高中數(shù)學 加練 專題10　第98練　事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式

第98練事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.某校在秋季運動會中，安排了籃球投籃比賽.現(xiàn)有20名同學參加籃球投籃比賽，已知每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且每名同學每次投籃之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則其中一名同學得2分的概率為()A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32答案B解析設“第一次投進球”為事件A，“第二次投進球”為事件B，則得2分的概率為P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.2.某次考試共有4道單選題，某學生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25.若從這4道題中任選2道，則這個學生2道題全做對的概率為()A.0.34 B.0.37 C.0.42 D.0.43答案C解析設事件A表示“兩道題全做對”，若兩道題目都有思路，則P1=C32C42×0.8若兩道題目中一個有思路一個沒有思路，則P2=C11C31C42×0.故P(A)=P1+P2=0.32+0.1=0.42.3.甲、乙、丙3位大學畢業(yè)生去4個工廠實習，每位畢業(yè)生只能選擇一個工廠實習，設“3位大學畢業(yè)生去的工廠各不相同”為事件A，“甲獨自去一個工廠實習”為事件B，則P(A|B)等于()A.23 B.13 C.34答案A解析由題意知P(B)=C41·3243，P(AB)=A4343，所以P(4.近期某市推進“光儲充一體化”充電站建設，現(xiàn)有A充電站配備2個超級快充樁和3個普通充電樁，B充電站配備1個超級快充樁和3個普通充電樁，為優(yōu)化資源配置，系統(tǒng)隨機從A站調度1個充電樁至B站，隨后技術人員從B站隨機選取2個充電樁進行升級調試，記“選取的2個充電樁均為普通樁”為事件B，則P(B)等于()A.625 B.1350 C.7答案D解析設從A站調度的充電樁為超級快充樁為事件M，從A站調度的充電樁為普通充電樁為事件N，則P(M)=25，P(N)=3則P(B)=P(M)·P(B|M)+P(N)·P(B|N)=25×C32C52+35×C42C55.(2022·全國乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則()A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大答案D解析設該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為P甲，在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為P乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為P丙，方法一由題意可知，P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3，P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3，P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0，P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0，所以P丙最大，故選D.方法二(特殊值法)不妨設p1=0.4，p2=0.5，p3=0.6，則該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4；在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52；在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以P丙最大，故選D.6.為了督促市民節(jié)約用水，某市水務投資公司對居民生活用水實行階梯水價制度進行收費，其收費標準如下：一戶居民每月用水量不超過15噸時，收費單價為3.5元/噸；超過15噸但不超過20噸時，超出15噸部分的收費單價為4.75元/噸；超過20噸時屬于嚴重超標，超出20噸部分的收費單價為6元/噸.某學生社團對某生活區(qū)的住戶進行用水量調查，該生活區(qū)的某單元內(nèi)居住著3戶人家，每戶月用水量嚴重超標的概率均為p(0<p<1)且相互獨立，該單元至少有兩戶人家月用水量嚴重超標的概率為f(p)，當f(p)=12時，p等于(A.12 B.13 C.2答案A解析設事件A為“該單元有2戶人家月用水量嚴重超標”，事件B為“該單元有3戶人家月用水量嚴重超標”，則P(A)=C32(1-p)p2=3(1-p)p2，P(B)=C33p3即f(p)=P(A)+P(B)=3(1-p)p2+p3=3p2-2p3(0<p<1)，方法一將各選項代入驗證發(fā)現(xiàn)，唯有p=12滿足要求，故A正確方法二令f(p)=3p2-2p3=12整理為(2p)3-3·(2p)2+2=(2p-1)(4p2-4p-2)=0，所以p=12或p=1±32，因為0<p<1，所以二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.記事件M中的樣本點個數(shù)為||M||.對于一個古典概型試驗的樣本空間Ω和事件E，F(xiàn)，G，H，已知E?Ω，F(xiàn)?Ω，G?Ω，H?Ω，||Ω||=80，||E||=40，||F||=30，||G||=20，||H||=50，||E∪F||=70，||EG||=10，||E∪H||=80，則下列選項正確的是()A.E與H互斥 B.E與F互斥C.E與G相互獨立 D.E與H相互獨立答案BC解析A選項，||E∪H||=80，||E||=40，||H||=50，所以||E∪H||≠||E||+||H||，所以E與H不互斥，A錯誤；B選項，||E∪F||=70，||E||=40，||F||=30，所以||E∪F||=||E||+||F||，所以E與F互斥，B正確；C選項，||EG||=10，||E||=40，||G||=20，所以P(EG)=1080=18，P(E)=4080=12，P(G)=2080=14，所以P(EG)=P(E)P(G)，D選項，||E∪H||=80，||E||=40，||H||=50，所以||EH||=40+50-80=10，P(EH)=1080=18，P(E)=P(H)=5080=58，所以P(EH)≠P(E)P(H)，E與H不相互獨立，D8.同時拋擲兩個質地均勻的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事件B表示“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件C表示“兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”，則()A.P(AB)=P(AC)=P(BC)B.P(A|B)=P(A|C)=1C.P(ABC)=1D.P(A)P(B)P(C)=1答案AB解析對于A，因為事件A，B，C兩兩相互獨立，所以P(AB)=12×12=P(AC)=12×12=P(BC)=12×12=所以P(AB)=P(AC)=P(BC)，故A正確；對于B，易知P(A|B)=P(A)，P(A|C)=P(A)，所以P(A|B)=P(A|C)=12，故B對于C，事件A，B，C不可能全部同時發(fā)生，故P(ABC)=0，故C錯誤；對于D，P(A)P(B)P(C)=12×12×12=18三、填空題(每小題5分，共10分)9.某同學高考后參加國內(nèi)兩所名牌大學A，B的“強基計劃”招生考試，已知該同學能通過A，B大學招生考試的概率分別為x，13，該同學能否通過這兩所大學的招生考試相互獨立，且該同學恰好能通過其中1所大學招生考試的概率為12，則該同學至少通過1所大學招生考試的概率為答案2解析∵該同學能否通過這2所大學的招生考試相互獨立，∴該同學恰好能通過其中1所大學招生考試的概率P=23x+13(1-x)=13+13故x=12∴該同學至少通過1所大學招生考試的概率為1-12×23=10.已知紅箱內(nèi)有5個紅球、3個白球，白箱內(nèi)有3個紅球、5個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回原箱中，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后放回原箱中，依次類推，第k+1次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后放回去.記第n次取出的球是紅球的概率為Pn，數(shù)列{Pn}前n項和Sn=.答案1解析依題意得P1=C51C第n次取出的球是紅球的概率為Pn，則第