第一章 勾股定理 驗(yàn)收卷-【暑假預(yù)習(xí)】新八年級(jí)數(shù)學(xué)（北師大版）

勾股定理驗(yàn)收卷

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.8,15,17B.1.5,2,2.5C.5,8,10D.3,4,6

【答案】A

【詳解】

A、因?yàn)?2+152=172,故是勾股數(shù)：故此選項(xiàng)止確;

B、因?yàn)楣垂蓴?shù)必須是正整數(shù)，故不是勾股數(shù).故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、因?yàn)?2+82,1（）2,故不是勾股數(shù).故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、因?yàn)?2+42=62,故不是勾股數(shù).故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:A.

2.一個(gè)門框的尺寸如圖所示，下列長x寬型號(hào)（單位：m）的長方形薄木板能從門框內(nèi)通過的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

【答案】A

【詳解】

門框的對(duì)角線長為廬米.

???石出2.236米.

.?.只有4選項(xiàng)的薄木板的寬小于2.2.36,即只有A選項(xiàng)的薄木板可以通過.

故選：A.

3.如圖，在三角形ABC中，NACB=90。，4C=3,BC=4,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交于點(diǎn)Z）,

則BD=（）

D

B

A.2.5B.3C.2D.3.5

【答案】C

【詳解】

解：???AC=3,BC=4,

-A^=y/AC2+BC2=5?

???以點(diǎn)A為圓心，4c長為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)。，

.\AD=AC,

.\AD=3,

：,BD=AB-AD=5-3=2.

故選C.

4.設(shè)一個(gè)直角三角形的兩直角邊分別是a,b,斜邊是c.若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接

測(cè)得c?的長度，則小方的長可能是（）

A.。=12,b=16B.a=11,b=\lC.a=10,%=18D.a=9,b=19

【答案】A

【詳解】

解：A.a=12,。=16,根據(jù)勾股定理斜邊c=20；

B.a=ll,>=17,斜邊c=J410>20；

C.a=l0,8=18,斜邊萬>20；

D.〃=9,b=19,斜邊c二屈^>20：

???最大刻度是20U.II的直尺，可一次直接測(cè)得c的長度，

a=12,/?=16,

故選：A.

5.如圖，某公園內(nèi)的一塊草坪是長方形A3C。，已知八3=8m,3c=6m,公園管理處為了方便群眾，

沿AC修了一條近道.一個(gè)人從A到。走A—8—C比直接走AC多走了（）

A.2米B.4米C.6米D.8米

【答案】B

【詳解】

解：在長方形A8C。中，

ZABC=90°

AC=yjAB2+BC2=V82+62=1（）

V/W+BC=8+6=14

.-.14-10=4

..?從A到。走A-4-C比直接走AC多走4米，

故選：B.

6.如圖，以兩個(gè)半圓的直徑作為直角邊，正方形的一邊作為斜邊構(gòu)成一個(gè)直角三角形，己知半圓面積分別

為1和3兀，則正方形的面積為（）

A.16兀B.32兀C.16D.32

【答案】D

【詳解】

設(shè)大半圓的半徑為R,小半圓的半徑為r,根據(jù)題意得，

、兀R，=3兀

2

:.R=46

12

—71V-71

2

r=V2

故直角三角形的兩條直角邊為：2瓜

故直角三角形的斜邊平方為（2#尸+（2及尸=32,

則正方形的面積為：32,

故選：D.

7.如圖，矩形ABCD是一個(gè)長為20m、寬為15m的長方形草地示意圖，現(xiàn)在有一只小狗在點(diǎn)A處玩耍,

主人在點(diǎn)C處與人聊天，小狗若想快速回到主人身邊，最短奔跑距離為（）

D.35m

【答案】c

【詳解】

解：由兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接AC,如下圖所示:

在R/ABC中，由勾股定理有：AC=\]AB2+BC2=>/202+152=25(m)?

故選:C.

8.如圖，為了測(cè)量池塘的寬度。K，在池塘周圍的平地上選擇了A、B、C三點(diǎn)，且A、。、E、C四

點(diǎn)在同一條直線上，ZC=90°,已測(cè)得AB=100m,BC=80m,AD=20m,EC=10m,則池塘的

C.50mD.40m

【答案】C

【詳解】

解：在RtZkABC中，

AC=飛AB?-BC?=V1002-602=80m

所以DE=AC-AD-EC=80-20-10=50ui

故選：c.

9.已知△ABC的三條邊分別為。、b、C,三個(gè)角分別為NA、BB、NC,則下列選項(xiàng)中不能判定它是

直角三角形的為()

A.b2=a2-c2B.ZC=Z4-ZB

C.NA:NB:NC=3:4:5D.a:A:c=12:13:5

【答案】C

【詳解】

由/="-C2可得"+C?=4,故A可以判定是直角三角形.

由NC=NA—N3可得NA=90%故B可以判定是直角三角形.

ZA:ZB:ZC=3:4:5,即NA=45。，ZB=60°,NC=75。，/.C不為直角三角形.

由〃：/?:C=12:I3:5可得〃2=a2+°2,故D可以判定是直角三角形.

故選C.

10.古算趣題：“笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭，有個(gè)鄰居聰明者,

教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足，借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服若設(shè)竿長為x

尺，則可列方程為()

A.(x+2)2+(x-4)2=x2B.(x-2)2+(x+4)2=x2

C.(X-2)2+(X-4)2=X2D.(X+2)2-(X-4)2=X2

【答案】C

【詳解】

設(shè)竿長為x尺，根據(jù)題意得，房門的寬為工-4,高為工-2,對(duì)角線長為x,根據(jù)勾股定理列出方程

(x-2)2+(x-4)2=x2.

II.如圖，快艇從A地出發(fā)，要到距離A地10海里的C地去，先沿北偏東70。方向走了8海里，到達(dá)8地,

然后再從4地走了6海里到達(dá)。地，此時(shí)快艇位于"地的().

A.北偏東20。方向上B.北偏西20。方向上

C.北偏西3()。方向上D.北偏西40。方向上

【答案】B

【詳解】

解：:AO10海里，AB=8海里，BO6海里，

根據(jù)勾股定理的逆定理可知AB2+BC2=AC2，

，ZABC=90°,

VZDAB=70°,AD/7BE,

.,.ZABE=110°,

則NCBE=110o-900=20。,即點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西20。方向上.

故詵B

12.如圖，已知NB=NC=NO=NE=900,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,則4,F

兩點(diǎn)間的距離是（）

【答案】D

【詳解】

解：過點(diǎn)尸作/G_LA8交A8的延長線于點(diǎn)G,

貝ljAG=A8+CQ+Er=8,FG=BC+DE=6,

由勾股定理得，4V=JAG2+R?2=IO,

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.下列各組數(shù)：①1、2、3；②血，血，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41,其中是勾股數(shù)的是

（填序號(hào)）.

【答案】④

【詳解】

解：①1、2、3,因?yàn)?+2=3,無法組成三角形，所以不是勾股數(shù)；

②及，0不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)：

③0.3、0.4、0.5不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)；

④因?yàn)?2+402=4口,所以以40、41屬于勾股數(shù);

故答案為：④.

14.如圖所示，有一圓柱形油罐，現(xiàn)要以油罐底部的一點(diǎn)A環(huán)繞油罐建梯子，并且要正好建到A點(diǎn)正上方

的油罐頂部的〃點(diǎn)，已知油罐高入〃=5米,底面的周長是12米，則梯子最短長度為.

【詳解】

解：如圖所示：

/1B=A/|224-52=13（米），

15.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去

本八尺而索盡.問索氏幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木

柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時(shí)，繩索用盡.問繩索長是

多少？”示意圖如圖所示，設(shè)繩索AC的長為X尺，木柱AB的長用含工的代數(shù)式表示為一尺，根據(jù)題意，

可列方程為—.

【答案】（x-3）（X-3）2+82=X2

【詳解】

解：設(shè)繩索長為X尺，則木柱長為(X—3)尺,

根據(jù)勾股定理可列方程：(x—3y+82=f,

故答案為：(x-3)；(X-3)2+82=X2.

16.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到8處搬運(yùn)食物，它爬的最短距離是

20

B

2

A

【答案】25

【詳解】

解：如圖所示：臺(tái)階平面展開圖為長方形,

BC=5+5+5=15,

則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到4點(diǎn)最短路程是此長方形的對(duì)角線長.

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，

即AB?=2()2+152,

???A3=25,

故答案為：25.

17.如圖是一棵勾股樹，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A,B,C,D的邊長分別是4,5,

3,4,則最大正方形E的面積是

【答案】66

【詳解】

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si,C、D的面枳和為S2,

SI=42+52,S2=32+42,

于是S3=S|+S2,

即可得S3=16+25+9+16=66.

故答案是:66.

18.東漢《九章算術(shù)》中，"折竹抵底''問題，意思是：如圖所示一根竹子，原高10尺，一陣風(fēng)將竹子折斷,

其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)，則折斷后的竹子高度為多少？.

【答案】4.2尺.

【詳解】

解：如圖所示：

由題意得：NAOB=9()。，

設(shè)折斷處離地面的高度04是x尺，

由勾股定理得：X2+42=(1()7)2,

解得：x=4.2,

即：折斷后的竹子高度04為4.2尺.

故答案為：4.2尺.

三、解答題(19題6分，其余每題8分，共46分)

19.有一朵荷花，花朵高出水面I尺，一陣大風(fēng)把它吹歪，使花朵剛好落在水面上，此時(shí)花朵離原位置的

水平距離為3尺，此水池的水深有多少尺？

【答案】4尺

【詳解】

解：設(shè)水深x尺，那么荷花徑的長為(x+1)尺，如圖

由勻股定理得：

(X2+32=(X+1)2

解得：x=4

答：水池的水深有4尺

20.某零件周邊尺寸(單位，cm)如圖所示，且NCZM=90°.求該零件的面積.

【答案】零件的面積為24.

【詳解】

解：連結(jié)4C

???NCD4=90',A。=3,C。=4

AC=5

???AB=12,8C=13

/.AC2+/1B2=524-122=132=BC2

.?.N8AC=90'

???零件的面積=SMM-SM0c=；x5xl2—‘x3x4=30—6=24

22

21.如圖，學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)活動(dòng)興趣小組的小娟和小燕對(duì)離教室不遠(yuǎn)的一個(gè)直角三角形花臺(tái)斜邊

上的高進(jìn)行了探究：兩人在直角邊A3上距直角頂點(diǎn)用0米遠(yuǎn)的點(diǎn)。處同時(shí)開始測(cè)量，點(diǎn)C為終點(diǎn).小娟沿

DTBTC的路徑測(cè)得所經(jīng)過的路程是15米，小燕沿。.AfC的路徑測(cè)得所經(jīng)過的路程也是15米，

這時(shí)小娟說我能求出這個(gè)直角三角形的花臺(tái)斜邊上的高了，小燕說我也知道怎么求出這個(gè)直角三角形的花

臺(tái)斜邊上的高了.親愛的同學(xué)們你能求出這個(gè)直角三角形的花臺(tái)斜邊上的高嗎？若能，請(qǐng)你求出來：若不能,

請(qǐng)說明理由？

【答案】能，理由見祥解，一米

13

【詳解】

解：RtAABC中，NB=90°,

設(shè)BC-a(/n),AC-b(tn),AD-x(m)

則10+4=x+/?=15。〃).

a=5(/??),/?=15-x(ni)

乂在RtAABC中，由勾股定理得：(10+x)2+a2=Z?\

(10+X)2+52=(I5-A:)2,

解得：x=2,即AO=2(米)

」.AbhAD+DB=2+10=12米，8C=5米，AC-13米

,倉$12=-?13/i,力二竺米

2213

答：這個(gè)直角三角花臺(tái)底邊上的高位A3為黑米

13

22.如圖，一架云梯44長25米，斜靠在一面墻上，梯子靠墻的一端距地面24米.

(1)這個(gè)梯子底端離墻有多少米？

(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了4米嗎？

BtBC

【答案】(1)7：(2)不是

【詳解】

解：(1)由題意得此時(shí)a=24米，c=25米，根據(jù)a?+b2K2,

.\b=7米；

(2)不是.設(shè)滑動(dòng)后梯子的底端到墻的距高為b米，

得方程,b2+(24-4)2=252,

解得b=15,

所以梯子向后滑動(dòng)了8米.

綜合得：如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米.

23.已知：如圖，在AABC中，CDJ_AB于點(diǎn)D,AC=20,BC=15,BD=9.

(1)求CD的長.

(2)求AD的長.

(3)AABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)12；(2)16；(3)aABC是直角三角形，理由見詳解.

【詳解】

解：⑴,:CD1AB,

.,