高一數(shù)學(xué)階段檢測卷1 （范圍：第六章～第七章）

階段檢測卷1（范圍：第六章?第七章）

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共4（）分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.若i為虛數(shù)單位，貝區(qū)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1乙1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

助士二ii（l+2i）-2+i2h

解析z」_21]_（2i）2-5--5+5b

其對應(yīng)的點(diǎn)（一點(diǎn)§位于第二象限.

2.若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=|3+4i|,則z的虛部為（）

5555

.B-?--

A.22

答?

案D

解析???z(l+i)=|3+4i|=5,

._5_5(1-i)_55.

,"一幣_2一1一亍，

???復(fù)數(shù)z的虛部為一|.

3.下列等式恒成立的是()

A.卷+成=0B.施一危=心

C.(ak)c=a(lfe)D.(a+b)c=ac+力c

答案D

解析AB+BA=0,故A錯誤;

AB~AC=CB,故B錯誤；

（eb）c表示與。共線的向量，而aS-c）表示與。共線的向量，兩者不一定相等，故

C錯誤；

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可知D正確.

4已知向量。=（2,-1）,8=（1,7）,則下列結(jié)論正確的是（

A.a-LbB.a-L(a~b)C.bL(a-b)D.a_L(a+b)

答案D

解析因?yàn)閍=(2,-1),b=(l,7),

所以。仍=1X2+7X(-l)=-5,故A錯誤；

a—b=(2,—1)—(1,7)=(1,—8),

a+b=(29—1)+(1,7)=(3,6),

所以a\a—^)=2X1+(—1)X(—8)—10,

H?-^)=lXl+(-8)X7=-55,故B,C錯誤;

o(〃+b)=2X3+(—l)X6=0,

故a_L(〃+b),故D正確.

5.已知向量。=(2c()s夕，2sin9)，9金0，兀J,)=(0,—1),則a與力的夾角為(

)

371c兀?-2兀h

A.fB.5+CC.p-丁D.(p

答案A

ab(3兀\

解析設(shè)。與力的夾角為&cose=j^i=—sin少=cos]?-—可,

人3兀（71

結(jié)合了一@￡弓

2'叫，

可得0=當(dāng)一夕.

〃z+2i

6.已知，〃為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若加+（加—4）數(shù)0,則等于（）

2-2i

A.iB.lC.-iD.-l

答案A

解析因?yàn)?n+(/n2—4)i>0,

/77>O,

所以"?+(//—4)i是實(shí)數(shù)，且彳2)八

I"廣一4=0,

〃z+2i2(14~i)

解何機(jī)=2,故至石=2(I)=

7.菱形ABCQ的邊長為2,NABC=60。,點(diǎn)P在邊上（包含端點(diǎn)），則（或+而）.無

的最小值為（

9

C-O

A.一小8D.

答案C

解析如圖，設(shè)ACG8O=O,因?yàn)樗倪呅蜛8C。為菱形，所以AC_L8。.

以。為原點(diǎn)，AC,OB所在直線分別為x軸、），軸建立平面直角坐標(biāo)系.

易得A（—1,（））,8（0,仍），C（l,0）.

設(shè)P（x.y）.BP=ABC,其中OWAWL

則a,廠小）=2（i,一小）,

所以P（2,小一小人）.

PA=（—1—2,y[3/,一5）,PB=（一九^32）,

PC=（l-2,血一小），

則（聲+PB）PC=8"-KU+2

所以，當(dāng)4軸，（或+的用取最小值一

OO

8.設(shè)△4BC內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.若b=2,a2sinC=6sin4,則

△A6C面積的最大值為（）

A.小B.小C.#D.3

答案B

解析由正弦定理及6?sinC=6sinA可得

42c=6。，即ac=6.

由b=2及余弦定理可知4=?2+c2-12cosB,

所以4+12cosB=a1+(r^2ac=\2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以cos82?

所以S"8c=5〃csin3<5乂6X￥=小，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=加時取等號，

所以△ABC面積的最大值為小.

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得()

分)

9.對任意zi,Z2,z《C,下列結(jié)論成立的是()

A.當(dāng)〃2,時，有泮z"=/+"

B.若z++z3=0,則zi=0且Z2=0

C.互為共甄復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)的模相等，且|zF=|z|2=z-z

D.Zl=Z2的充要條件是|?1|=|Z2|

答案AC

解析由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律知，A正確；

取zi=l,Z2=i,滿足4+z3=O,但zi=0且Z2=0不成立，B錯誤；

由復(fù)數(shù)的模及共朝復(fù)數(shù)的概念知，C正確；

由Z1=Z2能推出|zi|=|Z2|,但|Z||=|Z2雕不出Z1=Z2,

因此|Z||=|Z2|是Z1=Z2的必要不充分條件，D錯誤.

10.在等腰梯形A8CO中，AB//CD.ND48=60。，點(diǎn)。為對角線AC與8。的交

點(diǎn)，若力=1通+;垃)，貝lj()

A.BP=PD

B.ADDB=0

C.B+2d)=0

D.(AC+DB)//(AC-AD)

答案BCD

.].2f

解析由^

if2

即有制踮）=g（屐）_Q）,

化為麗=2的，故P光線段8。靠近。的三等分點(diǎn),

所以曲壬麗,故A錯誤；

由P為等腰梯形ABCQ對角線AC與BD的交點(diǎn)、,

pnDC

得△則而=內(nèi)，

QCPsaBAP,nrAn

又|麗|=2|而I，所以QC：A8=1：2,

所以施=一2而，即葡+2C方=0,故C正確；

設(shè)A5=4,則CO=2,乂ND4B=60。，

如圖，過點(diǎn)C,。向AB作垂線，垂足分別為N,M,

則AM=1,則AO=2,則DM=y]AD2—AM2=事,

BD=、DM2+BM2=q（g2+32=2s,

所以8￡>2+A4=AB2,故ADLDB,

即屐）?加=0,故B正確；

危+加=通+5而=/，AC~AD=DC,所以（危+加）〃（危一血），故D

JLJ

正確.

11.已知△A8C三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是

（）

A.若cosA=cos3,則5c為等腰三角形

BfA>8”是“sinA>sinB”的充要條件

C.若。=8,c=10,3=60。，則符合條件的△ABC有兩個

D.若sinX+si/Bvsint則△48C是鈍角三角形

答案ABD

解析對于A,若cosX=cosB,則A=B,此時△ABC為等腰三角形，故A正確；

對于B,若A>Bt則a>b,則2/?sinA>2/?sinB,

即sinA>sin3成立，反過來，也成立，故B正確；

對于C,由余弦定理可得

22

/7-^8+10-2X8X10X1-A/84-2V21?只有一解，故C錯誤；

對于D,若sinZA+si/Bvsi/C,

/+從一c2

則根據(jù)正弦定理得42+02</,COSC=---礪---<0,

則C為鈍角，此時△ABC是鈍角三角形，故D正確.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABC。的頂點(diǎn)A,&C的坐標(biāo)分別為(-2,-1),(2,

4),(11,7),則向量崩所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是________.

答案9+3i

解析由四邊形ABCO為平行四邊形可得

AD=BC=(Hf7)-(2,4)=(9,3),

則向量屐)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+3i.

13.如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰隹為45。，沿傾斜角為30。的斜坡

前進(jìn)2千米后到達(dá)D處，又測得山頂B的仰角為75。，則山的高度BC為

千米.

答案2

解析作QE_LBC,垂足為E,如圖所示.

由題意得/D4C=30。，NBAC=45。，ZADE=15O°1/BDE=75。,

所以NB4O=15。，ZADB=135°,NA6O=30。，且40=2千米，

在△A3。中，由正弦定理得

AD_AB

sinZABD~sinZADB1

1sin30°sin135。'

即2—?dú){

即:返

22

解得AB=2加（千米），

所以BC=ABsin45。=2也X乎=2（千米）.

14.如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)。為筋的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上的一動點(diǎn)（含端

點(diǎn)A,8）.若46=2,則|危+彘|的取值范圍是_______.

C

AMB

答案[叵V10]

解析因?yàn)辄c(diǎn)。為4A的中點(diǎn)，48=2,

所以|而=小，ZCAB=^f

所以|病+MB\2=（AC+MB）2=AC2+血2+2ACMB

=|AC|2+\MB\2+2\AC\\MB\cos彳

=|荻/+2|訕|+2=（|訕|+1）2+1.

因?yàn)辄c(diǎn)例為線段A8上的一動點(diǎn)（含端點(diǎn)），

所以0這|面|W2,所以2W（|誠I+IA+IWIO,

所以I危+訕?的取值范圍是[啦，Vib].

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步方展）

15.（13分）①復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)2—⑵相等，②復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)12+16i互為共粗復(fù)數(shù)，

③復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限角平分線上.從這三個條件中任選一

個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答.

問題：若復(fù)數(shù)z=(l+i)加?+(5—2i)m+(6—15i)(〃￡R),,求方程x2+

加上+l=()(xWC)的根.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

解z=(l+i)〃P+(5—2i)m+(6-15i)=(/zz2+5rn4-6)+(tn2—2m—15)i.

若選擇條件①：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，

卜九2+5，〃+6=2,

有J,解得機(jī)=-1,

[m-一2m—\5=—\2,

：.方程f—x+1=0的根為X=號區(qū).

若選擇條件②：根據(jù)共軻復(fù)數(shù)的定義，

m2+5w+6=12,

有12c解得〃7=1,

加2—2m—15=—i16r,

/.方程1=0的根為x=-守昆.

若選擇條件③：由題意得，m2+5m+6=zn2—2/zz—15,解得〃z=—3,

???方程f—3x+1=0的根為x=美后.

16.(15分)已知|〃|=①，|例=小，ab=~5f

c=xa-\~(\-x)b.

(1)當(dāng)時，求實(shí)數(shù)x的值；

(2)當(dāng)|c|取最小值時，求向量。與c的夾角的余弦值.

解(l)??》_Lc,

b'C=b-\xa+(1—x)b]

=xb〃+(l—工迫2

=—5x+5(l—x)=0,

解得x=g.

(2)|cF=[m+(l—x)〃F

=JT(T+2x(1~x)ab+(1—x)2^2

=1Ox2—10x(1-x)+5(1-x)2

=25f—20x+5

=25(x—lj+1.

2

當(dāng)時，|CF有最小值I,即|C|有最小值1.

此時，c=1?+|b,

a-c=aQa+jb]

2,3

=-?2+-?

JJ

23

=、X10+5X(—5)=l.

JJ

設(shè)向量a,c的夾角為仇

劇公ac1回

則c°sO—|a||c「回XI-IO.

17.(15分)已知在△ABC中，一小訛=扶,b=2.

⑴求N8的大小；

⑵若AB邊上的高等于1,求△A4C的面積.

解(I)由〃+/一木訛=。2可得/+/—。2=方仇\

在△ABC中，由余弦定理可得

ccr+cr—b1y[3acy[?>

cosB=2ac=2〃c=2'

因?yàn)?<3<兀，所以8=

(2)因?yàn)?弋且A8邊上的高等于1,

所以”=BC=導(dǎo)力=士=2,

sinT

6

因?yàn)??=2,所以4=3=5，C=n—A—B=y,

此時△48C為等腰三角形，且唯一確定，

S^ABC=2^ibsinS=2X2X2X=yj^.

18.（17分）如圖，4,3是某海域位于南北方向相距15（1+3）海里的兩個觀測點(diǎn),

現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)南偏東30。的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信

號，位于8點(diǎn)正西方向且與8點(diǎn)相距50海里的。處的救援船立即前往營救，其

航行速度為40海里/時.

（1）求8,。兩點(diǎn)間的距離.

（2）該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿怎樣的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長

時間？（角度精確到（）01。）

（參考數(shù)據(jù)：sin21.79°^0.37,cos21.79°^0.93）

解（1）在△ARC中，//MC=45。，Z4/?C=30°,則/ACR=105。，

sinl05o=sin（600+45o）=sin60°cos450+cos60°sin45°

近x啦+(y[2啦（]+也）

X+X

22224

BC_AB

由正弦定理，

sinZBACsinNACB'

fABsinNBAC15(1+g)Xsin45。

付蛇=sinNACA=sin105°

15（1+小）X坐

=啦（1+小）一=3。

4

故8,。兩點(diǎn)間的距離為30海里.

(2)在△BCO中，ZDBC=120°,

由余弦定理得DC2=DB1+BC1-2DB-BCcosZDBC

=502+302—2X50X30Xcos120°=4900,

則DC=70,

所以救援船到達(dá)C處需要的時間

，=而=