六年級(jí)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題舉一反三練習(xí)題

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程中，六年級(jí)無(wú)疑是一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵階段。其中，“解決問(wèn)題”模塊更是對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)能力的集中檢驗(yàn)，它不僅要求孩子們掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算技能，更強(qiáng)調(diào)邏輯思維、分析能力和模型思想的構(gòu)建。而“舉一反三”，正是攻克這一難關(guān)的有效途徑。它不是簡(jiǎn)單的重復(fù)練習(xí)，而是通過(guò)典型例題的深度剖析，引導(dǎo)學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)，掌握解題方法，并能觸類旁通，靈活應(yīng)對(duì)各種變式。下面，我們將圍繞六年級(jí)數(shù)學(xué)中幾個(gè)核心的解決問(wèn)題類型，通過(guò)“范例引路-思路點(diǎn)撥-變式拓展”的模式，幫助同學(xué)們真正提升解決問(wèn)題的能力。一、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：找準(zhǔn)“單位1”，理清數(shù)量關(guān)系分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是六年級(jí)數(shù)學(xué)的重中之重，也是孩子們?nèi)菀谆煜碾y點(diǎn)。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判斷“單位1”的量，并理清題目中各個(gè)量之間的分?jǐn)?shù)關(guān)系。范例引路典型例題1：學(xué)校圖書(shū)館新購(gòu)進(jìn)一批圖書(shū)，其中故事書(shū)有240本，科技書(shū)的本數(shù)是故事書(shū)的3/4，文藝書(shū)的本數(shù)又是科技書(shū)的5/6。文藝書(shū)有多少本？思路點(diǎn)撥：1.找“單位1”：首先看“科技書(shū)的本數(shù)是故事書(shū)的3/4”，這里“是”字后面的“故事書(shū)的本數(shù)”就是“單位1”，它是已知的（240本）。2.求科技書(shū)本數(shù)：已知單位1，求它的幾分之幾是多少，用乘法。所以科技書(shū)的本數(shù)為：240×3/4。3.再找“單位1”：接著看“文藝書(shū)的本數(shù)又是科技書(shū)的5/6”，這里“是”字后面的“科技書(shū)的本數(shù)”就是新的“單位1”，它在上一步已經(jīng)求出。4.求文藝書(shū)本數(shù)：同樣，已知單位1（科技書(shū)本數(shù)），求它的幾分之幾是多少，用乘法。分步解答：科技書(shū)：240×3/4=180(本)文藝書(shū)：180×5/6=150(本)答：文藝書(shū)有150本。舉一反三變式練習(xí)1(稍作變化)：學(xué)校圖書(shū)館新購(gòu)進(jìn)一批圖書(shū)，其中故事書(shū)有240本，科技書(shū)的本數(shù)是故事書(shū)的3/4，又是文藝書(shū)的5/6。文藝書(shū)有多少本？*(提示：這里“科技書(shū)的本數(shù)……又是文藝書(shū)的5/6”，誰(shuí)是單位1？已知還是未知？)*變式練習(xí)2(逆向思考)：學(xué)校圖書(shū)館新購(gòu)進(jìn)一批文藝書(shū)有150本，正好是科技書(shū)本數(shù)的5/6，而科技書(shū)的本數(shù)又是故事書(shū)的3/4。故事書(shū)有多少本？*(提示：這道題的單位1是已知還是未知？未知的話，用什么方法計(jì)算？)*方法小結(jié)：解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，首先要通過(guò)諸如“是”、“占”、“比”、“相當(dāng)于”等關(guān)鍵詞準(zhǔn)確找到“單位1”的量。*若單位1的量已知，求它的幾分之幾是多少，用乘法：?jiǎn)挝?的量×對(duì)應(yīng)分率=比較量。*若單位1的量未知，已知它的幾分之幾是多少（比較量），求單位1的量，用除法或方程：比較量÷對(duì)應(yīng)分率=單位1的量。二、行程問(wèn)題：把握“路程、速度、時(shí)間”的鐵三角行程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)中富有挑戰(zhàn)性的一類問(wèn)題，它貼近生活，變化多樣。但無(wú)論如何變化，其核心都離不開(kāi)“路程=速度×?xí)r間”這一基本數(shù)量關(guān)系。范例引路典型例題2：甲、乙兩地相距360千米，一輛客車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)行駛60千米。這輛客車(chē)出發(fā)1小時(shí)后，一輛貨車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，每小時(shí)行駛40千米。貨車(chē)出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少小時(shí)與客車(chē)相遇？思路點(diǎn)撥：1.理解題意：客車(chē)先出發(fā)1小時(shí)，然后貨車(chē)才出發(fā)，之后兩車(chē)相向而行，最終相遇。求貨車(chē)出發(fā)后到相遇所用的時(shí)間。2.畫(huà)線段圖（輔助理解）：可以畫(huà)出甲、乙兩地，標(biāo)記客車(chē)先行駛的1小時(shí)路程，然后表示出剩下的路程是客車(chē)和貨車(chē)共同行駛直至相遇。3.關(guān)鍵分析：客車(chē)先行了1小時(shí)，行駛的路程為60×1=60千米。此時(shí)，兩車(chē)相距____=300千米。之后，客車(chē)和貨車(chē)相向而行，它們的相對(duì)速度為兩車(chē)速度之和（60+40）千米/小時(shí)。4.相遇時(shí)間：共同行駛的路程÷速度和=相遇時(shí)間。這里的共同行駛路程就是客車(chē)先行1小時(shí)后剩余的路程。分步解答：客車(chē)先行路程：60×1=60(千米)剩余路程：360-60=300(千米)速度和：60+40=100(千米/小時(shí))相遇時(shí)間（貨車(chē)出發(fā)后）：300÷100=3(小時(shí))答：貨車(chē)出發(fā)后經(jīng)過(guò)3小時(shí)與客車(chē)相遇。舉一反三變式練習(xí)1(不同出發(fā)方式)：甲、乙兩地相距360千米，一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，客車(chē)每小時(shí)行駛60千米，貨車(chē)每小時(shí)行駛40千米。兩車(chē)出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少小時(shí)相遇？相遇時(shí)客車(chē)比貨車(chē)多行駛了多少千米？*(提示：同時(shí)出發(fā)，沒(méi)有先后，直接用總路程除以速度和。第二問(wèn)可以先求路程差，也可以先求每小時(shí)多行的路程。)*變式練習(xí)2(追及問(wèn)題)：甲、乙兩地相距360千米，一輛客車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)行駛60千米。客車(chē)出發(fā)2小時(shí)后，一輛貨車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，每小時(shí)行駛80千米。貨車(chē)出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少小時(shí)能追上客車(chē)？*(提示：這是同向而行的追及問(wèn)題，關(guān)鍵是找出追及路程和速度差。貨車(chē)能追上客車(chē)嗎？)*方法小結(jié)：*相遇問(wèn)題（相向而行）：總路程=速度和×相遇時(shí)間；相遇時(shí)間=總路程÷速度和。*追及問(wèn)題（同向而行）：追及路程=速度差×追及時(shí)間；追及時(shí)間=追及路程÷速度差。解決行程問(wèn)題，關(guān)鍵在于分析清楚運(yùn)動(dòng)物體的出發(fā)時(shí)間、方向（同向、相向、背向）、速度以及運(yùn)動(dòng)結(jié)果（相遇、追及、相距多少），靈活運(yùn)用基本公式，并輔以線段圖幫助理解，往往能化繁為簡(jiǎn)。三、工程問(wèn)題：巧用“單位1”，化抽象為具體工程問(wèn)題主要研究工作總量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題通常不給出具體的工作總量，解題時(shí)常常把工作總量看作單位“1”，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。范例引路典型例題3：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成。如果甲、乙兩隊(duì)合作，幾天可以完成這項(xiàng)工程的（2/3）？思路點(diǎn)撥：1.設(shè)工作總量為單位“1”：這是工程問(wèn)題常用的策略。2.求工作效率：工作效率=工作總量÷工作時(shí)間。甲隊(duì)的工作效率：1÷10=1/10(表示甲隊(duì)每天完成這項(xiàng)工程的1/10)乙隊(duì)的工作效率：1÷15=1/15(表示乙隊(duì)每天完成這項(xiàng)工程的1/15)3.求合作效率：兩隊(duì)合作，每天完成的工作量就是兩隊(duì)工作效率之和：1/10+1/15。4.求工作時(shí)間：工作時(shí)間=工作總量÷工作效率。這里的工作總量是“這項(xiàng)工程的2/3”。分步解答：甲隊(duì)效率：1÷10=1/10乙隊(duì)效率：1÷15=1/15兩隊(duì)合作效率：1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6完成工程的2/3所需時(shí)間：(2/3)÷(1/6)=(2/3)×6=4(天)答：甲、乙兩隊(duì)合作，4天可以完成這項(xiàng)工程的2/3。舉一反三變式練習(xí)1(直接求全部完成)：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成。如果甲、乙兩隊(duì)合作，幾天可以完成這項(xiàng)工程？*(提示：工作總量是多少？)*變式練習(xí)2(有具體工作總量)：一批零件有300個(gè)，甲單獨(dú)做需要10小時(shí)完成，乙單獨(dú)做需要15小時(shí)完成。如果甲、乙兩人合作，幾小時(shí)可以完成這批零件？*(提示：這里給出了具體工作總量，還需要設(shè)為單位1嗎？?jī)煞N方法都可以試試，比較一下。)*方法小結(jié)：工程問(wèn)題的基本關(guān)系式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間。*當(dāng)工作總量未知時(shí)，通常把它看作單位“1”。*各部分的工作效率之和，就是合作的工作效率。*若給出了具體的工作總量（如變式2），則可以直接使用具體數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，思路類似。四、比和比例問(wèn)題：明確“份數(shù)”與“實(shí)際量”的對(duì)應(yīng)比和比例在生活中應(yīng)用廣泛，六年級(jí)階段主要涉及按比例分配以及正反比例的應(yīng)用。理解“比”所代表的份數(shù)關(guān)系，并找到與實(shí)際數(shù)量的對(duì)應(yīng)，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。范例引路典型例題4：一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是96厘米，長(zhǎng)、寬、高的比是3:2:1。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？思路點(diǎn)撥：1.理解長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和：長(zhǎng)方體有4條長(zhǎng)、4條寬、4條高，所以棱長(zhǎng)總和=4×(長(zhǎng)+寬+高)。2.求出長(zhǎng)+寬+高的和：96÷4=24厘米。3.按比例分配：長(zhǎng)、寬、高的比是3:2:1，總份數(shù)為3+2+1=6份。這6份對(duì)應(yīng)的實(shí)際長(zhǎng)度和是24厘米。4.求出一份的長(zhǎng)度：24÷6=4厘米。5.分別求出長(zhǎng)、寬、高：長(zhǎng)占3份，寬占2份，高占1份。6.計(jì)算體積：長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高。分步解答：長(zhǎng)+寬+高：96÷4=24(厘米)總份數(shù)：3+2+1=6(份)一份的長(zhǎng)度：24÷6=4(厘米)長(zhǎng)：4×3=12(厘米)寬：4×2=8(厘米)高：4×1=4(厘米)體積：12×8×4=384(立方厘米)答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是384立方厘米。舉一反三變式練習(xí)1(按比例分配基本型)：學(xué)校把一批圖書(shū)按3:4:5的比例分給四、五、六年級(jí)，已知六年級(jí)分得100本。這批圖書(shū)共有多少本？四年級(jí)和五年級(jí)各分得多少本？*(提示：六年級(jí)對(duì)應(yīng)的是幾份？先求出一份是多少本。)*變式練習(xí)2(稍復(fù)雜的比例分配)：甲、乙、丙三人共同投資一個(gè)項(xiàng)目，甲投資了4萬(wàn)元，乙投資了5萬(wàn)元，丙投資了6萬(wàn)元。一年后，共獲利15萬(wàn)元。如果按投資額進(jìn)行分配，三人各應(yīng)分得利潤(rùn)多少萬(wàn)元？*(提示：這里的“比”是什么？是4:5:6。)*方法小結(jié)：按比例分配問(wèn)題的解題步驟：1.明確分配的總量和分配的比。2.計(jì)算出總份數(shù)。3.求出一份的量：總量÷總份數(shù)=一份的量。4.根據(jù)各部分所占的份數(shù)，求出各部分的量：一份的量×對(duì)應(yīng)份數(shù)=部分量。結(jié)語(yǔ)：勤思善練，觸類旁通“解決問(wèn)題”的