江蘇揚州市邗江區2025-2026學年高一年級下冊期中調研數學（解析版）

2025-2026學年高一第二學期考試

數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.sin720cos42O—sin420cos72。的值為()

A1'V3

A.----RB.-C.------Dn.----

2222

【答案】B

【解析】

【分析】逆用兩角差的正弦公式億簡計算.

［詳解］sin72°cos42°-sin42°cos72°=sin(72°-42°)=sin30°=-

2

2.在VABC中，AB=［,AC=42yZBAC=45，則BC=()

A.1B.72C.D.2

【答案】A

【解析】

【分析】借助余弦定理計算即可得.

【詳解】由余弦定理可得BC=yjAB2+AC2-2AB?ACcosNBAC=Jl+2-2=1-

故選：A.

3.已知sina=1,且a為第二象限角，則sin勿的值等于()

5

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角的正弦公式計算.

3I-----------4

【詳解】因為sina=不，且。為第二象限角，所以cosa=-Jl-sin2a=-g,

3424

所以sin2a=2sinacosa-2x-x(——)=-----.

5525

4.若a=l,卜=2,且(a+Z?)_La,則〃與〃的夾角是

712乃

A-B.—D.—

63c垓3

【答案】D

【解析】

【詳解】由(a+〃)JLao(。+力)=0ocJ?〃=0,

即+\a\-b?cos6=0(其中。為〃與。的夾角),

則『+1x2xcos6=()=>cos0=—，

2

7IT

因為0K9K兀，所以。=——

3

5.設a=2cos62tanl3胃")

—sin6，b=

221+tan213

A.a>b>cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】

【分析】將〃、b、c進行化簡，利用正弦函數的單調性可得出〃、b.c的大小關系.

i巧

【詳解】因為a=/cos6--^-sin6=sin30cos6-cos30sin6=sin(30-6)=sin24，

2sin13

,2tanl32sin13cos13

b=--------—cos13=sin26,

l+tan2131sin213cos213+sin213

1+—；——

cos213

2

l-cos50l-(l-2sin25)

=sin25'

2

且函數y=sinx在0,g上為增函數，且0<24<25<26<90，

\乙)

所以，sin26>sin25>sin24?即

故選：B.

/TI2n

6.已知cosa+—一些則cos2a()

I65，T

7344

B.-C.—D.-

555

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式計算可得結果.

【詳解】易知2a--2^=2|(a+y'-兀，

所以cos2a——-i=cos2\a+—|-n「J吟

=-cos2a+—

I3)I6JI6J

=l-2cos-a+—=1-2x

I6j

故選：B

3

7.已知tan。、tan/?是關于x的方程2/+如一4=（）的兩根，且=十尸=：/，則，〃的值為：）

4

A.6B.-6C.5D.-5

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件?，利用韋達定理及和角的正切公式列式求解.

111

【詳解】由tana,tan/7是方程-4=0的兩根,得tana+tan/?=-5,tanatan由=-2,

m

則lan（a+0Jana+tan/?=21=—二=T，所以〃?=6.

1-tan<7tanp1+26

故選：A

8.如圖，在VABC中，N84C=g,AD=2DB，P為CD上一點、,且滿足AP=mAC+gAB,若

A8-AC=4，則AP的最小值是（）

A.2B.4C,D.-

33

【答案】A

【解析】

一2一I

【分析】設CP=/IC。，可得出AP=5/lAB+(l-/l)AC=§48+mAC,可得出關于九、川的方程組，即

可解得實數加的值；利用數量積得出%@?卜。=8,利用平面向量數量積的運算性質結合基本不等式可求

得卜耳的最小值.

【詳解】設CP=2CQ,則AP=4C+CP=AC+2C。=AC+%(A。—AC)

(9、21

=AC+A-AB-AC\=-XAB+(\-^AC=-AB+mAC,

3./33

所以，,43=-31,解得〃2=/1=—.

m=\-Z一

ABAC=\AB\\AC\cos^=^\AB\^\AC\=4t.*.|AB|-|AC|=8,

2(1.1.V1-2121

AP=-AB+-AC=-AB+-AC+-ABAC

V32J943

i24nrii=4

-AB+-AC+->2J-AB-AC+

943V943

1一1一3

當且僅當一AB=-AC時，即當AB=-AC時，等號成立.

322

所以，AP的最小值為2.

故選:A.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.已知向量a=(—3,2),〃=(2,l),c=(4—l),4wR,則()

A.°.。=4

3

B.若。〃c,則a=一

2

2

C.若則4二一一

3

(1、

D.若〃與c?的夾角為鈍角，則4的取值范圍是一雙孑

IZ)

【答案】BC

【解析】

【分析】由向量數量積的表示，向量垂直和平行的坐標表示，夾角公式逐項判斷即可.

【詳解】選項A：〃?〃=（—3）x2+2xl=-6+2=-4w4,A錯誤；

3

若“//c,則（-3）x（-l）=24,解得九二一，B正確,

2

?

若〃上6,則。?c=-3/l+2x（-l）=0,解得；1=一一，C正確，

3

若人與。夾角為鈍角，/?-c=22-1<0?得2<5;

當。//c，則2x（—1）=1/,得力=-2,此時d=—6,夾角為180不是鈍角，舍去，

因此義的范闈是（—8,-2）u（—2,不），D錯誤.

10.已知VA3C的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,以下判斷正確的是（）

A.若sin4>sinB,則

B.若siYA+si/B-siJCvO,則VA3c是鈍角三角形

C.若。=石，^=715,A=30,則符合條件的VA3C有兩個

D.若“cosA=Aos6,則VAbC為等腰直角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正弦定理和大邊對大角可判斷A：利用正弦定理角化邊，結合余弦定理可判斷B；利用

〃sinA<a<b可判斷C；邊化角，利用二倍角公式化簡，結合正弦函數性質可判斷D.

【詳解】對A,由sinA>sinB和正弦定理可得〃>〃，由大邊對大角可知A>3,正確；

對B,由sir^A+sin^B-sin2c<0和正弦定理可得/+/?2—c2<0?

所以cos。<0,又CG（O,兀），所以正確；

2ab12J

對C,若。=6，Z?=Vi5,A=30，則力sinA二叵<皿=小〈席,

22

即》sinA<a</?,所以符合條件的VA8C有兩個，正確；

對D,若?cosA=bcosB,則sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

因為2A,23E（0,2兀），2A+23w（0,2兀），所以2A=2B或24+28=兀，

即A=8或A+8=V，

2

當A+5=E時，C=兀一（A+5）=四，此時VA3c為直角三角形；

當A=B時，VA8C為等腰三角形.

所以VA8C為直角三角形或等腰三角形，錯誤.

故選：ABC

11.VABC的內角A,B,C的對邊分別為小c,已知%cosC+2ccosB=3,

A

3sin（B+C）=2sin2y,則（）.

3A.

A.。=—B.tan—=3

22

9

C.比的最大值為:D.VA3C為鈍角三角形

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據余弦定理、商關系、二倍角公式和基本不等式計算分別判斷各個選項;

【詳解】對于A,因為次osC+2ccosB=3,結合余弦定理推論可得,

b-+a--c~一c~+a--b-.化簡得2"=3〃，解得。=0（舍）或〃=1，A正確;

2b----------+2c----------=3,

2ablac2

對干B,因為3sin(3+C)=2sin2g,A+3+C=7t,

所以3sirLA=2sin24=3x2sin4cos4=2sin24,又sin一工0,

22222

AAA

所以3cos—=sin—=tan—=3,B正確；

222

44

2tan-qcosA=---

2?2x3tanA-——5

對于C,tanA=4解得

.,3

sinZ+cos%=1sinA=—

5

34

根據余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA，代入得(不)2=〃+M+20cx《

JJ

344i?

利用基本不等式(-)2=Z?2+c2+2bcx->2bc+2bcx-=—he,

2555

當且僅當Z?=c=?時取等號;

4

所以曳匕c=/?c、0*,C錯誤；

458

3

對于D,?.?tan4二一一＜0,「.A是鈍角，D正確;

4

故選:ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.sin75=?

［答案］"苜

4

【解析】

【詳解】試題分析：

sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos455巾30°=正2立+亞乂）二"+，5.將非特殊角

22224

化為特殊角的和與差，是求三角函數值的一個有效方法.

考點：兩角和的正弦

13.記VA3c的內角A3,C的對邊分別為a也c,已知QCOsg=/?sinA〃c=4G，則VA5C面積為

2

【答案】3

【解析】

71

【分析】根據正弦定理邊化角，再結合二倍角公式化簡得8=一，則可由三角形面枳公式求解.

3

【詳解】因為4cos0=加in>4,

2

根據正弦定理得sinAcosO=sinBsinA,

2

BBB

因為sinAw0,貝ijcos—=sinB=2sin—cos—,

222

BB?

又因為cos—00,貝I」sin—=一,

222

由于8￡（0,兀），得&=2，即8=工

263

=^acs\nB=

所以SABC=3.

14.如圖，在平面四邊形A8CQ中，ABrBC,AD±CD,NB4O=120。，AB=AD=2.若點E

為邊C。上的動點，則的最小值為

B

DA

21

【答案】v##5.25

4

【解析】

【分析】以。為原點，。從。。的方向分別為x軸，,，軸的正方向建立平面直角坐標系，利用向量坐標運

算，結合二次函數性質可得.

【詳解】連接AC,因為AB工BC,AD±CD,AB=AD,AC=AC,

所伏Rf_ACD=Rf_ACB,

乂/朋。=120。，所以NZMC=600,

所以。C=ADtan60°=2百.

過點8作AO的垂線8R垂足為八

易知，在/中，NBAF=60°,AB=2,

所以B尸=6,A"=1,

以。為原點，DA,DC的方向分別為x軸，），軸的正方向建立平面直角坐標系,

則A（2,0）,B（3,g）,

設E（0,〃?）,〃2G[0,2石],

UlUUU1（、

則4石=（一2,〃z）,BE=（-3,加一J3）,

Ul?UlU/、

AE-BE=6-^-=m2-V3w+6,

當加二且時，AE-8E1有最小值

24

21

故答案為：—

4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

7T

15.如圖，在平行四邊形A8CO中，AD=2,AB=^ZDAB=-,點七是A8的中點，連接DE,AC,記

3

它們的交點為G,設==

DC

（1）用表示AC,AG;

（2）求AC與AB的夾角的余弦值?

【答案】（1）AC=a-vb?=+

⑵地

14

【解析】

【分析】（1）根據圖形的幾何形狀宜接分解向量即可;

ACA8

（2）根據公式cos。=只需由數量積的運算律分別求出AC-AB,|AC，M的值即可.

AC\\AB

【小問1詳解】

因為Ae=A6+AO，所以八6二1+。，

在平行四邊形4BCO中，點E是A3的中點,

AFI

所以JDC//AE,且=—>

CD2

AGAE1

所以CAGES,CG。，所以——=——=-,

GCCD2

則AG=」11

AC,即=+.

333

【小問2詳解】

已知AD=2,AB—4，

則同=4,b=2,

7T

又已知ND48二一

3

則〃?/?=\d\bcosZD/4^=4x2x—=4,

2

因為|4。|2=3+〃）2=/+〃2+2〃.〃=16+4+8=28,

所以|AC|=2J7,

又AC-AB=（4+/?）々=[2+。0=16+4=20,

設AC與AB的夾角為。，

八ACAB205出

3（哈

16.已知cos2。=—,6w0,—.

5I2；

（1）求tan。的值：

（2）若tan/?=3,/?e。，/），求角。+Q的大小.

【答案】（1）2

⑵羽

4

【解析】

【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函數關系即可求解;

（2）由兩角和的正切公式求得。+尸的正切，進而可求解.

【小問I詳解】

、3

因為852。=28§-0-\=——，

5

又所以COS夕二更.

又sin,6+CQS?，=1，得sin8=2舊，所以tan〃=2.

5

【小問2詳解】

,/八c、tan°+tan/72+3,

由(1)可知tan(O+0=Lta”=H~

因為夕￡o,—兀j,pG，所以6+/e（0,兀），

2

所以，+夕=型.

4

17.V44c的內角Aac的對邊分別為久友C，已知反osC=（2a—c）cos8.

（1）求3：

（2）若〃=4,求VA8C周長的最大值.

【答案】（一

(2)12

【解析】

【分析】（1）由正弦定理將已知條件中的邊與角的混合等式轉化為角，再利用三角形內角和定理與三角恒等

變換公式化簡等式，進而求出知8；

（2）已知人和角8,要求周長最大值，可先結合余弦定理得到關于4，C的關系式，再利用基本不等式求出

Q+C的取值范圍，進而得到周長的最大值.

【小問1詳解】

bC=(2a-c)B,由正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,即《消皿。+

Wrct<oiVrcMt(oiOlliVvzO

=

cos^sin^2sin"cosB,得sin。+C)=2sjn4cosF；

又A+B+C=n,sin(^+C)=sinA,得sinA=2sin4cosB；

A?0,兀），.一迅工。，得cosB=g；

BG(O,71),/.B=y

【小問2詳解】

JI

B=§,8=4,?.?由余弦定理得Z?2=/+(.2_，2accos3=a2+(?一加.，即

a2+c2-6fc=(6/+c)--3ac=\6；

a>0,c>0,4￡（”），當且僅當4=。時等號成立;

4

2/、

2\23(a+c)=(a+c),解得0V4+C48,當且僅當a=c=4時等號

16=(a+c)-3ac>(a+c)-

44

成立;

又:。為VABC的邊長，b=4,,\a+c>b,即a+c>4；

.,.4<a+c<S,彳導8va+Z?+cW12：

.?「ABC周長的最大值是12.

18.已知函數/(x)=2sinx(sinx+Gcosx)+l.

(1)/（x）的最小正周期和單調遞增區間;

(2)求不等式/（力23在（0,兀）上的解集;

對于任意的xw0（，關于x的不等式在尸（加機一心”0恒成立，求實數，〃的取值范圍.

Tt.Tl.,

【答案】（1）7二兀；----bE,—+E,KGZ；

63

兀兀

(2)

6,2

⑶”.

【解析】

【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式得到〃x）=2sin2x-B+2,結合周期公式和整體代換即可

V6）

求解;

（2）由（1）得到sin?!1，再結合正弦函數性質即可求解;

I6J2

m>---------：―/、

（3）通過分離參數得到f（A[1,再結合/（女）的值域和基本不等式即可求解.

17W

【小問1詳解】

/(x)=2sinx(sinx+5/3cosx)1=2sin2x+2>/3sinxcosx4-1

1-cos2x+百sin2x+l=Gsin2x-cos2x+2=2sin

所以/(?的最小正周期r=——=兀.

由一工+24兀《2工一工《工+2ATI,A￡Z,

262

可得一=+%兀<四+E,ZGZ,

63

兀71

所以/(幻的單調遞增區間為一二十%兀，z+E/ez；

_63

【小問2詳解】

由/(x)之3可得2sin(2x--|+2>3,

整理可得sin一二]之二.因為OVXVTI,所以—<2x----<-----.

k6j2666

根據正弦函數的性質可知，要使sin12x—二〕之!，應滿足三工21一當工些,

666

7171

解得:WxW7.

62

TtTt

所以不等式/(X)?3在(0,兀)上的解集為

【小問3詳解】

因為xw(),[■,所以2元一?￡~~7^~7，

oJoo6

(乃、「]]]

得到sin2x~~e,所以可

又因為不等式〃礦2(力+rn-f[x)>0恒成立，

、〃工)1

〃m？>-—''-=----------------

得到一““小」

/W

因為/(x)+/(x)-J3=2,當且僅當/(x)=

所以7〃之g,所以實數，〃的取值范圍是

19.如圖，已知AOB是半徑為I,圓心角為。的扇形，夕是扇形弧上的動點，記NAQP=a,

（1）請用仇。來表示平行四邊形OCR2的面積；

（2）若。二二.

3

①求平行四邊形。CPQ面積的最大值，以及面積最大時角a的值;

②記0P=MM+>08（其中x,ywR）,求工+2），的取值范圍.

【答案】(1)-sin2a-^-^(0<?<6^).

2⑶】。

（2）①SQL=絡，二二/②x+2y￡（l,2）

【解析】

【分析】（1）過點〃作04的垂線，在RtZXP。。，RLPDC中利用三角函數值表示邊長，即可表示出四邊

形的面積；

（2）①運用三角恒等變換和三角函數的性質計算關于。的三角函數的最值即可；②通過建系，得出點的坐

標，利用。的三角函數來表示乂孔再由三角函數的性質即可求得x+2y的范圍.

【小問1詳解】

過點P作。4的垂線，垂足為Q,在Rtz^POO中，W=sina,Qf）|=cosa,

\PD\_sina

在RLPO