思維提升 培優點10 抽象函數的性質-2026年高考數學二輪復習

培優點10抽象函數的性質

［考情分析］抽象函數問題是近幾年高考的熱點問題，考查數學素養和創新思維.抽象函數問題是指沒有給

出具體的解析式，只給出它的一些特征、性質或一些特殊的關系式的函數，所以做抽象函數的題目需要有

嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函數知識靈活運用的能力.

考點一抽象函數的奇偶性、周期性與對稱性

例1(多選)(2025?海口模擬)已知函數作)的定義域為R,且滿足人2+.丫)4：/(2-.丫)=6,函數百1)$1+.丫)?

(1+x)為偶函數，貝義)

A.函數次幻圖象的一個對稱中心為(2,3)

BH0)=2

C.函數人幻為周期函數，且一個周期為4

D/(1)+/(2)V(3)+/(4)=14

答案AD

解析對于八，由_/(2+x)+/(2-x尸6知函數.Kr)圖象的一個對稱中心為Q,3),故A止確；

對于B,因為函數/(x)的圖象關于點(2,3)對稱，則/(2)=3,

由函數F(x)=y(l+x)-(1+x)為偶函數，故川+x)-(1+x)=/(1-x)-(l-x),即川+x)=^(I-x)+2x,

令尸-1,則/(0)=/(2)-2=3-2=1,故B錯誤；

對于C由函數/(X)圖象的一個對稱中心為(2,3),購=1,則/(4)=5,即次0)關44),故函數J(x)的周期不是

4,故C錯誤；

對于D,由/(2+x)+/(2-x)=6,令x=l,有/(3)+/(1)=6,

又42)=3<4)=5,故加)飲2)獷3出4尸14,故D正確.

［規律方法］函數性質的綜合問題經常利用函數的奇偶性、對稱性、周期性中的兩個性質去推導第三個性

質，再將3個性質綜合運用即可實現問題求解.

115

跟蹤演練1已知函數兀0的定義域為R,且Hx+l)t/(x?l)=2,兀什2)為偶函數,若/(0)=2,則S/)

k=l

等于()

A.116B.115C.114D.I13

答案C

解析由y(x+i)t/(x-i尸2,

得/C"2)〃M=2,即./(戶2)=2次%)，

所以危+4尸2企+2)=2-［2企)］=/(、)，

所以函數/U)的周期為4,

又火.什2)為偶函數，

則4什2)=。+2),

所以危)=/(4-x)=/(-x),

所以函數人刈也為偶函數，

又於戶2,

所以J(3)M1尸2,/(4)切(2)=2,

所以巡1)M2)M3)M4)=4,

又/(2)〃0)=2,膽)=2,

所以義2)=0,

115

所以S分尸[/UHA2)“(3)t/(4)]X284/(1升/(2)?(3)=4義28+2+0=II4.

k=1

考點二兩個混合型函數的抽象函數

例2(2022?全國乙卷)已知函數幺x),g(x)的定義域均為R,且./(x)+g(2-x尸5,g(x)/x-4)=7.若尸g(x)的

22

圖象關于直線尸2對稱，g(2)=4,則X/⑻等于()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

答案D

解析由產g(x)的圖象關于直線x=2對稱，

可得g(2+x)=g(2?x).

在yu)+g(2?x尸5中，用替換X,

可得義-x)+g(2+x尸5,

可得小x)1x).

在g(x)7(x-4)=7中，用2-x替換x,得g(2-x)=y(-x-2)+7,

代入?x)+g(2-x尸5中，

得/(力"?*2尸?2,

可得義x)t/(x+2尸?2,

所以加+2)4"4)=?2,

所以凡什4)=/)，

所以函數Hx)是以4為周期的周期函數.

由7W+g(2-x)=5可得./(0)+g(2尸5,

又鼠2)=4,所以可得｛0)=1,

又火研/a+2)=2

所以貝0)出2)=-2,

Ll)=?2,

得/(2)=?3,/(1)=/(-1尸?1,

又加月(?1戶1,

/(4)=A0)=l,

22

所以2_/(Zr)=6/(1)+6A2)+5/(3)+5/(4)=6X(-1)+6X(-3)+5X(-1)+5X1=24.故選D.

k=l

［規律方法］解決雙函數的抽象函數問題，關鍵是找到兩個函數之間的聯系，然后通過賦值、解方程分別

找到每一個函數之間的內在聯系，從而得到每一個函數的性質.

跟蹤演練2(多選)已知定義在R上的偶函數/U)和奇函數爾工)滿足、/U+x)-g(x)=2,貝U()

A.g(x)的圖象關于直線x=2對稱

B.g(x)是以4為周期的周期函數

C/U)的圖象關于點(1,2)對稱

2025

D.2、/(2h1)=2025

k=l

答案BC

解析對于C,由/(l+x)?g(x)=2,①

得/(l-x)-g(?x)=2,

因為g(x)為奇函數，所以趴-x尸-以工)，故y(l-x)+g(x尸2,②

①+②，得/(l+x)+/(l-x尸4,

所以7(x)的圖象關于點(1,2)對稱，且,/)+/(2-工)=4,故C正確；

對于D,因為火刈是偶函數，所以.仆)=4蟲2-.丫)=4次.2),

所以外)決-2)=4,尸4,故/(x)=/(x-4),

所以4x)的周期為4,

在/(l+x)t/(l-x)=4中，令x=0,得)1)=2,

所以人l)+/(3)Fl)+/(1)-2/(D-4,

結合凡x)的周期性得，A5)+f(7)=-=/(4045)+A4047)=/(1)+/(3)=4,,/(4049)=^1)=2,

2025

所以2/(2hl)=2025X2=4050,故D錯誤；

k=l

對于A,①-②，得以')/》?"—"),

所以飄2+')+雙2田」(3+叱(--卬(3-乎1)

)1f(3-x)—f(x—l)

22

=0,

所以g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，而不是關于直線—2對稱，故A錯誤；

對于B,由g(2+x)+g(2?x)=0得g(x)+g(4?x)=0,

因為g(x)是奇函數，所以g(x)=-g(4-.v)=g(.r-4),

所以狼刈是以4為周期的周期函數，故B正確.

考點三抽象函數與導數

例3(多選)(2025?石家莊模擬)函數/(x)及其導函數八x)的定義域均為R,且滿足/(2r)=/(2x+3),/(x+3)

為奇函數，若2是/(X)的極值點，則()

AJ(x)的周期為3

是偶函數

C/U)是奇函數

D/(x)在(0,6)上至少有7個零點

答案AD

解析因為火2刈=/(2/3),得40=仆+3),所以大外的周期為3,故A正確；

/(x)=/("3)兩邊同時求導得八x)=/Q+3),所以八x)的周期為3.

因為/(x+3)為奇函數，所以八/3)4/(5+3尸0,即"x)4/Gx+6)=(),

又因為八x)的周期為3,則八x)4/(R=0,所以/V)是奇函數，故B錯誤；

由八x)=:A?x),可得/(x)=/(-x)+c,c為常數.

又函數y(x)的定義域為R,所以當.10時，火0月(0)+。，可知c=0.

即/U)y-x),則函數/U)為偶函數，故c錯誤；

因為2是人外的極值點，所以/(2)=0,又函數/(X)為周期為3的奇函數，

故八?2)=0,/(5)=f(2)=0,r(l)=A-2)=0,八4月V)=0,

因為/(x)=/G+3),/(x)=/(-x),

所以/(x+3)=/X-x),即八幻的圖象關于點(I，0)對稱，又/(x)的定義域為R,

所以砥=0,/(|)=/(|)=0,貝VUW(|)=/'(2)=八3)=八4)=第)力5尸0,

即八X)在(0,6)上至少有7個零點，故D正確.

［規律方法］與導致有關的抽象函數的性質，關鍵是原函數./U)的性質和導函數八x)的性質之間的關系，如:

在定義域R上，若函數.兒丫)為奇函數，則導函數/V)為偶函數；函數{x)為偶函數，則導函數/(x)為奇函數;

若函數的圖象關于直線尸〃對稱，則導函數八刈的圖象關于點(a,0)對稱；若函數/U)的圖象關于點(a,

0)對稱，則導函數八x)的圖象關于直線尸。對稱.

跟蹤演練3(多選)已知定義在R上的函數/(X),g(x)的導函數分別為/口)，gQ),且/(x)=A4-x),

/(1+萬?時尸4,/(x)+g(l+x尸0,貝弘)

A.g(x)的圖象關于直線x=l對稱

Bg(3尸1

C〃x)的一個周期為4

D：/W(〃)=0(〃￡Z)

答案ACD

解析由y(x)y4-x),#./(i+x)=A3-x),①

由/(l+x)-g(x尸4,②

得/(3?X)吆(2-X戶4,(3)

由①②{③得，g(x)=g(2?x),所以函數g(x)的圖象關于直線x=l對稱，故A正確；

由gQ)=g(2-x),得g。尸-g(2-x),

令尸1,得g'(l)=O,

由＜尸4,得八1+刈吆。尸0,

令尸1,得八2)=g'(l)=0,

所以/(2+x)?g'(l+x)=0,④

又八x)+g(l+x尸0,⑤

令尸2,得：/X2)=g(3)=0,故B錯誤；

④⑤兩式相加，得八2+止/口尸0,得八4+辦以2+x)=0,

所以/(x)=/X4+x),即函數八幻的一個周期為4,故C正確；

由/'(2+x)4/(x戶0,令x=2,得八4)十八2戶0,所以八4)=0,

所以/(I)g'(l)=/'(2)g'(2)=n3)g(3)=*4)g＜4)=…=f(〃)g5尸0(〃￡Z),故D正確.

考點四抽象函數賦值與構造

例4(多選)已知函數加)的定義域為R,若Vx,y￡R,有/(x+y)t/a少尸〃/⑴=0,/(0)W0,貝U

()

A;A0)=l

BJ(鴻

CH》)為偶函數

D.4為函數/(x)的一個周期

答案ACD

解析根據題意，/(x+y)t/(xR=2/U)/e),

取產尸0,得〃0)=2[/(0)]2,

因為八0)W0,所以40)=1,A正確；

取壯，此，

2

得41)+/(0)=2/6)],

所以/6)=埒，13錯誤；

取尸。，尸，得益)+/(-幻=2/3,即.危)=/(孫

所以;(X)為偶函數，C正確；

取尸1,得/(x+1尸加-1),所以加+2尸扒x),.危+4尸：危+2)=/(幻，

即4為函數/(x)的一個周期，D正確.

[規律方法]雙變量的抽象函數的性質問題常用的方法是賦值法，求函數值時，通常令等式中的變量取0,

1,2,-1,-2等特殊值：判斷函數奇偶性時，通常通過賦值使等式中出現?x,x：當然要結合所求靈活賦值,

根據函數的性質進行求解.

跟蹤演練4(2025?青島模擬)已知函數外)的定義域為R,火聲7)/＞田=賀修)/0，)，火1)=1,貝以2025)

等于()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析令x=0,

則."M-y)=2/(1)/U尸2/S，

?；仙尸：/(-力，，兀v)為奇函數，

令則八/1)次#1)=認1-4求1)=2/(1八)，

:/U)為奇函數，

?；/(1旬戶企-1),

A/(x+l)=^(x-l),

.??7(/2)=如)，.??/(x+4)=/(x),

?7/(x)的周期為4,???/(2025)11)=1.

專題強化練

［分值：44分］

一、單項選擇題(每小題5分，共10分)

1.(2025?重慶模擬)設函數y(x)的定義域為R,/(、)是y(x)的導函數若/U+1)是奇函數，則八幻的圖象()

A.關于點(1,0)對稱B.關于直線x=l對稱

C.關于點G1，0)對稱D.關于直線尸-1對稱

答案B

解析因為兒什1)是奇函數，所以於+1尸式-x+l),即/(x+1)+/(-、+1)=0,

則/(x+l)/(-x+l尸0,所以八x)的圖象關于直線x=l對稱.

2.(2025?長春模擬)已知定義域為R的奇函數/(、)滿足/(x)t/(2-x尸2,則()

A：/(2尸0

B:/(l0)=10

C4x)的周期為2

D.直線x=l是曲線產次工)的一條對稱軸

答案B

解析對于A,已知兒丫)是定義域為R的奇函數，則{0)=0.

令尸0,代入7WH2-x)=2,可得加H/(2)=2,所以火2)=2,所以A錯誤；

對于B,因為/(x)是奇函數，則/(■工尸火丫).

由./U)+/(2-x)=2,可得/(-x)+/(x+2)=2,又因為j［-x)=-j(x},

所以二心)乜2也尸2,即/(x+2)=/(x)+2.

所以*0)=/(8)+2=/(6)+4=/(4)+6=償)+8=10,所以B正確；

對于C,由./U+2)=2t/a),可知./(.葉2)壬及江所以Hx)的周期不是2,所以C錯誤；

對于D,由./(0尸0W2=/(2),得直線x=l不是曲線尸=/(?的對稱知，所以D錯誤.

二、多項選擇題(每小題6分，共24分)

3.(2025啷陽模擬)已知函數於)的定義域為R,±L/(-x)=/(x),於-2)=由田，當工巳[0,l]M,於)單調遞減，

則下列說法正確的是()

A.函數/(x)的圖象關于直線--1對稱

B.函數應丫?1)為奇函數

C.4是函數(t)的一個周期

D/停)</(*)

答案BC

解析因為於?2尸十?刈,所以於)的圖象關于點(?1,0)中心對稱,故A錯誤；

令尸G)=/(x-i),所以向(-x)y-x-i),又及口2)=十這)，所以危_1尸次_,l1),

所以F(x)=-E(-x),故/(x-1)為奇函數，故B正確；

因為4-x)=/(x),所以./(X)是偶函數，所以人片2)=4-幻=次外，

所以於+2)={0所以小+4尸;兒什2)=/)，

所以孔0是周期為4的函數，故C正確；

由函數7U)的奇偶性和周期性知

/(>og41)=/'(-log43)=Alog43),

/(￥)=/?-

又因為當x￡[0,1]時，")單調遞喊，Iog43>log42=1,所以4og&3)勺O，

即/(ogA)g(m)，故D錯誤.

4.定義在R上的函數/(工)滿足{2-力=/(刈，/(1)=2,/(3小2)為奇函數，函數g(x)(x￡R)滿足g(x尸-g(4-x),若

月(x)與尸g(x)的圖象恰有2025個交點g/),g玫)，…，的025，3儂)，則下列說法正確的是()

A;/(2025)=2

B：A2)=0

C.2為)寧(幻的一個周期

2025

D.S(即+乂尸4050

i=1

答案ABD

解析因為/(2?x)=/(x),所以函數J(x)的圖象關于直線x=1對稱，又/(3x+2)為奇函數，

所以年3"2尸人3.什2),

則人必2)=次,什2),所以函數的圖象關于點(2,0)對稱，則人2尸0,故B正確；

所以J(x+2)=-j(2-x)=-J(x),

即加汁4)=73⑵可⑴,

所以函數次用是以4為周期的周期函數，故C錯誤；

所以42025)=/(1尸2,故A正確；

又gW=-g(4-x),所以函數以x)的圖象關于點(2,0)對稱，

因此函數/(X)的圖象與g(x)圖象的交點也關于點(2,0)對稱，

202520252025

則2(M+M尸X即+Xyi=2X2025+0=4050,故D正確.

i=li=1i=1

5.(2025?白銀模擬)已知函數y(x),g(x)的定義域均為R,其導函數分別是/(X),g?),且滿足義幻=l+g(x尸1?

g(2?x).若的:)是奇函數,當工￡[0,1]時,四)=/+工，則()

A40是偶函數

B/(x)的圖象關于點(I,1)對稱

C.g(x)的周期為4

2025

D.Xg(z)=0

i=0

答案ABC

解析因為函數小)，式r)的定義域均為R,l+g3=l*(2-x),所以g<x尸-g(2-x),

所以gQ)的圖象關于點(1,0)對稱，又./W=l+g。)，所以火好的圖象關于點(1,1)對稱，B選項正確；

因為g(x)是奇函數，即g(-X尸-g(x),所以-g'(?x尸-g'(x),即g'(?X)=g(X),

所以g'(x)是偶函數，所以火工戶l+g'(x)是偶函數，A選項正確；

因為g(x)是奇函數，g'(x)的圖象關于點(1,0)對稱，所以g(x)=g(2-x),

所以g(4+x)=g(-x-2)=-g(x+2)=-g(-x)=g(x)，所以g(x)的周期為4,C選項正確；

2025

2g(0=506[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]+g⑴

i=0

=5O6[g(1)+g(O)+g(-1)+g(0)]+g(1)=O+g(1)=2,D選項錯誤.

6.已知函數/(x)的定義域為R,且加+>次叼，尸[/⑼2.%,)]2,川尸1,/(2x+l)為偶函數，則()

A40尸0

B?x)為偶函數

C：/(2+x尸D

2025

D.￡必)=1

k=0

答案ACD

解析令尸產0,得伏0)齊欣0)]2亞0)]2=0,即a)=0,A正確；

令尸0,得尸伏0)尸-出)]2,

又/⑼=0,所以/3)[/(-歹)+/8)]=0對任意y￡R恒成立，因為人1戶1,所以g，)不恒為0,所以/(-力+/00=0,

即/(-丁尸400，故./(X)為奇函數，B錯誤;

將/(力的圖象向左平移1個單位長度后，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的：，縱坐標不變，可得

人2.什1)的圖象，因為｛2.什1)的圖象關于直線x=0對稱，所以火幻的圖象關于直線尸1對禰，所以火x)=/(2-x),

又火X)為奇函數，所以./(2-x尸小.2)=式2-(x-2))=7(4f)=/a-4),配以J(x)=J(x