流體力學 課件4理想流體動力學

流體力學清華大學航天航空學院2026/8/132第四章理想流體動力學理想流體是真實流體的一種近似模型，忽略粘性真實流體理想流體第四章理想流體動力學2026/8/1331.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/134理想流體運動的基本方程——Euler方程§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/135不封閉！§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/136理想流體能量方程的討論§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/137熱力學第一定律焓動能方程§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/138理想、常比熱、完全氣體、絕熱運動時熵沿流體質點的跡線熵不變§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/139常用理想流體動力學微分型封閉方程組重力場中，理想常比熱完全氣體絕熱連續流動關于的封閉方程組重力場中，理想勻質不可壓縮流體的運動關于的封閉方程組§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/1310理想流體運動的初邊值條件（1）初始條件：對非定常流動，應給出流動的初始速度、壓力、密度等的分布（2）邊界條件：界面或固壁的不可穿透條件若界面或固壁滿足

無窮遠條件（無界靜止流體）（繞流條件）兩種互不摻混界面上的應力條件§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/1311例：剛體橢球以速度作等速直線運動，建立理想流體運動的邊界條件。§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/1312球坐標系例：在原無界靜止的理想勻質不可壓縮流體中，有一圓球作均勻膨脹，其物面方程為無窮遠處壓力，不計質量力，求：球面上的壓強分布。§4.1理想流體運動的基本方程和初邊值條件2026/8/1313積分第四章理想流體動力學2026/8/13141.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2026/8/1315§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質Kelvin定理（沿封閉流體線的環量不變定理）

理想

正壓流體在勢力場中運動時，連續流場內沿任一條封閉流體線的速度環量不隨時間變化。證明：2026/8/1316§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質動量方程理想：正壓：勢力場：2026/8/1317§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質Lagrange定理（渦量不生不滅定理）

理想、正壓流體在勢力場中運動時，若某一時刻連續流場無旋，則流場始終無旋。推論：

在滿足Kelvin定理的條件下，均勻來流繞過任一物體的流場為無旋流場；由任意物體在原靜止流場中運動所造成的流場是無旋流場。渦量方程和渦量源-補充2026/8/1318對加速度取旋度得到兩邊除密度得到2026/8/1319渦量運動學的基本方程(Beltrami方程)對N-S方程兩邊取旋度得到結合Beltrami方程得到渦量動力學方程渦量方程和渦量源-補充2026/8/1320渦量源是指流體從靜止開始運動后流場中產生渦量的物理原因渦量方程簡化為那么流體從靜止開始運動后流場中不會產生渦量如果渦量方程表明有三個渦量源：斜壓流、非保守體力、粘性渦量方程和渦量源-補充2026/8/1321§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質旋渦產生或消失的條件

只要不滿足Kelvin定理任何一個條件，旋渦都會產生或消失。Kelvin定理條件：理想、正壓流體、質量力有勢、流場連續均勻來流邊界層內有旋流動切向間斷均勻來流曲線激波法向間斷（2）存在間斷（非連續流場）（1）流體的粘性（非理想流體）無旋有旋2026/8/1322§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質（3）非正壓流場北極赤道貿易風（信風）北南2026/8/1323§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質（4）非有勢力場（以地球上大氣運動為例）東北西南2026/8/1324§4.2

理想流體在勢力場中運動的主要性質Helmholtz定理（渦線及渦管保持定理）

理想、正壓流體在勢力場中運動時，組成渦線（面）的流體質點永遠組成此渦線（面），即渦線（面）是流體線（面）。

理想、正壓流體在勢力場中運動時，組成渦管的流體質點永遠組成此渦管，且渦管強度不隨時間變化。第四章理想流體動力學2026/8/13251.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2026/8/1326§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分Lamb型方程2026/8/1327§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分伯努利積分理想正壓流體在勢力場中作定常流動時，沿流線有理想正壓流體在勢力場中作定常流動時，沿渦線有壓力函數質量力勢2026/8/1328§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分理想正壓流體在勢力場中作定常流動流線切向投影2026/8/1329§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分幾種特殊情況下的伯努利積分理想均質不可壓縮流體在重力場中定常流動時，沿流線有理想常比熱完全氣體在勢力場中作絕熱定常流動時，沿流線有等速轉動坐標系中的伯努利方程理想流體在勢力場中作絕熱運動，相對于等速轉動坐標系運動是定常的，則沿相對流線有2026/8/1330§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分伯努利積分應用舉例：畢托管測速原理用于測量不可壓液體或低速氣體流動的速度，簡化：假定流體是理想均質不可壓，流動定常；放入畢托管后2點處的壓力和速度分別近似等于放畢托管前1點處的壓力和速度；忽略1、2點間的質量力勢之差；測速時，沿流動方向放置畢托管，則1、2點位于同一條流線上。2026/8/1331§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分Cauchy-Lagrange積分理想

正壓流體在勢力場中作無旋流動時，全流場成立其中分別為速度勢、壓力函數、質量力勢、積分常數定常全流場成立的伯努利積分2026/8/1332§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分例：理想流體的一維非定常流動在L形等截面管道中充滿理想均質不可壓流體，開始時出口端封閉，管內流體靜止，當t=0時，封口突然打開，流體開始經管內流出。設L形管的垂直和水平段長度均為，L形管上下段空氣壓強均為大氣壓求：1）在t=0打開封口瞬時管內壓強分布；

2）流體從管內流空的時間。初始狀態液面在垂直段內液面在水平段內2026/8/1333§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分1.求速度勢的表達式2.求速度的表達式液面在垂直段液面在水平段2026/8/1334§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分3、求t=0時打開封口后管內壓強分布4、求液面的運動規律在垂直段在水平段5、求泄空時間2026/8/1335§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分5.動坐標系中的Cauchy-Lagrange積分在動坐標系中研究絕對運動2026/8/1336§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分例：半徑為a的圓球，在原無界靜止的理想均質不可壓流體中以作變速直線運動，忽略質量力，求：圓球表面的壓力分布以及流體作用在圓球上的合力。動坐標系中的C-L積分舉例解：數學提法 在固結于圓球的動坐標系中研究絕對運動物面條件：不可穿透條件無窮遠條件：2026/8/1337§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分分離變量法求解求速度勢2026/8/1338§4.3蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分求壓力分布求合力討論：1流體作用在圓球上的合力為阻力；2達朗貝爾佯謬若圓球的運動為等速直線運動，則它所受阻力為零；3附加質量第四章理想流體動力學2026/8/13391.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2026/8/1340§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質1.不可壓縮流體無旋流動問題的數學提法基本方程邊界條件物面條件無窮遠條件2026/8/1341§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質2.理想、不可壓縮流體在勢力場中作無旋流動問題的求解思路由運動學條件求

+B.C.由C-L積分求2026/8/1342§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質3.不可壓縮無旋流動問題中速度勢的主要性質1)連通域的概念連通域：在某個空間區域內，任意兩點能在該域內以連續曲線連接，這樣的空間區域稱為“連通域”。單連通域：在連通域內，任意封閉曲線都能在域內連續地收縮為一點，則稱該連通域為“單連通域”。多連通域：凡是不具有單連通域性質的連通域稱為“多連通域”。隔面：完全在域內、并和域的封閉邊界相交的曲面稱為“隔面”。加

1個隔面可變為單連域的稱為“雙連域”；加n-1個隔面可變為單連域的稱為“n連域”。2026/8/1343§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質球內域球外域兩球之間圓環內域圓環內域加一個隔面2026/8/1344§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質2)無旋流動速度勢的主要性質速度勢的確定：在單連域中速度勢是單值的。推論：單連域中的無旋流動不可能存在封閉的流線。雙連域的無旋流場中，任意不可縮周線上的速度環量相等（繞封閉周線一周），速度勢多值。沿某一路徑2026/8/1345§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質3)理想不可壓無旋流動速度場解的唯一性定理有界單連域中解的唯一性條件在邊界上給定或在邊界上給定或在一部分邊界上給定，另一部分邊界上給定有界雙連域中解的唯一性條件+繞不可縮周線的速度環量或通過隔面的體積流量無界單連域中解的唯一性條件給定無窮遠處和以下三種條件之一內邊界上給定及總體積流量內邊界上給定內邊界上部分給定，其余部分給定，并給定通過內邊界的體積流量無界雙連域中解的唯一性條件+內邊界上的速度環量2026/8/1346§4.4

理想不可壓無旋流動數學模型和性質4)不可壓無旋流場的主要特性速度勢函數不能在域內有極大或極小值；不可壓縮無旋流場中速度矢量的模不能在域內達到極大值；重力場中，理想不可壓縮無旋流場內壓強不能在域內達到極小值；動能表達式有界單連域有界雙連域無界單連域無界雙連域第四章理想流體動力學2026/8/13471.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2026/8/1348§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法不可壓縮流體無旋流動問題的數學提法基本方程邊界條件基本方程為線性方程，若為方程的解，則其線性組合也為方程的解。選取合適的系數令滿足邊界條件，則得到某個流動問題的解。2026/8/1349§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法（1）均勻流場---全場速度是常數的流場為均勻流場。（2）點源若在流場某一點不斷有流體注入流場，其體積流量為Q

則這種流場稱為點源流場，Q稱為點源強度。點匯：負點源1.不可壓無旋流動速度勢的基本解2026/8/1350§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法（3）偶極子強度相等、符號相反的兩點源，若它們無限靠近時有這兩個點源所構成的流場稱為偶極子流場。記為，其中稱為偶極子強度，偶極子方向為由點匯指向點源。2026/8/1351§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法（4）高階基本解對點源解求導得到：性質：1由點源解求導升階構成的各階基本解是奇異解：也稱為各階奇點；2基本解滿足無窮遠處的漸近性：意義：1

基本解已滿足無窮遠條件，構造解時只要求滿足物面處的邊界條件；2

各階奇點必須布置在流場外；2026/8/1352§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法例：繞圓球不可壓無旋流動的速度和壓力分布數學提法：2、奇點疊加法2026/8/1353§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法基本解疊加：均勻流+偶極子無窮遠條件已滿足滿足壁面條件2026/8/1354§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法在壁面上駐點：速度為零的點最小壓強點：速度最大的點或或2026/8/1355§4.5

理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法壓力系數：第四章理想流體動力學2026/8/13561.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2026/8/1357§4.6

不可壓流體二維流動的流函數及其性質平行平面流動：流體質點在平行平面上運動，并且每一平面上流動都相同2026/8/1358§4.6

不可壓流體二維流動的流函數及其性質一、流函數的定義二、流函數的性質流函數可以差一個任意常數而不影響速度場；流函數的等值線就是流線；不可壓縮流體平面無旋流動中，流函數的等值線與等勢線正交；通過平面上任意曲線的體積流量等于點和點的流函數值之差，即若流場中不存在源和匯，則在單連域中，流函數是單值的；在雙連域中，當通過內邊界的總流量不等于零時，流函數是多值的，但速度是連續單值的。自動滿足2026/8/1359§4.6

不可壓流體二維流動的流函數及其性質2026/8/1360§4.6

不可壓流體二維流動的流函數及其性質三、不可壓流體平面無旋流動的流函數方程及定解條件方程：來流條件：或物面不可穿透條件：環量條件：2026/8/1361§4.6

不可壓流體二維流動的流函數及其性質為什么引進流函數？對二維不可壓縮流動，無論是否理想、無旋，流函數總是存在。流函數方程在物面可提第一類邊界條件，一般容易求解；求得流函數后，直接可得到流線譜，流場直觀；2026/8/1362§4.6

不可壓流體二維流動的流函數及其性質四、流函數表示的基本解及疊加法1、均勻流的流函數表達式2、點源解的流函數表達式3、偶極子的流函數表達式第四章理想流體動力學2026/8/13631.理想流體運動的基本方程和初邊值條件2.理想流體在勢力場中運動的主要性質

3.蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分4.理想不可壓無旋流動數學模型和性質5.理想不可壓無旋流速度勢方程基本解法6.不可壓流體二維流動的流函數及其性質7.理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2026/8/1364§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法物理問題的提法現有周界為的平面物體，無窮遠處有一速度為的均勻理想不可壓流體繞流此物體（不脫體），求速度場。不可壓縮流體平面無旋繞流問題的提法數學提法以速度勢為未知函數以流函數為未知函數2026/8/1365§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法一、復勢1、定義：以速度勢為實部、流函數為虛部組成的復函數稱為復勢。2、復勢為解析函數 速度勢和流函數為調和函數，并滿足Cauchy-Riemann條件速度勢和流函數為一對共軛的調和函數由共軛調和函數組成的復函數為解析函數2026/8/1366§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法3、解析函數主要性質：解析函數的方向導數與求導方向無關；

解析函數的和、導數、積分是解析函數；在全平面處處解析的函數為常數；在有限域中（不包括的點），解析函數的一般展開式為：(5)留數公式稱為羅朗級數。為包含的封閉周線，在周線內為解析函數。2026/8/1367§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法二、復速度定義：以不可壓平面無旋場的速度分量組成的復函數稱為復速度。實部：方向速度分量；虛部：方向速度分量；模：速度矢量的大小幅角：速度矢量與軸的夾角2026/8/1368§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法物理問題的提法現有周界為的平面物體，無窮遠處有一速度為的均勻理想不可壓流體繞流此物體（不脫體），求速度場。三、不可壓縮流體平面無旋繞流問題的復勢提法數學提法以速度勢為未知函數以流函數為未知函數2026/8/1369§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法以復勢為未知函數在上連續，在內解析物面上：無窮遠處：不可縮周線上：解法：奇點疊加、保角變換、數值求解2026/8/1370§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法四、基本流動均勻流平面點源2026/8/1371§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法平面點渦平面偶極子2026/8/1372§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法五、圓柱的無環量繞流

無窮遠處速度為的理想、勻質不可壓流體的均勻來流，垂直繞過半徑為的固定不動的無限長圓柱，忽略質量力，沿圓柱周線的速度環量為零，求：圓柱表面速度、壓力分布及圓柱受到的合力。在上連續，在內解析物面上：無窮遠處：不可縮周線上：2026/8/1373§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法和為待定常數+=2026/8/1374§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法復勢解圓柱表面速度分布2026/8/1375§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法圓柱表面壓力分布定義壓力系數合力為零2026/8/1376§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法六、圓柱的有環量繞流1、問題的提出圓柱轉動，風洞不吹風，小車不動；圓柱不轉，風洞吹風，小車不動；圓柱轉動，同時風洞吹風，小車移動；小車向方向移動小車向方向移動轉動越快，風速越大，小車加速度越大小車的升力是如何產生的？與轉動角速度和風速有什么關系？2026/8/1377§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法2、理論模型由于粘性，圓柱表面有環量在上連續，在內解析物面上：無窮遠處：不可縮周線上：圓柱無環量繞流+點渦2026/8/1378§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法3、圓柱表面速度分布駐點位置：兩個駐點一個駐點無駐點2026/8/1379§4.7

理想不可壓流體平面無旋流的復變函數法儒科夫斯基升力定理4、圓柱受力分析2026/8/138