第三章 圓錐曲線的方程（思維導圖+知識清單）-2024-2025學年高二數學（人教A版選擇性必修第一冊）

第三章圓錐曲線的方程（思維導圖+知識清單）

【人教A版（2019）］

定義，平面內、兩個定點E.F的加博的和等廣常數（人廣居/?一）的點的軌跡叫作桶網.

這兩個定點叫作橢演的焦點.兩焦點間的即國叫作網圈的魴曲.

橢圓及其標宸啊圖方程的求解：⑴定義法；（:）待定系眈去

方程

能點三角形同哀：（1）集點三角元周長向裴；C）焦點三角形面用向差

嘴黃的范圍：干究懦國的范圍勃罡講完橢圓上虎的橫.縱坐標的取值砥

嗡國力對稱性：（1）從形的角度存：禽西既是挺對際晶形，又是中心對稱圖形；（2）從數BS角度右：在慚否的標;隹方

程中以-）代電，方程并不改交

胡圓的面單幾嘴理的頂點與長岫.短細

何住質

嘴芭的知心率：（1）離心率的定戈：祠園的焦距與長軸長的比標為橢芭的勒心率，月e表示;

（2）離心率的范國：0小1；

（3譚I四商。本的W義：悌四高心率的變化刻畫了佛圓的扁平程度

點與慚ESOOM關系：成立橫25%、點在言國上、點rr精國外

直淺與精圓的位宣關系：相商、相切、相交

直線與楠圓的

位置關系嘴國的蘢長：（D定義：直線與構至的交點間的法段W作概為約死；（2成長公式

平央精圓中點弦問罰的兩種方法：（D根與系敢的關系法；（2）點差法

雙曲線的定義，干向內與兩個定點八.￡的即肉的茶的絕對值等J?『專常數（小I尸/：|）的點的

軌也叫作雙曲伐.這兩個定點叫作雙曲拽的保點.兩處點間的密寓叫作雙曲線的短距.

雙由線及其標

準方程雙曲淺方程的求第：（I）定義法；（2）待定系數法

曲

線雙曲找的幾何性展：（DTEffi：xxrft匕”CR（終點?MO;（2）對稱性：關于EL｝鈾對存，關于SK點E心對存

雙曲線的簡單

的幾何性質雙曲戲的離心率：（1）定義：雙由統的焦更與實融長的比，叫作雙曲淺的毫，注；Q）雙在茂離日的磁：Q1

雙曲線

方

直淺與雙國法的位置關系：相文、相切,相焉

程

弦K公式，木踐產生柏。雙侏線郴交所得的弦Kd=vT^Flx,-r..|

巨線與雙曲線

的位置關系

中點弦間度：“設而不求”法解決中點弦問題

雙曲統的第二定義

定義：平面內（5―4定時0一景文巨淺：（.不修1加的距離相等的點的機邇叫作物指疾

地物法及其標_f

地物統標灌方程的求婚：待定期裁法

準方程I

如物統的幾何性質：頂點、對標軸、集點、準送.離心率、開□方向、集半徑.范圍

拋物線的簡單沏物統與慚國.雙曲淺幾何性辰的差餐

拋物線幾何瞳

與附物袋有關的最值問題的求焦方法：⑴幾何法；Q戲數法

直送與加揚法的位置關系：相交、相切、相高

亙線與拋物線II物線的弦txi\+A:XATI_Jf?>2=S+A‘-V(M+*IF—4

的位置關系

地物線的焦點弦，糕點弦長為加"+以,3.口分別為MX的相當標）

〉知識清單

3.1橢圓及其標準方程

【知識點1橢圓的定義】

1.橢圓的定義

⑴定義|：平面內與兩個定點居,尸2的距離的和等于常數(大于尸產2|)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫

作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

(2)橢圓定義的集合表示P={M\MFl+MF2=2a,2?>|F,F2|).

【知識點2橢圓的標準方程】

1.橢圓的標準方程

橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：

2.橢圓方程的求解

⑴用定義法求橢圓的標準方程

根據橢圓的定義，確定病,〃的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.

⑵用待定系數法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓?定是標準形式，就可以利用待

定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的。，人的值，從而確定方程(注意焦點的

位置).

②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點

在工軸上和焦點在白，軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方

程為4r2+=再解答.

【知識點3橢圓的焦點三角形】

1.橢圓的焦點三角形

(1)焦點三角形的概念

設M是橢圓上一點，月,尸2為橢圓的焦點，當點M居,「2不在同一條直線上時，它們構成一個三角形焦

點三角形，如圖所示.

(2)焦點三角形的常用公式

①焦點三角形的周長L=2a+2c.

222

②在△A/QF2中，由氽弦定理可得|*&|=\MFy\+|A/r2|-2|M*||M&l?cos/*MF,.

③設"(xo,'。)，乙F\MFz=a,則小“尸筋=。T)'ol=〃.tan^.

乙

3.2橢圓的簡單幾何性質

【知識點1橢圓的范圍】

1.橢圓的范圍

設橢圓的標準方程為「+若=1(＞o),研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫.縱坐標的取值范

圍.

⑵卜數的角度,利用方程研究，易知方=1-5■沙故案■$1，即“0&T；5■=1-方次，故方W1，

即-區附.

【知識點2橢圓的對稱性】

1.橢圓的對稱性

(I)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)卜數的角度，：在橢圓的標準方程￡+*—1中以寸代替y,方程并不改變，這說明當點

尸(xj)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x,

方程也不改變，所以橢圓關于y粕對稱；以-x代替”,以?y代替戶方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.

坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.

【知識點3橢圓的頂點、長短軸與離心率】

1.橢圓的頂點與長軸、短軸

，V2

以橢圓的標準方程r+k=1(〃＞力＞0)為例.

a~b~

⑴頂點

令x=0,得尸土6令產0,得下土a

這說明4(-40)，430)是橢圓與x軸的兩個交點，8。-圾82(00是橢圓與)，軸的兩個交點.因為1軸、

y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.

(2)長軸、短軸

線段|44|，國西』分別叫作橢圓的長軸和短軸.

長軸長1441=2〃，短軸長|84|=2〃，〃和〃分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.

2.橢圓的離心率

⑴離心率的定R：橢圓的焦距與長軸長的比色稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=￡.

(2)修心率的范圍：0<e<l.

(3)慚圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當。越接近于1時，c越接近于。，從而打夜匚不越小，因此橢圓越扁：當“越接近于。時，c越接

近于0,從而加"越接近于a,因此橢圓越接近于圓；當且僅當。%時，c=0,這時兩個焦點重合，

圖形變為圓，它的方程為M+V=〃2

3.求橢圓離心率或其范圍的方法

解題的關鍵是借助圖形建立關于4Ac的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式，常用方法如下：

(1)直接求出。,小利用離心率公式e=?求解.

(2)由。與b的關系求離心率，利用變形公式e=｛一號求解.

(3)構造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出。與c的關系，從而求得

3.3直線與橢圓的位置關系

【知識點1點與橢圓的位置關系】

1.點與橢圓的位置關系

(1)點與橢圓的位置關系：

點在懦囿內點在怖⑶上點在橢外

(2)對于點P(x0,%)與橢圓的位置關系，有如下結論：

點尸(見,為)在橢圓外一條+患>1；

點P(xo,%)在橢圓內—r+V7<1；

點尸Go,%）在橢圓上

【知識點2直線與橢圓的位置關系】

1.直線與橢圓的位置關系

（1）直線與橢圓的三種位置關系

類比直線與圓的位置關系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關系，如圖所示.

（2）利用方程討論直線與橢圓的位置關系|：

A>0一直線與橢圓相交O有兩個公共點；

△=0=直線與橢圓相切=有且只有一個公共點；

△<0=直線與橢圓相離=無公共點.

【知識點3弦長與“中點弦問題”】

1.弦長問題

（1）定義|：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

（2）弦長公，：設直線l\y=kx^m交橢圓]+（。冷0）于尸】（鶯,乂），尸2（右㈤兩點，

則用P2I=W+代E—41或IP\21=J1+5I凹-%].

2.“中點弦問題”

⑴解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根

與系數的關系以及中點坐標公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中

點坐標和斜率的關系.

設力4（工2,為），代入橢圓方程+方=1

呼+善工①

得

乎+居=1,②'

（2+4）*1一必）1（由+?2）（乂一92）一

①-②可得

b2

設線段A8的中點為尸（見,泗）,當為#必時，有潦+=。

因為FGo/。）為弦4B的中點,從而轉化為中點25。,則）與直線48的斜率之間的關系，這就是處理弦

中點軌跡問題的常用方法.

（2）弦的中點與直線的斜率的關系

線段A8是橢圓奈+營=1（口泌>0）的一條弦，當弦A3所在直線的斜率存在時，弦46的中點M的坐標

為Go/。），則弦AB所在直線的斜率為-空，即心“?38=-4.

。y（）a

3.4雙曲線的標準方程和性質

【知識點1雙曲線的標準方程】

1.雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內與兩個定點人,尸2的距離的差的絕對直等于非零常數（小于出AI）的點的軌跡叫

作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標準方程

雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：

3.雙曲線方程的求解

（1）用定義法求雙曲線的標準方程

根據雙曲線的定義，確定標,/的值，結合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.

（2）用待定系數法求雙曲線的標準方程

用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在X軸還是），軸上，設出標準方程，再由條件確定

”2,序的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，氏將雙曲線的方程設為2—5=2（/1芋0）

或加x?—〃y2=i（"〃7>0）,再根據條件求解.

【知識點2雙曲線的簡單幾何性質】

1.雙曲線的簡單幾何性質

雙曲線的一些幾何性質：

)

圖形7

■^2-~^2=13>0,6>。)

標準方程

范圍x>a或爛Ry>a或R

對稱性關于K軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

頂點4(-。,0),42(。,0)AI(0,-?)42(0,a)

半軸長實半軸長為a虛半軸長為〃

離心率e="e>l)

a

漸近線方程廣士9y=±-^x

2.雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比§,叫作雙曲線的離心率.

(2)極曲線離心率的范圍：e>\.

(3)離心率的意必：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為“=口，所以。越大，“越大，則雙曲線的開口越大.

a\aa

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=g.

3.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

(1)直接求出〃,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有?的齊次方程(或不等式)，借助于〃=/一°2消去〃，轉化為含有e的方程(或不等式)

求解.

4.雙曲線中的最值問題

求解此類問題一般有以下兩種思路：

(1)幾何法|：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是

幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解..

(2)代數洶：若題FI中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立FI標函數，將目標變量表示

為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以

及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.

3.5直線與雙曲線的位置關系

【知識點1直線與雙曲線的位置關系】

1.直線與雙曲線的位置關系

(1)研究直線與雙曲線的位置關系：

y=kx+"?,①

丫2.,2

一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組《if②的解的個數進行判斷.

①代入②得(〃一a2k2”一la2mkx-a2nr-a2h2=0.

當/-即左=±5時，直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線交于一點.

當產一02k2于0,即存土』時,^=(-2a2mkx)2-4(b2-a2k2)^-a2m2-a2b2).

△>0O直線與雙曲線有兩個交點，稱直線與雙曲線相交；

△=0j>直線與雙曲線有一個交點，稱直線與雙曲線相切；

△<00直線與雙曲線沒有交點，稱直線與雙曲線相離.

(2)對直線與雙曲線的交點位置分以下三種情況進行討論：

A>0

汨+.丫2>0；

x>0

{2

(A>0

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點，則應滿足條件J%]+上<0；

③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則應滿足條件

【知識點2弦長與“中點弦問題”]

1.弦長問題

d弦長公J：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d=VTTe\Xi-x2\=J1+表|凹一乃|.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還

是在y軸上，雙曲線的通徑總等于等.

2.“中點弦問題”

“設而不求''法解決中點弦問鄢

①過橢圓內一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的

這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將

切力轉化為能用韋達定理直接代換的M+垂直關系有時，書向量的數量關系來刻畫，要注意轉化.

3.雙曲線的第二定義

平面內，當動點M到一個定點的距離和它到一條定直線(點不在直線.1二)的距離之比是常數c=?(e>l)時,

這個動點的軌跡就是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率.

3.6拋物線的標準方程和性質

【知識點1拋物線的標準方程】

1.拋物線的定義

(1)定義|：平面內與一個定點F和一條定宜線/(/不經過點門的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點尸叫

作拋物線的焦點，直線/叫作拋物線的準線.

(2)集合語言表示

設點是拋物線上任意一點，點M到直線/的距離為d,則拋物線就是點的集合P={M\\MF]=d}.

2.拋物線的標準方程

拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：

圖形標準方程焦點坐標準線方程

F(刎7

1y2=2px(p>0)

卜x=

-2'°)2

)2—2/7A(/7>0)

x2=2py(p>0)

_\Fy=~2

3.拋物線標準方程的求解

待定系數法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方

程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數〃，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.

【知識點2拋物線的簡單幾何性質】

1.拋物線的幾何性質

拋物線的簡單幾何性質：

標準

)2=2p.i(p>0)尸=-2〃1(〃>0)聲20，（/?＞。）x2=-2py(p>0)

方程

/1)

6一J

圖形卜

T二IT

頂點(00)(0,0)

軸對稱軸y=0對稱軸x=0

F(<

焦點F加）2)

準線丁一Ppy=P

X~~2X=2y=-2y2

離心率e=le=l

開口開口向右開口向左開口向上開口向下

焦半徑

|MF|=如+3\MF\=-x0+^|M尸|=%+§1用尸1=一珈+與

范圍x>0爛0y>0><0

2.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線乂是中心對稱圖形;

②頂點個數不同，橢