人教A版高一數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)：等式與不等式的性質(zhì)（練）-（人教A版必修第一冊）原卷版+解析

2.1等式與不等式的性質(zhì)

【題型解讀】

【題型一不等關(guān)系的建立】

1.（2022?凌源市模擬）在日常生活中有這樣一種現(xiàn)象，向糖水中不斷加入糖，糖水會變得越來越甜.已知a

克精水中含有》克糖（a>b>0）,再添加〃?克糖（〃?>（））（假設(shè)全部溶解），可將糖水變甜這一事實(shí)表示為

下列哪一個(gè)不等式（）

bb+mbb+maa+maa+m

A.->-------B.-<-------C.->-------D.-<-------

aa+maa+mbb+mbb+m

2.（2022屆山東省煙臺市高一診斷性測試）一公司投資A生產(chǎn)線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤1.5萬元，該公

司通過引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，在生產(chǎn)線4沒資減少了x萬元，且每萬元的利潤提高了0.5x%;若將少用的x萬元全部投

入3生產(chǎn)線，每萬元?jiǎng)?chuàng)造的利潤為1.5（。-焉x1萬元，其中。>0.

⑴若技術(shù)改進(jìn)后4生產(chǎn)線的利潤不低于原來A生產(chǎn)線的利潤，川不等關(guān)系表示；

⑵若生產(chǎn)線B的利潤始終不高于技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線4的利潤，川不等關(guān)系表示.

3.（2022?貴州南明貴陽一中高一期中）如圖所示的兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成

的，圖（2）是一個(gè)矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母a,b（a于b）的不等式表示為

/□

圍⑴ffi（2）

【題型二比較大小】

1.（2022?浙江高一月考）已知OVaV*,且M=1一1.,N=['-Jb，則M，N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.MVNC.M=ND.不能確定

2.12022?江蘇南通市?海安高級中學(xué)高一期中）'位a=4i,b=布-區(qū)c=瓜-6則。，4c的大小

關(guān)系為（）.

A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>cD.b>c>a

3.（2022.上海高一月考）比較（x—3『與（工一2）（柒一4）的大小（）

A.無法比較大小B.（X-3）2>（X-2）（X-4）

C.（x—3）2=（x-2）（x-4）D.（x—3）2<（x-2）（x-4）

4.（2022?江西高一期末）若〃[二3f-x+1，n-2x2+x-1?則〃?與〃的大小關(guān)系是（

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

5.（2022?北京人大附中月考））甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半

時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.兩人同時(shí)到教室D.誰先到教室不確定

6.（2022?河南焦作市高一期中）”R,比較。+1）（爐+尹1）與Cr+fl+X+1）的大小.

ab

7.（2022?廣東高一月考）已知〃>0,〃>0,試比較JZ+”與的大小;

【題型三不等式性質(zhì)的運(yùn)用】

1.（2022?河南焦作市高一期中）下列命題正確的是（）

A.若a>b，則!<'B.若a>b>則/>

ab

C.若a>b,c<d,則D.若a>b,c>d?則。。

2.12022?浙江高一月考）若avO,—lv〃v0,則下列不等關(guān)系一定正確的是（）

A.a<bB.a<h2C.同>網(wǎng)D.a+h>0

3.（2022?全國高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.若a>b,則4c2>/?02B.若則02>小

C.若a<b,則D.若a>b>6,c>d>0?則。

ab

4.（2022?葫蘆島期末）若。、b、。為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>b,貝必（?2>權(quán)」B.若。<〃<0,則

C.若avbvO,則D.若a<〃<（）,則

abab

5.（2022.武漢外國語學(xué)校高一月考）已知CACGR,且那么下列各式中正確的是（）

A.,1<1C-ac2>he2D./*

ab

6.（多選）下列命題不正確的（）

A.1<1<O=>|?|>|Z?|

B.

ab

311

a>22

c-<-a>/?]11

Io方D.>=>-<-

。>a

Pab>0\ab

7.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①兩個(gè)實(shí)數(shù)。，匕之間，有且只有〃>8,a=b,。<力三種關(guān)系中的一種；

②若f>1，則；

b

③一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號方向不變；

④一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小；

@a>h>0,c>6/>0=>—>—；

dc

⑥若a〃>0,則a

ab

A.2B.3C.4D.5

8.（2022?浙江高一期末）（多選）已知實(shí)數(shù)a,b,。滿足cvb<a,且4c<0,則下列不等式一定成立

的是（）

22

A.ab>acB.c（〃一〃）>0C.ac（a-c）<0D.cb<ab

【題型四利用不等式的性質(zhì)證明不等式】

1.12022?四川宜賓市高一期中）已知。>人>0,cvO,求證：->y.

ab

2.（2022?椒江區(qū)校級月考）已知a>Z?>0,cvdvO,e<0,求證：

a-cb-d

3.（2022?萬州區(qū)校級月考）已知。涉是任意實(shí)數(shù)，求證：/+/?42〃為+,力3,并指出等號成立的條

件.

4.（2022?北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué)高一開學(xué)考試）設(shè)求證:

12122

be4-ca+ab<Ire+ca+ab?

【題型五利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】

1.12022?四川宜賓市高一期中）若2V4V5,3</?V10,則。一助的范圍為

2.12022?浙江高一期末）已知14。+力<4,-\<a-b<2,則3々一。的取值范圍是（）

A.——5191B.[—8,1]C.[—1,8]D.[1,8]

3.（2022?萬州區(qū)校級月考）已知1<。<匕<3,則。+人的取值范圍是,；的取值范圍是

4.（2022?北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué)高一開學(xué)考試）（多選）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足

0<yW2,則下列結(jié)論正確的是（）

X

A.I<x+y<6B.\<x-y<2c.0<xy<8D.—22

y

5.（2022?安徽合肥市高一期中）已知一lWx+yW4,2Wx-6yW3,則z=3x-4y的取值范圍是

6.（2022?四川雅安市月考）已知1W〃一2<t/+Z?<4,則4。一2〃的取值范圍是（）.

A.[5,10]B.[4,11]C.[3J2]D.以上都不對

7.（2021?江蘇省高一月考）（1）若12va〈60，15v〃v36,求2。一6,￡的取值范圍；

b

（2）已知不，）'滿足一!《■￥-》<,，Ovx+yv】，求3x-y的取值范圍.

22'

2.1等式與不等式的性質(zhì)

【題型解讀】

【題型一不等關(guān)系的建立】

1.（2022?凌源市模擬）在三常生活中有這樣一種現(xiàn)象，向糖水中不斷加入糖，糖水會變得越

來越甜.已知。克糖水中含有〃克糖再添加加克糖（加>0）（假設(shè)全部溶解），

可將糖水變甜這一事實(shí)表示為下列哪一個(gè)不等式（）

bb+mbb+maa+maa+m

A.->----B.-<----C.->----D.-<----

aa+maa+mbb+mbb+m

【答案】B

【解析】解：下列不等式中表示糖水變甜即糖的濃度增大，因此2V匕”正確.故選：B.

aa+m

2.（2022屆山東省煙臺市高一診斷性測試）一公司投資A生產(chǎn)線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利

潤L5萬元，該公司通過引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，在生產(chǎn)線4投資減少了x萬元，且每萬元的利潤提高了

（13、

0.5x%;若將少用的x萬元全部投入8生產(chǎn)線，每萬元?jiǎng)?chuàng)造的利潤為1.5a-——x萬元，其

、1IXJw）

中。>0.

⑴若技術(shù)改進(jìn)后4生產(chǎn)線的利潤不低于原來4生產(chǎn)線的利潤，用不等關(guān)系表示；

⑵若生產(chǎn)線B的利潤始終不高于技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線4的利潤，用不等關(guān)系表示.

2

【答案】⑴X-300xW0（2）1.5（Q-益。》41.5（500-x）（l+0.5x%）

【解析】（1）由題意得1.5（500—x）（l+0.5x%）21.5x500,整理得/—300工工0.

（13）

⑵由題意知,生產(chǎn)線B的利潤為1.5fz-——xx萬元，

\1UUUJ

由（1）技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線4的利潤為1.5（500-.E）（1+0.5X%）萬元

則1.5（a—<1.5（500-幻。+°.5x%）.

3.（2022.貴州南明貴陽?中高一期中）如圖所示的兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰

直角三角形構(gòu)成的，圖（2）是一個(gè)矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母小

(aWb)的不等式表示為.

ffl(l)S(2)

【解答】解：圖(】)是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，面積爐.

圖(2)是一個(gè)矩形，面積S2=〃〃.

可得：-(a2+b2)>ab(a^b).

2

故答案為：-(/+/，)>ab

2

【題型二比較大小】

1.(2022.浙江高一月考)已知0<〃號，且加=±-&，N=搭-占,則M,N的大

b1+a1+b1+a1+b

小關(guān)系是()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【解析】解：由于0V?v1,所以O(shè)VaAVl.即1?出?>0.

所以M?N=—___-_____匕+工=匕+12^=。-Q)a+b)+(l+a)(l_b)=

以MN1+a1+h1+a+1+ba+1十1+b(l+a)(l+d)

2(—ab)7)

(l+a)(l+b)-

所以M>N,故選：A.

2.(2022?江蘇南通市?海安高級中學(xué)高一期中)設(shè)a=y[i,b=幣一小”=瓜一垃,

則凡b,c的大小關(guān)系為().

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>oa

【答案】B

【解析】b=幣-6=萬+6，-=/,???V7+G>?+0，

44

:.b〈c.又a—c=-=提—‘故a>c.綜上可

V7+V3x/6+V2

得：a>c>h.

故選：B.

3.(2022.上海高一月考)比較(x—3『與(工一2)(工一4)的大小()

A,無法比較大小B.(x-3|2>(x-2)(x-4)

C.(JC—3)~=(x—2)(x-4)D.(x—3)~<(x—2)(x—4)

【答案】B

【解析】(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6^+9-x2+6x-8=1>0,所以

(x-3)>(x-2)(x-4),故選：B

4.(2022?江西高一期末；若〃z=3f-x+1，〃=2W+x-1，則，〃與〃的大小關(guān)系是

()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

【答案】A

2

【解析】團(tuán)〃?=3/?x+bn=2x+x-1

n=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0

因此：機(jī)故選：A

5.(2022?北京人大附中月考))甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路

程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則()

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.兩人同時(shí)到教室D.誰先到教室不確定

【答案】B

【解析】解：設(shè)步行速度與跑步速度分別為】“，V2,

顯然0Vv2,總路程為2s,則甲用時(shí)間為二十一,乙用時(shí)間為-----，

%V2V1+V2

2

SS4sS(V1+V2)-4SV1V2S(UI-U2)2、八

vvv+v

ViV2%+藝也〃2(也+〃2)l2(l2)

故3+—>--------，故乙先到教室，故選：B.

%V2%+為

6.(2022?河南焦作市高一期中)XGR?比較(x+1)，+>1)與(x+f(d+1一])

的大小.

【答案】(x+l)(d+T+l〉(x+](Y+x+l)

丁+―>o

222224

2AX,I\

所以(x+l)X~4-----F1>1X4---x2+X+1)

22J

ab

7.（2022?廣東高一月考）已知。>0,〃>0，試比較石+〃與的大小;

【答案】&+6，賽'+白（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）

【解析】方法一：由題意

ayJa+b\[b-a\[b-b\/a_（"力乂6-而）

\[a'Jbyfab

（石+二）（4-甸二

\[ab

因?yàn)閍>0,b>0,所以G+G>0，（4a->[b^>0.y/ab>0?

所以（&+〃）（&-"）20,當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時(shí)等號成立,

4ab

所以G+揚(yáng)工ab

為+五（當(dāng)且僅當(dāng)。二〃時(shí)取等號）.

ab-

?忑F+（6+旬（…-切_a+b-4ab

方法二:||==

+y/b4ab^y/a+\[b^>[ab（4a4cib

（4a-4b^+\[ab

地多+1>1，當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)等號成立,

>jab

ab

所以C+J2,（當(dāng)且僅當(dāng)。=/?時(shí)取等號）.

【題型三不等式性質(zhì)的運(yùn)用】

1.（2022?河南焦作市高一期中）下列命題正確的是（）

A.若a>b，則,<!B.若a>b，則a2>b2

ab

C.若a>b,c<d,則a-c>力一"D.若a>b,c>d?則ac>Z?4

【答案】C

【解析】A.若公切，則■!■<,，取〃=1/二-1不成立

ab

B.若a>b,則/>Z?2,取。=0,匕二-1不成立

C.若a>b,c<d,則〃一。>〃一d,正確

D.若〃>〃.c>7,則〃c>〃/7,取a=LZ?=—Lc=l.d=-2不成立一故答案選C

2.（2022.浙江高一月考）若4<0,-1<人<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是（)

2

A.a<bB.a<bC.\a\>\b\D.a+b>0

【答案】B

【解析】avO,從>0，所以a<Z?2故選：B

3.（2022?全國高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.^a>b,WOac2>be1B,若則小泌？

C.若a<b,則D.若。>b>0,c>>0?則

ab

【答案】D

【解析】對于A：因?yàn)?NO,所以當(dāng)c、2=0時(shí).，ac2=bc2>故A錯(cuò)誤；

對于B：若々3>/心可得當(dāng)。=0/=-1時(shí)，滿足但故B錯(cuò)誤；

對于c：當(dāng)。=-1,〃=1時(shí)，-=-14=1-所以故C錯(cuò)誤；

abab

對于D：若a>b>U,c>d>2，貝故D正確.

故選：D

4.（2022?葫蘆島期末）若。、力、。為實(shí)數(shù),則下列命題正確的是（）

A.若a>b,則a/〉。/B.若則片>必>/?2

C.若〃</?<（）,則D.若則

abab

【答案】B

【解析】對于A選項(xiàng)，若c=0，則a/n8c"故A不成立；

對于B選項(xiàng)，Qvb<0,在不等式Q<〃同時(shí)乘以a（a<0）,得

另一方面在不等式。兩邊同時(shí)乘以方，得〃〃>/,.?./>〃〃>從，故B成立：

對于選項(xiàng)C,在。兩邊同時(shí)除以"（">。），可得:〈J，所以C不成立：

對于選項(xiàng)D,令a——2,b—~\,則有:=二=2,2=!，—<y->所以D不成立.

b-1a2ab

故選B.

5.（2022?武漢外國語學(xué)校高一月考）已知a,"ceR,且那么下列各式中正確的是

（）

A.B.—<7C.ac2>bc2D.>b'

bab

【答案】D

【解析】對于A選項(xiàng)：舉反例〃=則一二-1<1,則A不成立；

b

對于B選項(xiàng)：舉反例。=1/=-1,則,==-7,所以則B不成立;

abab

對于C選項(xiàng)：舉反例c=0,則a2c=o/2c=o,所以“2c=〃2c，則c不成立；

/113

對于D選項(xiàng)：/一〃’=(〃一人)卜/+"+〃)=a+—b+—〃

2J4

、2

國。>匕，一〃>0又回（.+1?/?3

+-/?2>O0?3-Z73>O?即，>/戶.貝IJD成立故選：D.

I24

6.（多選）下列命題不正確的（）

A.L〈_L〈on|a|>|/?|B.2na>b

abcc

11a2>b211

C.=>a<bD.=>—<-

ab>0ab>()ab

【答案】ABD

【解析】A：?/<1<0/.c必>0且-■->-->0,因此一~--ab>――-ab>0ab,

ababab

即一"一。>0=|-4>卜4>。=例>同，故本命題不正確;

48

B：因?yàn)槿?gt;二，顯然4>8不成立，所以本命題不正確；

-2-2

C：由=。3一萬3=（。一份?/+〃人+/）>（）,而〃人〉。，

所以有4>。，而［一!二^--<0=>—<—,故本命題正確；

ahabab

D：若。=-2,〃=—1,顯然成立，但是二<二不成立，故本命題不正確,

ab>0-2-1

故選：ABD

7.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①兩個(gè)實(shí)數(shù)〃，〃之間，有且只有a>〃，a=b,4cb三種關(guān)系中的一種；

②若f>1,則

b

③一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號方向不變;

④一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小；

⑤c>d>0=>-^->—；

⑥若出?>0,則

ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】解：對于①，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)顯然成立；

對于②，若：>1,則與心>0,故且〃>0或〃且〃<0,故錯(cuò)誤；

bb

對于③，不等式的兩邊乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變，故錯(cuò)誤；

對于④，例如-2v2，-?<!，故錯(cuò)誤；

22

對于⑤，c>t/>o=>-!->->o,進(jìn)而由。〉匕>0可得=>2,故正確；

acac

對于⑥，由出?>0得。，力同號，故當(dāng)。>〃>0時(shí)，—<?當(dāng)0>。>分時(shí)，—<,故

ahab

若">0,則正確；綜上正確的是：①⑤⑥故選：B.

ab

8.（2022?浙江高一期末）（多選）已知實(shí)數(shù)。，b,c滿足ccbva,且acvo,則下列

不等式一定成立的是（）

A.ab>acB.c（Z?-tz）>0C.ac（〃-c）<0D.cb2<ab2

【答案】ABC

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)。，b,c滿足ccbca,且ac〈O,

所以。>0,cv0,

由力〉c,。>0,得ab>ac,故A正確；

由Z?<a,c<0.得c（8一a）>0,故B正確；

由a>c,ac〈O,得ac（〃-c）<0,故C正確；

由。〉c,從NO,得cb?Wab?，當(dāng)〃=0時(shí)，等號成立，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC

【題型四利用不等式的性質(zhì)證明不等式】

1.（2022?四川宜賓市面一期中）已知c<0,求證：

ab

【答案】證明見解析.

【解析】￡一￡=幺二竺=心心，

ababab

因?yàn)閍〉〃〉0，c<(),所以人一。<0，c[b-a)>0,出?>0故"^——>0t即證:

ab

2.(2022?椒江區(qū)校級月考)已知c<d<0,evO,求證：'一>」一

a-cb-d

【答案】----->------

a-cb-d

【解析】Qc<dv0,.c>一〃>0，

又，a>b>0,：.a—c>b—d>0-,-—■—<---<0,

a-cb-d

ee

又???e<0，「?——>--

a-cb-d

3.(2022?萬州區(qū)校級月考)已知。功是任意實(shí)數(shù)，求證：/+尸2°%+出/,并指出等

號成立的條件.

【答案】證明見解析；當(dāng)且僅當(dāng)。=/?時(shí)，等號成立.

[解析】因?yàn)?/+//)-(。%+加)=(/_九)+僅4_加)

=(b-a)=(a-b)(cr,~^3)

=(a_b，(/+ab+b2^=(a-b)2

故(a，+//)—(a’Z?+ab3)>0,即a4+〃42a3b+aby.

當(dāng)且僅當(dāng)。=Z?時(shí)，等號成立.

4.(2022?北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué)高一開學(xué)考試)設(shè)a>〃>c,求證：

be2+ca1+ab2<b2c+da+erb-

【答案】證明見解析

【解析】

be2+ca1+ab2-Ire-ca-a2b

=b[^c2-tz2)+b2(a-c)+ac(a-c)

=b(a+C)(C_Q)-〃2(C_Q)-4c(c-a)

=<0.

【題型五利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】

1.(2022?四川宜賓市面一期中)若2<〃<5,3<〃<10,則。一力的范圍為

【答案】（-18,-1）

【解析】依題意可知一20<-27?<-6,由「2<々<5,由不等式的性質(zhì)可知

-18va-2/?v-1.故填：（-18,-1）.

2.（2022?浙江高一期末）已知-\<a-b<2,則3a—〃的取值范圍是

（）

-5191

A.,—D.[8,1]C.[1,8]D.[1,8]

22

【答案】c

【解析】3。一/?=2（。一4）+（〃+/?）

-2<2（tz-Z?）<4,[<a+b<4f_1W2（a—〃）+（a+Z?）K8故選：c

3.（2022?萬州區(qū)校級月考）已知1<〃<匕<3,則a+〃的取值范圍是________,，的

b

取值范圍是.

【答案】（2,6）

【解析】?.T<a<〃<3,即a<b<3,/.l+a<a+b<Z?+3,

乂1+4>2,b+3<6,:.2<a+b<6；

—Illla,

又一＜一＜一,＜1,又一＞一，＜1.

3ba3b333b

綜上所述：a+〃的取值范圍為（2,6）；1的取值范闈為

故答案為：（2,6）；（；」.

4.（2022?北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué)高一開學(xué)考試）（多選）設(shè)