高中數學必修三練習題

高中數學必修三練習題題3：循環結構的運算結果執行下面的程序框圖（為文字描述，假設為當型循環結構）：初始值：i=1，S=0條件：當i<=5時，執行循環體循環體：S=S+i；i=i+1循環結束后，輸出S。請問輸出的S值是多少？解析與提示：這是一個當型循環結構，需要明確循環的初始條件、循環體的執行過程以及循環終止的條件。初始：i=1，S=0。第一次循環：i=1<=5，S=0+1=1，i=2。第二次循環：i=2<=5，S=1+2=3，i=3。第三次循環：i=3<=5，S=3+3=6，i=4。第四次循環：i=4<=5，S=6+4=10，i=5。第五次循環：i=5<=5，S=10+5=15，i=6。此時i=6>5，循環終止。輸出S=15。這實際上是計算1+2+3+4+5的和。第二部分：統計統計學是研究如何收集、整理、分析數據并從中得出結論的科學。本部分練習將涉及抽樣方法、數據的數字特征、用樣本估計總體等核心內容。一、核心知識點回顧1.隨機抽樣：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數法）、系統抽樣、分層抽樣。各自的特點、適用范圍及操作步驟。2.用樣本的頻率分布估計總體分布：頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖。3.用樣本的數字特征估計總體的數字特征：*集中趨勢：平均數、中位數、眾數。*離散程度：極差、方差、標準差。4.變量間的相關關系：散點圖、正相關與負相關、線性相關。二、練習題題1：抽樣方法的選擇某校高一年級有學生500名，高二年級有學生400名，高三年級有學生300名。為了了解該校學生的視力情況，擬從中抽取一個容量為120的樣本進行調查。請問應采用何種抽樣方法較為合適？并簡述理由及操作步驟（以其中一種主要抽樣方法為例）。解析與提示：由于不同年級的學生在視力情況上可能存在差異（分層現象），為保證樣本的代表性，應采用分層抽樣的方法。理由：分層抽樣能充分利用已知信息，使樣本具有較好的代表性，同時在各層中進行抽樣時，可以根據具體情況選擇不同的抽樣方法，提高抽樣效率。操作步驟（簡要）：1.計算各年級學生人數占總人數的比例：高一500/1200=5/12，高二400/1200=4/12=1/3，高三300/1200=3/12=1/4。2.按比例分配各年級的樣本容量：高一120*(5/12)=50，高二120*(1/3)=40，高三120*(1/4)=30。3.在高一年級用簡單隨機抽樣或系統抽樣抽取50人，高二年級抽取40人，高三年級抽取30人，合在一起構成樣本。題2：數據的數字特征計算某學習小組的8名同學在一次數學測驗中的成績（單位：分）如下：85，78，90，82，88，95，79，86。（1）求這組數據的平均數、中位數；（2）求這組數據的方差和標準差（結果保留一位小數）。解析與提示：（1）平均數：將所有數據相加，再除以數據個數。總和=85+78+90+82+88+95+79+86。我們可以逐步計算：85+78=163；163+90=253；253+82=335；335+88=423；423+95=518；518+79=597；597+86=683。平均數=683/8=85.375分。中位數：將數據按從小到大的順序排列：78，79，82，85，86，88，90，95。共有8個數據，為偶數個，中位數是中間兩個數的平均數，即第4個數和第5個數的平均：(85+86)/2=85.5分。（2）方差：方差是各數據與平均數之差的平方的平均數。先計算每個數據與平均數（85.375）的差：85-85.375=-0.375；78-85.375=-7.375；90-85.375=4.625；82-85.375=-3.375；88-85.375=2.625；95-85.375=9.625；79-85.375=-6.375；86-85.375=0.625。再求這些差的平方：(-0.375)^2≈0.1406；(-7.375)^2≈54.3906；(4.625)^2≈21.3906；(-3.375)^2≈11.3906；(2.625)^2≈6.8906；(9.625)^2≈92.6406；(-6.375)^2≈40.6406；(0.625)^2≈0.3906。求這些平方值的平均數（即方差S2）：總和≈0.1406+54.3906=54.5312+21.3906=75.9218+11.3906=87.3124+6.8906=94.203+92.6406=186.8436+40.6406=227.4842+0.3906≈227.8748。S2≈227.8748/8≈28.484。標準差S：方差的算術平方根，S≈√28.484≈5.3（保留一位小數）。題3：頻率分布直方圖的應用為了解某小區居民的日用電量情況，隨機抽查了該小區100戶居民的日用電量（單位：度），得到頻率分布直方圖如下（此處假設有直方圖，各組數據如下：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，對應的頻率分別為0.05，0.25，0.40，0.20，0.10）。（1）求直方圖中[20,30)組的矩形的高度；（2）估計該小區居民日用電量的眾數所在區間；（3）估計該小區居民日平均用電量（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）。解析與提示：（1）頻率分布直方圖中，矩形的高度=頻率/組距。[20,30)組的頻率為0.40，組距為10。所以高度=0.40/(30-20)=0.40/10=0.04。（2）眾數是出現次數最多的數，在頻率分布直方圖中，眾數所在區間就是頻率最高的區間。由給出的頻率可知，[20,30)組的頻率0.40最高，因此眾數所在區間為[20,30)。（3）平均用電量的估計值為各區間中點值與對應頻率乘積的和。各區間中點值分別為：5（[0,10)），15（[10,20)），25（[20,30)），35（[30,40)），45（[40,50]）。平均用電量≈5*0.05+15*0.25+25*0.40+35*0.20+45*0.10=0.25+3.75+10.0+7.0+4.5=25.5（度）。第三部分：概率概率是研究隨機現象規律的科學，它為我們處理不確定性問題提供了重要的思維工具和方法。本部分練習將涉及隨機事件的概率、古典概型、幾何概型等基礎內容。一、核心知識點回顧1.隨機事件的概率：必然事件、不可能事件、隨機事件。概率的定義及性質（0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(?)=0）。2.古典概型：特點（有限性、等可能性）。概率計算公式：P(A)=事件A包含的基本事件數/試驗的基本事件總數。3.幾何概型：特點（無限性、等可能性）。概率計算公式：P(A)=構成事件A的區域長度（面積或體積）/試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）。4.互斥事件與對立事件：互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率關系。二、練習題題1：隨機事件的關系與概率計算從一批產品中，隨機抽取一件，記事件A為“抽到一等品”，事件B為“抽到二等品”，事件C為“抽到三等品”。已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1。（1）事件“抽到的不是一等品”的概率是多少？（2）事件“抽到的是二等品或三等品”的概率是多少？（3）事件A與事件B是對立事件嗎？為什么？解析與提示：（1）“抽到的不是一等品”是事件A的對立事件，記為?A（或A?）。P(?A)=1-P(A)=1-0.65=0.35。（2）“抽到的是二等品或三等品”即事件B或事件C發生，由于B與C互斥（一件產品不可能既是二等品又是三等品）。根據互斥事件的概率加法公式：P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3。也可理解為“不是一等品”且“不是廢品”（若存在廢品），但本題中未提及廢品，且0.65+0.2+0.1=0.95<1，說明可能存在其他情況，但問題（2）明確是二等品或三等品，故直接相加。（3）事件A與事件B不是對立事件。因為對立事件要求兩個事件不能同時發生（互斥）且必有一個發生（P(A)+P(B)=1）。雖然A與B互斥（一等品和二等品不能同時發生），但P(A)+P(B)=0.65+0.2=0.85≠1，所以它們不是對立事件。題2：古典概型的計算一個口袋中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同。（1）從中隨機摸出一個球，求摸到紅球的概率；（2）從中隨機摸出兩個球，求摸出的兩個球都是紅球的概率。解析與提示：（1）口袋中共有3+2=5個球，每個球被摸到的可能性相等，屬于古典概型。基本事件總數n=5。事件A“摸到紅球”包含的基本事件數m=3。P(A)=m/n=3/5。（2）方法一（列舉法）：給紅球編號為紅1、紅2、紅3，白球編號為白1、白2。從中摸出兩個球，所有可能的基本事件為：(紅1,紅2)，(紅1,紅3)，(紅1,白1)，(紅1,白2)，(紅2,紅3)，(紅2,白1)，(紅2,白2)，(紅3,白1)，(紅3,白2)，(白1,白2)。共10個基本事件。事件B“摸出的兩個球都是紅球”包含的基本事