指、對(duì)、冪數(shù)的大小比較必考七類(lèi)問(wèn)題-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（解析版）

專(zhuān)題4.9指、對(duì)、幕數(shù)的大小比較必考七類(lèi)問(wèn)題

【人教A版(2019)]

＞題型梳理

【類(lèi)型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】.............................................................2

【類(lèi)型2中間值法比較大小】....................................................................3

【類(lèi)型3作差法、作商法比較大小】.............................................................5

【類(lèi)型4構(gòu)造函數(shù)法比較大小】..................................................................8

【類(lèi)型5數(shù)形結(jié)合比較大小】...................................................................II

【類(lèi)型6基本不等式比較大小】.................................................................18

【類(lèi)型7放縮法比較大小】.....................................................................21

＞知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1指、對(duì)、嘉數(shù)比較大小的一般方法】

1,單調(diào)性法：當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是指數(shù)塞或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)

值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如8和〃電，利用指數(shù)函數(shù)＞=的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，如k和門(mén)，利用尋函數(shù)單調(diào)性比較大小；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時(shí)，如log”X和log”占，利用指數(shù)函數(shù)log“x單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時(shí)，要比較多個(gè)數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者

其它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對(duì)數(shù)匕大小；

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見(jiàn)技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個(gè)值所在的大致區(qū)間；

(2)可?以對(duì)區(qū)間使用二分法(或利用指對(duì)轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時(shí)候三個(gè)數(shù)比較大小，可能某一個(gè)數(shù)會(huì)被可以的隱藏了“同構(gòu)”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個(gè)數(shù)來(lái)尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來(lái)比較大小.

6.放縮法：

(1)對(duì)數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來(lái)放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

?題型歸納

【類(lèi)型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】

I.(24-25高三上?廣東佛山?階段練習(xí))已知a=訴，b=logi(/nn),c=Q)”則小b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性限定出a,b,c的取值范圍即可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】易知a=%二宿>TT°=L即a>1：

而Irm>Ine=1,所以匕=logi(lnn)<logil=0,即b<0；

44

又o<c=Q)1'7<Q)0=i,即o<c<1；

即可得b<c<a.

故選：D.

3

2.(24-25高三上?內(nèi)蒙占赤峰?階段練習(xí))己知a=3。1,b=0.1,c=log30.1,則()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出a,he的取值范圍，即可得出結(jié)論.

3

【解答過(guò)程】易知3°,>3°=1,0<0.1<1,log30.1<log3l=0,

所以a>b>c.

故選：B.

0403

3.(24-25高三上?廣東肇慶?階段練習(xí))若Q=O.3-,b=O.4,c=21og83,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到又C=21og83=log89>l,即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=0.3、在定義上單調(diào)遞減，所以a=O.304<O.303,

又y=”3在區(qū)間(0,+8)卜.單調(diào)遞增.所以0.3°3<O.403=b<1,得到a<b<1?

又c=21og83=log89>1,所以c>b>a.

故選:C.

4.(23-24高三上?重慶南岸.階段練習(xí))已知a>b>l,cV0,則()

A.;<;B.(-c)?>(4

C.(;)a+c<(乎+cD.logb(a-c)>loga("C)

【解題思路】對(duì)于A,B,取特殊值判斷即可；對(duì)于C,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對(duì)于D,利用對(duì)數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,不妨取a=4,b=2,c=-1,則￡=一：3=-"此時(shí)￡>故A錯(cuò)誤；

a4b2ab

對(duì)于B,不妨取a=4,b=2,c=-l,ffl(-c)a=l4=1,(-=l2=1,此時(shí)(一c)。=(-c",故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閍>b>1,所以0<1,所以指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，

因?yàn)閏V0,所以a+c>b+c,所以(I-，VQ)d+C,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閍>b>1,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=log>為和y=log。%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閏<0,所以a-c>b-c>1,所以k>g"a-c)>logb(b-c)>0

又log匕(b-c)>loga(b-c)>0,所以logMa-c)>loga(b-c),故D正確.

故選:CD.

25

5.(23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí))設(shè)a=0.5,b=ilog25,c=2--,則c的大小關(guān)系為b>c>

a_.

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.

21-21

【解答過(guò)程】依題意，0.525<0.5=2<2°=1,b=logzV5>logz2=1,則b>c>a,

所以a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.

故答案為：b>c>a.

6.(23-24高一?上海?課堂例題)設(shè)a=G),b=%最及c=log”，當(dāng)時(shí)，試比較5及c之間的大

小關(guān)系.

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，塞函數(shù)的單調(diào)性比較值的大小即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)%>1時(shí)，由于a=(|『是一個(gè)減函數(shù)，所以0<a=(|)"v(|7

由于b=晨是一個(gè)遞增的累函數(shù)，所以6=裝>1,

由于C=log,是遞減的對(duì)數(shù)函數(shù)，所以C=log2X<log21=0,

333

故c<a<b.

【類(lèi)型2中間值法比較大小】

7.(24-25高二上?貴州遵義?開(kāi)學(xué)考試)若。=3。汽b=log0_33,c=0.33,則a,bt。的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較見(jiàn)仇。與0，1的大小，從而可比較出大小關(guān)系

0,33

【解答過(guò)程】a=3>1,b=logo33<0,0<c=0.3<1

所以a>c>b

故選：D.

8.(24-25高二上?安徽阜陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)Q=log?。？，b=0.22,c=202，則a,〃，c的大小關(guān)系是

()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，與中間值。和1比較，即可求解.

202

【解答過(guò)程】a=log20.2<0,h=0.2G(0,1),c=2>1,

：?a<b<c

故選：A.

9.(23-24高二卜?天津紅橋?期末)已知。=2>2,b=21g3,c=\n^則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【脩題思路】取中間值2,1,0,根據(jù)Q>2,0</)<1,c<0,比較a,4c的大小關(guān)系.

【解答過(guò)程】Q=2L2>21=2,

b=21g3=lg32=lg9<IglO=l,h=lg9>Igl=0,即0<b<1,

c=In-<Ini=0,

3

所以a>b>c,

故選：A.

1().(23-24高一上.湖南湘西?期天)設(shè)Q=ln4,b=lg4,c=206,則()

A..b>aB.c>aC.a-b>abD.a+b>ab

【解題思路】根據(jù)換底公式判斷A,找中間量;，分別與之比較判斷B,作差后換底公式化簡(jiǎn)判斷CD.

【解答過(guò)程】b-a=lg4-ln4=lg4-^=處警2

又l>lge>0,lg4>0,所以匕一aVO,即b<a,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?2<e3,所以In42<lne3,即ln4〈支

又(|)s=瑞，(2。6)5=卜)=8=署，所以:<2。巴即吊4<2。巴故B正確；

1

因?yàn)镼—b—ab=）n4—）g4—In4lg4=氏一lg4—f=電，設(shè).

而lg4e>1,lg4>O』ge>0,所以Q-b—abVO,即a-bVab,故C錯(cuò)誤：

由a+b—ab=粵+lg4—臀,lg4=lg4,>0,所以a+b>abt故D正確.

故選：BD.

11.（2024?北京通州?三模）已知口=2-1,，b=logipc=log23,則三者大小關(guān)系為a<b<c（按

從小到大順序）

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定出a,b,c的范圍，即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)镼=2Tl<2T=p

b=log—=log43>log42=I，且/?=logij=log43<1,

c=log23>log22=1?

故aVb<c,

故答案為：a<b<c.

12.（24-25高一?全國(guó)?隨堂練習(xí)）已知x=Inn,y=log52,z=e~.

（1）比較x,y的大小；

（2）比較y,z的大小.

【解題思路】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，羽y和中間值1比較大小，即可判斷；

（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對(duì)數(shù)式的運(yùn)算，y,z和中間值夕匕較大小，即可判斷.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閚>e,所以Inn>Ine=1,即％=Inn6（1,+8）

因?yàn)?<2<5,所以0=logsl<log52<logs5=1,BPlogs2€（0,1）,

所以%>y：

（2）y-log52<logbV5=\且10的2>0,所以log$2G（0弓），

z=e-：=3>G=；,所以e-昊&+oo）,

所以y<z.

【類(lèi)型3作差法、作商法比較大小】

13.（24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)a=log52,b=0.5°6,c=0.6%則（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

【解題思路】利用對(duì)?數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出Q<pb>^即可判斷出b>a,再利

用作差法比較c,b的大小關(guān)系即可求解.

0161

【解答過(guò)程】解：a=log52<logs遙=^,b=O.5>0.5=

b>a,

31

Vb=O.506=(乎c=O.605=(1)\

、_

"*'cin-b,io=-2-4--3----1---=-1--2-4--2-7->0,

312564200000

AC>￡?,

c>b>a,

故選：A.

14.（24-25高二上?安徽?開(kāi)學(xué)考試）已知a=log45,b=logs6,c=log67,則（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【解題思路】由于都為正數(shù)，可用作除法，結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)性質(zhì)比較大小.

【解答過(guò)程】2=%=log6.lcg4<（晚心等）2=（弊）2V（譬變）2,即匕va.

Q.Iog《55Ls22=1

2=黑=log67-10g65<（些產(chǎn)）2=（亨）2<代署）2=1,即c<b.

DlOggO乙ZZ

綜上知道a>b>c.

故選：D.

15.（24-25高三上?四川德陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）已知a=】og32,b=1。〃3,c=0.512,比較a,b,c的大小為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解題思路】利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式比較a,b的大小，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)比較a,c大小，即可求解.

In3_In2ln4-（ln3）2

【解答過(guò)程】a-b=^

In4In34n4

因?yàn)镮n2,ln4>0,

所以ln2+ln4>2Vln2-ln4,即ln2-ln4<^（ln8）2<^（ln9）2=（ln3）2,

所以ln2?ln4V（ln3）2,且ln3"n4>0,

所以a<b,

1,21

又因?yàn)镼=log32>log3V3=I，c=0.5<0.5=I，

所以a>c,

綜上，b>a>c,

故選：D.

16.（23-24居一下?江西撫州?期I）已知實(shí)數(shù)a,bW（0,+8）,且a>b,則（）

A.--->-—B.Q2d>+2b

a+2b+2?+

C.\nab<21naD.\[a+b>a+4b

【解題思路】由不等式的性質(zhì)即可判斷AB；作差法判斷C,特殊值法判斷D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>0,所以a+2>b+2>0,所以白〈白，故A錯(cuò)誤;

a+2ft+2

對(duì)于B,因?yàn)閍>b>0,所以a?>。2,2。>2b,所以a?十2a：>b?十2b,故B正確；

對(duì)于C,\nab-21na=Ina+Inb—21na=In/?—Ina=In-,

a

因?yàn)閍>b>0,所以0<2<1,所以In^vO,故C正確：

aa

對(duì)于D,令a=l,b=；,可知D錯(cuò)誤，

4

故選:BC.

17.（2024高三上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若"6NLn>l,則logn（〃+1）與地葉式九+2）的大小關(guān)系為_(kāi)

1。國(guó)+1（幾+2）Vlog?[（九+1）.（用“<"連接）

【解題思路】利用作商法以及基本不等式可得出兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系.

2

【解答過(guò)程】靄儒=logn+in-logn+1（n+2）<[組咤吐

22

二|'logn±i（n^+2n）<jlogn+i（n^+2n+l）j_]

因?yàn)榫與/V“，n>1,WJlogn（n+1）>lognl=0,10gn+1（n+2）>log?+1l=0,

所以logn+15+2）<logn（n+1）.

故答案為：logn+1（H4-2）<logn（n4-1）.

18.（23-24高三?全國(guó)?對(duì)口高考）（1）比較外陰與

（2）已知a>2,比較log（a_i）a與】oga（Q+1）大小.

【解題思路】（1）利用作商法，分類(lèi)討論即可；

(2)利用做差法、換底公式以及不等式的性質(zhì)分析即可.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閍>0,b>0,

所嘲=(廣

所以①當(dāng)Q=b>0時(shí)，公K=(?)=1?

所以a。/?=

②當(dāng)a>b>0時(shí)，^>l,a-b>0,

b

嗯廠,>L

所以a”》>baab,

③當(dāng)b>Q>0時(shí)，0<0,

b

即鏟

所以a。/?>〃(？，

綜上所述：當(dāng)Q>0/>0,aabb>baab.

(2)log^.^a-loga(a+1)

Igalg(a4-1)

-lg(a-1)Iga

_lg2a-lg(a+l)lg(a-l)

lgalg(a1)

因?yàn)閍>2?所以lg(a4-1)>0,lg(a-1)>0,lga>0?

所以lgalg(a-1)>0,

由lg(a+l)lg(Q-l)vyg，a+D)2

=(空)2<(竽)2=lg2a,

所以收2Q_ig(a+i)lg(a-1)>0,

所以lg2aTg(a+1)lg(aT)

>0,

Igalg(a-l)

即log(a-l)。Toga(a+1)>0，

故log(a-l)a>IOga(Q+。

【類(lèi)型4構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

b

19.(23-24高二下?云南玉溪?期口)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足2。+。=2,2+b=V5,c=log163,則()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得cVn構(gòu)造函數(shù)/■Q)=2X+X,X￡R,由函數(shù)的單調(diào)性得Vb及，

即可得出判斷.

【解答過(guò)程】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，c=log163<log164=log16162=p

構(gòu)造函數(shù)/(%)=2X+x,xGR,則/(a)=2。+Q=2,f(b)=2b+b=V5

因?yàn)閥=2x和y=%單調(diào)遞增，所以/(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)?c通，即/'(a)</(b),所以avb,

又/(}=2^+：=等<2,所以f(a)>fG)，即

所以cVaVb,

故選：A.

20.(23-24高三上?湖南?階段練習(xí))已知a=e-l,b=海■一三，c=近一齊，貝IJ()

4Inn

A.b>c>aB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【解題思路】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)/'。)=1-：并判斷其單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.

【解答過(guò)程】令/(無(wú))=e"-：，x>0,顯然函數(shù)丫=e',y=-:在(0,+8)上都遞增，則函數(shù)/[%)在(0,+8)

上遞增，

而a=e_]=/(l),b=e§-：=/($,c=Vn-=e,n%/^—=/(inVn),

又ln?V1<g,因此f(InF)Vf(1)<f(》

所以b>a>c.

故選：C.

21.(23-24高一下?內(nèi)蒙占?階段練習(xí))若x=log424,y=31og+3,y+8匕=150則()

A.x>y>zB.y>z>xC.z>y>xD.y>x>z

【解題思路】先設(shè)/?(。)=。2+。3(。>0),得到函數(shù)的單調(diào)性和/(a)=150的解為a=5,并求出42+8工=

Z

/(2)=150,所以z=log25=log425,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較出大小.

【解答過(guò)程】設(shè)函數(shù)/(a)=a2+a3(a>0),則f(a)為增函數(shù),

因?yàn)閒(5)=150,所以/'(a)=150的解為a=5,

ZZZ

44-8=/(2)=150,所以2z=5,z=log25=log425.

3

因?yàn)椋?log424<log425<log427=log43=y,所以y>z>x.

故選:B.

22.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))(多選)若3。-3b>2>一2%則下列不等式正確的是()

A.ln(a—d+1)>0B.ln(b—Q+1)>0

C.ea-b-1>0D.eb-a-1>0

【解題思路】根據(jù)/(x)=3、+2、為增函數(shù)，可得Q>b,進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)/(外=3'+2”為增函數(shù)，3。-3b>2匕-2。，即3。+2a>3。+2匕

所以Q>b,a—b>0,則Q—b+1>1,

所以ln(a—b+1)>0,故A正確；

由匕—aVO,得b—a+lvl,

所以ln(b-a+1)<0,故B錯(cuò)誤；

ea-b>eo=b所以eaf-1>0,故C正確；

e?-a<e°=i,所以盧一。一1<0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

b

23.(23-24高三上?湖南?階段練習(xí))已知正實(shí)數(shù)a,b滿足：3。=27+log3^,則Q與3b大小關(guān)系為aV3b.

【解題思路】由題意可得3a+log3a<33b+log33b,令f(%)=3x+log3%(%>0),則有f(a)Vf(3b),根

據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)?。=27。+log3，，所以3。+log3。=33。+log33b-1V33、+log33/h

設(shè)/(%)=3,+log3x(x>0),又因?yàn)閥=3"與y=log?%在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以/(%)=3*+log3%在(0，+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?3)</(3切，

所以Q<3b.

故答案為：Q<3b.

24.(2024.廣東.模擬預(yù)測(cè))已知/⑺=2022/+臉|訃且Q=/(息一°)6=八恒盛)，c=/(刎―),

則a,b,c之間的大小關(guān)系是cvavb.(用“V”連接)

【解題思路】易得函數(shù)八幻為偶函數(shù)，且在(0,+8)上遞增，再利用中間量法比較4叫。26,10。2,幅2022的大小

關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【解答過(guò)程】解：函數(shù)八%)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),

因?yàn)?(-%)=2022/+log2|x|=f(x),

所以函數(shù)/■(%)為偶函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)y=2022/,y=log2㈤在(0,+8)上遞增,

所以函數(shù)f(%)=2022/+logzl*在(0,+8)上遞增,

1(，2102

則a=/((1o)-)=/(°)^=/(lg2o22)=八館2。22),

因?yàn)閘ogo.26v0,所以0VJogg」v1,

2

1<10°<(35)02=3<lg2022,

所以4山g―<10°2<lg2022,

所以/(4*/)</(IO02)</(lg2022),

BPc<a<b.

故答案為：c<a<b.

【類(lèi)型5數(shù)形結(jié)合比較大小】

25.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))若ae。=blnb(a>0),則()

A..a<hB.a=bC.a>bD.無(wú)法確定

【解題思路】令ae。=blnb=k,k>0,構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)圖象，即可比大小.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍>0.

所以ae。>a>0,

因?yàn)閍e。=b\nb,

所以blnb>0,可得b>1,

令ae。=b\nb=k,k>0,

所以e。=-,\nb=

ab

設(shè)/(%)=eHg(x)=Inx,h(x)=

作出它們的圖象如圖:

由圖可知Q<b.故選項(xiàng)A正確.

故選:A.

c

26.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知a=(J=\o^ab,a=logic,則實(shí)數(shù)a,4c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】由函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)存在性定理及畫(huà)出函數(shù)圖象，得到a,瓦c€(0,1),得到log的<1=logaa,

求出b>a,根據(jù)單調(diào)性得到c=<G)"=a,從而得到答案.

【解答過(guò)程】令/(%)=G)'-％,其在R上單調(diào)遞減，

又/(0)=1>0，/⑴=>1=一*0,

由零點(diǎn)存在性定理得Q€(0,1)，

則~=logQ.Y在(0,+8)上單調(diào)遞減，

畫(huà)出力=(3"與丫=log。》的函數(shù)圖象，

可以得到bG(0,1),

又比=謨?cè)赗上單調(diào)遞減，畫(huà)出丫2=謨與丫3=logpt的函數(shù)圖象,

可以看出C€(0,1),

因?yàn)镚)<(1)=1'故logabV1=loga。，故b>a，

因?yàn)閍,cW(0,1),故/>a1=Q,

由a，=log”得，c=6)<(J=a.

綜上，c<aVb.

故選：D.

27.(2024?廣東茂名?一模)已知x,y,z均為大于0的實(shí)數(shù),且2”=3y=log/,貝一,y,z大小關(guān)系正確的是

()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解題思路】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=3\y=log5K與直線尸=t>1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)

系，再作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)閄,y,z均為大于。的實(shí)數(shù)，

y

所以2*=3=log5z=t>1,

進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=3x,y=logs%與直線y=t>1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，

故作出函數(shù)圖像，如圖，

由圖可知z>x>y

故選：C.

28.（23-24高一上.福建泉州.期末）已知正實(shí)數(shù)”，b,。滿足a+log2a=b+2。=2,+log2c=4,則以下

結(jié)論正確的是（）

b

A.b+log2a>4B.a+log2c>4C.2+c>4D.20+log2b>4

【解題思路】由已知條件分析出Q是函數(shù)y=log2%與y=4-”交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，b是函數(shù)y=2"與y=4-第交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，c是函數(shù)y=log?%與y=4-2”交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖像，由圖像得出1v

b<c<a<4,再畫(huà)出y=x的圖像，分析出利用不等式的性質(zhì)即可判斷出答案.

【解答過(guò)程】a+log2a=b+2>=2。+log2c=4,

bC

log2a=4—a,2=4—b,log2c=4—2,

???Q是函數(shù)y=log?%與y=4-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

匕是函數(shù)y=2"與y=4-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

c是函數(shù)y=log2xhiy=4—2乂交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

如下圖所示，ffll<b<c<a<4,且2，>Q>C,

選項(xiàng)A：

???a+log2a=4,且Q>b,

b+log2aV4,故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：

V2c+log2c=4,且2c>Q,

???a+log2c<4,故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：

'：b+2b=4,且c>b,

???c+2匕>4,故C正確；

選項(xiàng)D：

vc>b>1,

，log2c>log2b?

C

又2+log2c=4,

???2C+log2b<4,故D錯(cuò)誤;

29.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知log。。>log>。（a,b>0且a,b,cW1）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)c>1時(shí)，Q<b

B.當(dāng)0VcVl時(shí)，a<b

C.當(dāng)Q<b時(shí)，(a-l)(b-l)(c-1)>0

D.當(dāng)1VbVQ時(shí)，2c-2VO

【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解答過(guò)程】由滿足log/>10g?C的情況有以下六種:

⑴如圖1所示，可得憶箕:

⑵如圖2所示，可得｛二：1

⑶如圖3所示，可得｛。鹿著黃

<1

a<1

(6)如圖6所示，可得

對(duì)于A中，當(dāng)C>1時(shí)，第（4）種情況不滿足。<匕，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，當(dāng)0VCC1時(shí)，第（1）種和第（5）種情況不滿足。<b,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中,當(dāng)QVb時(shí)，第（2）種、第（3）種和第（6）種情況均有（Q—l）（b—l）（c—l）>0,所以C正

確；

對(duì)于D中，當(dāng)lVbVa時(shí)，如第（1）種情況，MO<c<1,所以2c-2VO成立，所以D正確.

故選：CD.

30.（23-24高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）比較下列各組中兩個(gè)值的大小.

?log31.99,log32.

@log30.2?log40.2.

③log23,10go.32.

@Iogan,loga3.14（a>。且a工1）.

【解題思路】①利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即司k②根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像判斷；③利用中間量0即可；④根據(jù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論即口J.

【解答過(guò)程】①因?yàn)閒（%）=1叫*在（。,+8）上是增函數(shù),且1.99<2,則/'（1.99）V/（2）,所以log31.99<

1叫2

②作出y=log?%和y=log/的圖象如下圖.

由圖象知log30.2Vlog40.2.

③因?yàn)閘og23>log2l=0,

log.).32<logo_3l=0,所以臉3>log0.32.

④當(dāng)Q>1時(shí)，函數(shù)y=log。X在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaTl>loga3.14：

當(dāng)0VaV1時(shí),函數(shù)y=loga%在定義域上是減函數(shù),則有l(wèi)ogair<loga3.14.

綜上所述，當(dāng)a>l時(shí)，logan>loga3.14；

當(dāng)0<a<1時(shí)，logaR<】oga3.14.

【類(lèi)型6基本不等式比較大小】

31.(23-24高一下?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))已知a=F>0,b-e~03,c-log則有()

■2J

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

【解題思路】由基本不等式得出Q的范圍，進(jìn)一步由指數(shù)函數(shù)、.對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.

0,3

【解答過(guò)程】a=Vx+>2/=1,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)％=%且c=log21<log2l=0<b=e-<1=

e0,

從而a>b>c.

故選：B.

32.(23-24高二下?浙江溫州?期口)已知％1=log?2,%?=logs6,X3=?og25，則()

A.xx<x2<x3B.<x3<x2C.x3<<x2D.x3<x2<xx

【解題思路】先判斷出與<1，x2>1,無(wú)3>1，然后根據(jù)作差法結(jié)合基本不等式比較%2，%3?

5,o4

【解答過(guò)程】由題意，%!=log32<log33=1,x2=log56>lcg55=1,%3=1log2>1g2=

由換底公式,x3=1log25==10g45,

i/ilIn6In5In4ln6-(ln5)2

不一不=>og56-log45=而一啟二

由于In4Hh16,根據(jù)基本不等式，ln4.ln6<(*巧=(―)<(等)=(ln5)2,

故不-x3<0,即不<x3,于是<x2<x3.

故選：A.

zq\0.6

33.(2024高二下?浙江?學(xué)業(yè)考試)已知a=-log[8,b=log56-logs4,c=，貝U()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】化簡(jiǎn)可得a=log68,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明1VQ<：,結(jié)合基本不等式及對(duì)數(shù)性質(zhì)證明b<1,

結(jié)合函數(shù)y=(J”為(—8,+8)上的增函數(shù)，證明c>會(huì)由此可得結(jié)論.

【解答過(guò)程】a=-logi8=log68,

因?yàn)?2=64<216=63,所以8<6窘又6V8,

所以6<8<因?yàn)楹瘮?shù)y=log6%為（0,+8）上的增函數(shù),

所以1<唳68<也即IV"去

2

因?yàn)閎=log56.log54<（^^）=（審）2<（審了=（審）2=1,

所以b<1,

因?yàn)楹瘮?shù)丫=（?”為（-8,+8）上的增函數(shù)，

所以。=第>（曠，

所以6<a<c,

故選：D.

34.（23-24高二下?河北石家莊.期末）已知a>0,Z?>0,a,b,且a+b=2,則（）

C.2。+2b>4D.log2。+log2b>2

【解題思路】對(duì)于A,運(yùn)用常值代換法可得?+"3,排除A；對(duì)于B,將條件等式取平方后，運(yùn)用常值代

換法即可推得專(zhuān)+表>2正確；對(duì)于C,直接運(yùn)用基本不等式，檢驗(yàn)等號(hào)成立條件即得；對(duì)于D,利用基本

不等式推得泌<1,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到log2a+log2b<0,排除D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,由5+：=；C+｝（a+b）=l+5+￡zi+2/=3，

當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=l時(shí)等號(hào)成立，因Q工6,則得工+:>3,故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,由a+b=2取平方得，a2+2ab+b2=4,

.i1.11,a2+2ab+b2,a2+2ab+b21,2d,2a.b2,a2.

則m京+巨=1（「^-+—^x）=1（2+瓦+了+我+；7）

>；（2+2J-?券+2J*韻=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立，

因a*b,故得，+L>2,故B王確；

a2b2

對(duì)干C,2a+2d>2V2a-2b=2-j2a+b=4,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=1時(shí)等號(hào)成立，

因aHb,則2。+2b>4,故C正確；

對(duì)于D,由2=a+b2可得ab工1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立，

因aHb,則有abV1,Hlog2a+log2b=log2（aZ?）<0,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

35.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知v7匕114v75,設(shè)。=iog6，b=log76,c=logi，,則a,b,c

的大小關(guān)系為a<bvc.（用“<”連接）

【解題思路】由6$<74,irv7$兩邊取對(duì)數(shù)可比較b,c的大小，做差利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算、基本不等式可比較a/

的大小，從而得到答案.

【解答過(guò)程】由65V74,1〉v75得

510g76<4<510gli7,

即log76<^<logn7,

???b<cf

又ai=log6570g76=臀一臀=用羊〈等沁，

6667|g6Ig7Ig61g7Ig6lg7

???Ig5+lg7=lg35<Ig36,

一<lg6，

...（R<也26,

；.aVb,

綜上：a<b<c.

故答案為：a<b<c.

36.（24-25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知f（x）=Igx（x>0）,若%「x2G（0,+8）,試判斷:網(wǎng)與）+/3）］與

/（牛）的大小，并加以證明.

【解題思路】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出］/'（%）+"次）］=忸7^^，再利用基本不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

可得出3IfM+/'（'2）］與f（2署）的大小關(guān)系.

【解答過(guò)程】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得：［/（/）+/（無(wú)2）］="恒工1+也無(wú)2）=|lg（%iX2）=恒后豆，

又/（空）=也第，

由基本不等式得石W空，當(dāng)且僅當(dāng)與=冷時(shí)，等號(hào)成立，

xi+x

由于函數(shù)y=Igx為增函數(shù)，所以，1g后石工1g29

2

因此，與/（/）+/（%2）]工/（華），當(dāng)且僅當(dāng)不二孫時(shí)，等號(hào)成立.

【類(lèi)型7放縮法比較大小】

37.（2024?四川樂(lè)山?三模）若Q=log32,b=Iog43,c=e-2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】利用放縮法可得Q利用作商比較法可得?=華票<曳喀學(xué)，進(jìn)而可得Q<

人可得結(jié)論.

-2

【解答過(guò)程】a=log32>log3V3=pb=log43>log4V4=pc=e<

所以則a>c,b>c,

乂g_啕2_Ig21g4v即g2+]g4）]2=[g28]g?9_41g?3_1

222

blog43lg3-lg341g2341g2341g3'

所以QVb,所以c<a<b.

故選：D.

38.（2024.西藏林芝.模擬預(yù)測(cè)）已知％=ln3,y=logs￡,z=eR,貝ij（）

A.x<y<zB.z<x<y