2026年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（蘇教版）+解析

2025-2026學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬卷

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：蘇教版必修第二冊全冊（平面向量+三角恒等變換+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何初步+統(tǒng)

計+概率）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分°在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

I.一組數(shù)據(jù)18,20,21,22,28,30,3236,40,41的第60百分位數(shù)為（）

A.29B.30C.31D.32

2.下列說法不正確的是（）

A.單位向量的模一定相等

B.若同=W，則￡=B

C.在等邊三角形/WC中，篇與就的夾角為120。

D.若網(wǎng)=|國，西|=|阿則平面四邊形ABCD一定是平行四邊形

3.如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，。為弧43的中點(diǎn)，E為母線8c的中點(diǎn)，則異面直線AC和OE

所成角的大小為（）

4.在aABC中，麗+/卜|而一衣「是"ABC是銳角三角形”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

1/5

件

5.下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.q=(1,1),1=(2,2)B.=(3,-2),e2=(-6,4)

C.1=(0,0)2=(-1,3)

D.e,=(l,2),e2=(2,3)

6.在△ABC中，已知麗?衣=9，sin8=cos人?sinC一〃csinA=6P為線段A3上的一點(diǎn)，且

2

CACB，則常的最")

同十洞

A7+2>/37+30r7+2767+4>/3

A.------oD.------J-------

12121212

7.有4個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第

一次取出的球的數(shù)字是I”，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之

和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是4"，則下列選項不正確的是()

A.甲與內(nèi)相互獨(dú)立B.甲與乙相互獨(dú)立

C.丙與丁互斥D.乙與丁互斥

8.已知函數(shù)/(xbGcos?[sin6yx-1卜。＞0),.丫￡R.若/(x)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則”的

B.4

D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知某校數(shù)學(xué)興趣小組想測量河對岸山的高度人乩先在河岸邊定好?條基線CO=s,在點(diǎn)。測得山頂A

的仰角為。，在點(diǎn)D測得山頂A佗仰角為夕.測得NBCD=/,NBDC=b.在。點(diǎn)后移至E點(diǎn)，測得仰角為0,

2/5

A.1+12sin(/+J)B.1+12cos(/+^)

\tan2atan2/ytanatan/?Ylan2atan2^tanalan^

Catan^tanfiasinOsin夕

D，sin(^-<9)

?lan〃+tan夕

10.下列等式不成立的有（）

A.cos40°cos200-sin40°sin20°=—B.sin15°cos15°=—

22

C.2"")式v2

□.sin---cos"—=——

882

H.如圖，正方體ABC。-4與GR的樓長為2,點(diǎn)M是其側(cè)面AO〃A上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸是線

段eq上的動點(diǎn)，則（）

A.PM的長度范圍是［1,拒］

B.存在點(diǎn)P,M,使得平面與平面P8O平行

C.存在點(diǎn)P,M,使得二面角M-OC-尸大小為1

D.當(dāng)尸為棱CG的中點(diǎn)且AW=2五時，則點(diǎn)M的軌跡長度為方

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分.

12.若復(fù)數(shù)加一〃?-12+（疝-10m+24）i＞。，則實(shí)數(shù)加的取值為.

13.在梯形A8CO中，AB//CD,NA=90。，AB=2CD=3,4。=2,若所在線段48上運(yùn)動，且E”二l,

則存?而的最小值為.

14.已知四面體ABC。中，△A3D為邊長為2g的等邊三角形，CD1.BD,CD=4,二面角4-8O-C的

大小為120"則四面體ABC。的外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）為了解學(xué)生對A8兩家餐廳的滿意度情況，現(xiàn)從在48兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

50人，每人分別對這兩家餐廳的滿意度進(jìn)行打分（分?jǐn)?shù)區(qū)間為［2,10］）,將其分?jǐn)?shù)記為滿意指數(shù).根據(jù)打分結(jié)

3/5

果按[2,4).[4,6),[6,8),[8,10]分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中“餐廳的滿意指數(shù)在[2,4)內(nèi)的學(xué)

A餐廳滿意指數(shù)頻率分布直方圖B餐廳滿意指數(shù)頻率分布直方圖

(1)求圖中的值；

⑵利用樣本估計總體的思想，比較A3兩家餐廳滿意指數(shù)的平均數(shù)的大小；

(3)若B餐廳滿意指數(shù)頻率分布直方圖中第三組滿意指數(shù)的方差/=2,第四組滿意指數(shù)的方差$=1,求在B

餐廳用過餐的第三組與第四組所有學(xué)生的滿意指數(shù)的方差產(chǎn).

(注：本題計算平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

16.(15分)《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾

頓在一塊四邊形ABC。的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將3。連接，經(jīng)測最

AB=HC=CD=2,AD=2x/2.

(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論BD多長，也cosA-cosC為一個定值，請你驗(yàn)證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；

(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長與土地面積的平方呈正相關(guān)(正相關(guān)描述的是兩個變量之間的一種關(guān)系：當(dāng)一個

變量增大時，另一個變量也傾向于增大；反之，當(dāng)一個變量減小時，另一個變量也傾向于減小)，記口48。與

匚的面積分別為S和邑，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求S：+S；的最大值；

(3)霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的維護(hù)成本與分割線6。的長度平方成正比，比例系數(shù)為k,而總收益與S；+S；成正比,

比例系數(shù)為，〃(其中4>。，機(jī)>0,12-8自/°'"4A<16)若凈收益為總收益減去維護(hù)成本，請求出使凈

m

收益最大的8。長度，并寫出此時的最大凈收益表達(dá)式.

17.(15分)已知i為虛數(shù)單位，4，Z?是丁+〃a+〃=0(/兒〃￡R,A=〃?2-4〃<0)的兩個根.

⑴設(shè)4，zz滿足方程Z|+(l-i”2=9+6i,求利〃的值：

(2)設(shè)z=l+2i,復(fù)數(shù)z，z?所對的向量分別是￡與B，若向量行與Z+2B的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)/的取

值范圍.

18.(17分)如圖，在直三棱柱ABC-4出￡中，ABJ.AC,AB=4,AC=4x/L44=4卡，點(diǎn)￡戶分別

為棱4cA3的中點(diǎn).

(1)證明：直線切//平面從41。。；

(2)求異面直線EF與8c所成的角的大小.

19.(17分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)，按刁=(2,1)或B=(l,3)這兩個方向進(jìn)行，且每

次只能走一步，若某點(diǎn)P@，y)可以表示為加；+/石(團(tuán)、〃為自然數(shù))，則稱尸為鴻蒙點(diǎn)

⑴通過鴻蒙點(diǎn)(x，y)中"、y滿足的關(guān)系,判斷47,10)是否為鴻蒙點(diǎn),并說明理由;

(2)證明:若*,力是鴻蒙點(diǎn),則(x+5,y)也是鴻蒙點(diǎn);

(3)若某些鴻蒙點(diǎn)滿足x+y=200,求在所有滿足條件的鴻蒙點(diǎn)中，機(jī)+〃最小的點(diǎn)及此時〃?+〃的值.

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2025-2026學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬卷

數(shù)學(xué).參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

91011

BDABDBC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.613.—/3.7514.—H

43

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、注明過程或演算步驟.

15.（13分）

（1）B餐廳樣本容量為50,［2,4）區(qū)間頻數(shù)為15,對應(yīng)頻率為2=0.3,

頻率分布直方圖組距為2,故3=0.3,6=0.15.

所有區(qū)間頻率和為2x（〃+。.20+4+0.05）=1,

即4+6+0.25=0.5,解得4=0.1,

所以〃=0.10⑦=0.15.（4分）

（2）A餐廳滿意指數(shù)平均數(shù)K=3X0.1+5X0.3+7X0.4+9X0.2=6.4；

B餐廳滿意指數(shù)平均數(shù)京=3x0.3+5x0.2+7x0.4+9x0.1=5.6.

因?yàn)榫?京，所以A餐廳滿意指數(shù)的平均數(shù)大于8餐廳滿意指數(shù)的平均數(shù).（4分）

（3）8餐廳第三組［6,8）頻率為0.4,人數(shù)為50x0.4=20,平均數(shù)7,方差2；

第四組［8,10］人數(shù)為50x0.1=5,平均數(shù)9,方差1,

混合數(shù)據(jù)平均數(shù)1=20x7+5x9_37

20+5~~~5

方差T

1/4

16.(15分)

(1)在△A/3。中，由余弦定理得8D2=AB2+AQ2-2AB4Z)COSA,

即BQ?=4+8-8>/2COSA=12-8^COSA.

在△AC。中，由余弦定理得BO?=。笈+。。2一2。8cDcosC,

即BD1=4+4-8cosC=8-8cosC，所以12-8\/5cosA=8-8cosC?

即收cos4—cosC=g,所以無論8。多長，起cosA-cosC=J.(4分)

(2)S,=-ABADs\nA=-x2x2y/2s\nA=2>j2s\nAf工=icBCDsinC=^x2x2sinC=2sinC,

22-22

貝ljS；+S；=8sin2A+4siifC=12-8cos?A—4cos2C,

由(1)知，J2cosA-cosC=—,HPcosC=V2cosA,代入上式，

22

(]\2

得S：+S；=12-8cos2A-4后cosA—=-16cos2A+4\/2cos.4+11,

k2，

23

配方得S：+5；=-16cosA-+一,

2

當(dāng)c°sA=立時，S：+S；取到最大值為三.（5分）

82

(3)設(shè)8￡>=x,凈收益為y,則y=〃?S：+S；)-小,

由(1)知丁=12-8及cosA，r=8-8cosC,

n1.12—x~

則cosA=——T=-.

8V2

由(2)知S：+S；=—16cosA-^y

282

4

x521,2in45m,12

所以y=+S；)-去2=tn-----+—x-1一履"=——x+-__Kjx-m

82I8

5mJ

令/二八貝IJ），=一?/+------kt-m,

o2

5m.

一一k

G(12-8V2,16),

所以/=—-

7mm

2x

8;

2/4

即當(dāng)X=J納匕竺時，凈收益最大,m(10/?—4kY(56—IOm-4ky_23m2-2()km+4k2

~w_J+l2JI7)m=

m2m

(6分)

17.(15分)

(1)因?yàn)楦豏,A=〃，-4〃<0,

所以方程/+u+〃=0的兩個根4,z2為共挽復(fù)數(shù)，

設(shè)二1一"4■加，z2—a-bi(a,beR),

由韋達(dá)定理得Z]+Z2=T?,z)z2=n,

將A=a+〃i,z?=a-歷代入ZI+(l-i”2=9+6i,

^t/+/;i+(l-i)(?-M)=9+6i,Bp(2a-b)-a\=9+6i,

2a-Z?=9[a=-6

所以<，解得(5，所以4=-6-2丘，z,=-6+21i,

-tz=6[b=-21

所以加=一(馬+zj=12./?=z,z,=477.(8分)

(2)因?yàn)?=l+2i,所以Z2=l-2i,所以2=(1,2),5=(1,—2),

所以應(yīng)-B=f(l,2)-(l,-2)=(-l,2f+2),2+2萬=(1,2)+20,—2)=(3,—2),

因?yàn)閕-B與2+%的夾角為鈍角，所以何一可(2+2/；)<0,且啟?與Z+2B不共線,

所以3心(r-(l/))-2.(；2⑵r++23)<0"解得"且\

所以實(shí)數(shù)/的取值范圍為(-小升信*).(7分)

18.(17分)

(1)連接4C，由已知條件，點(diǎn)￡尸分別為棱8CA8的中點(diǎn)，

故有EF//4C，

又E/U平面AA,CC，ACu平面A4.CC，

所以直線E/3/平面4AGC；

(2)由(1)可知E尸//A/,BC〃5G,

3/4

故ZBC\或其補(bǔ)角為異面直線EF與B6所成的角.

因?yàn)锳B/AC,A4=4,AC=4x/3?所以BC="B?+3=^,

根據(jù)直三棱柱性質(zhì)可知，AA.A.AB,AA^LAC,所以8A=巧、6=4近,

22

CA=yjAiA+AC=12,

在「ACB中，由余弦定理得as/5c人_'+122—1后）_1,