞增，在[0，2]上單調遞減，且方程f(x)=0有3個實數根，它們分別是α，β，2，則()A.c=0B.若(2，f(2))是f(x)圖象的對稱中心，則極小值是-12C.f(1)≥2D.|α-β|≥3答案ACD解析已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上單調遞增，在[0，2]上單調遞減，所以在x=0處取得極大值，則f'(0)=0，由f'(x)=3x2+2bx+c，得f'(0)=c=0，所以A正確；方程f(x)=0有一個根是2，則f(2)=8+4b+d=0，由函數圖象的對稱中心是(2，0)，可得f(1)=-f(3)，代入得1+b+d=-(27+9b+d)，化簡得5b+d+14=0，聯立8+4b+則f(x)=x3-6x2+16，求導得f'(x)=3x2-12x，令f'(x)=3x2-12x=0，解得x=0或x=4，可知函數在(-∞，0)，(4，+∞)上單調遞增，在(0，4)上單調遞減，所以f(x)在x=4處取得極小值，則f(4)=43-6×42+16=-16，所以B錯誤；由f(x)=x3+bx2+d，可得f'(x)=3x2+2bx，因為f(x)在[0，2]上單調遞減，所以f'(2)≤0，即12+4b≤0，解得b≤-3.由f(2)=8+4b+d=0，得d=-4b-8，則f(1)=1+b+d=-3b-7，由b≤-3，可得-3b-7≥2，所以f(1)≥2，所以C正確；因為方程f(x)=0有3個實數根α，β，2，所以設f(x)=(x-α)(x-β)(x-2)=x3-(α+β+2)x2-2αβ，所以α+β由f(2)=0，得d=-4b-8，由(α-β)2=(α+β)2-4αβ，得(α-β)2=(b+2)2+2d=b2-4b-12=(b-2)2-16，由選項C的分析知b≤-3，所以(b-2)2-16≥9，所以|α-β|≥3，所以D正確.三、填空題(共5分)5.已知三次函數y=f(x)有三個零點x1，x2，x3，且在點(xi，f(xi))處的切線的斜率為ki(i=1，2，3)，則1k1+1k2+答案0解析設f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0)，則f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3)，由導數的幾何意義可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3)，k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3)，k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2)，所以1k1+1k2+1k3=1a(x四、解答題(共13分)6.(13分)對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，給出定義：設f'(x)是函數y=f(x)的導數，f″(x)是f'(x)的導數，若方程f″(x)=0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數f(x)=13x3-m2x2+(1)當m=1時，求f

1100+f

2100+…+f

98100+f

99100的值；(2)若不等式2xlnx+f'(x)+3≥0恒成立，求實數m的取值范圍.(7分)解(1)函數f(x)=13x3-m2x2當m=1時，f(x)=13x3-12x2∵f'(x)=x2-x，∴f″(x)=2x-1，令f″(x)=2x-1=0，解得x=1則對稱中心的縱坐標為f

12=1，故對稱中心為∴f(x)+f(1-x)=2，∴f

1100+f

99100=2，f

2100+f

98100=2，…，f

49100+f

51100=2則f

1100+f

2100+…+f

98100+f

99100(2)∵2xlnx+f'(x)+3≥0，f'(x)=x2-mx，即mx≤2xlnx+x2+3，又x>0，∴m≤2xlnx+x2+3x在x∈令t(x)=2xl